【2024届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第9章 第5节

第九章 第五节

一、选择题

1．(文)已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面α内一定存在一条直线b，使得a与b( )

A．平行 C．异面 [答案] D

[解析] 当a与α相交时，平面内不存在直线与a平行；当a∥α时，平面内不存在直线与a相交；当a?平面α时，平面α内不存在直线与a异面；无论a在何位置，a在平面α内总有射影a′，当b?α，b⊥a′时，有b⊥a，故选D.

(理)(2013·深圳模拟)已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，则应增加的条件是( )

A．m∥n C．n∥α [答案] B

[解析] 两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，故选B.

2．(文)(2014·温州十校联考)关于直线a，b，l及平面α，β，下列命题中正确的是( ) A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，b⊥a，则b⊥α

C．若a?α，b?α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥α D．若a⊥α，a∥β，则α⊥β [答案] D

[解析] 平行于同一平面的两条直线的位置关系不确定，故A错；a∥α，b⊥a时，经过b与a垂直的平面α内任一条直线l都与a垂直，但l与α的位置关系不确定，每一条直线l都可取作直线b，故B错；对于C，当a与b相交时，结论成立，当a与b不相交时，结论错误，故C错；∵a∥β，设经过a的平面与β相交于c，则a∥c，∵a⊥α，∴c⊥α，∴α⊥β，故D正确．

(理)(2014·浙江温州第一次适应性测试)m是一条直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是( )

A．若m∥α，α∥β，则m∥β B．若m∥α，m∥β，则α∥β

- 1 -

B．相交 D．垂直

B．n⊥m D．n⊥α

C．若m∥α，α⊥β，则m⊥β D．若m∥α，m⊥β，则α⊥β [答案] D

[解析] 若m∥α，α∥β，则m∥β或m?β，A错误；若m∥α，m∥β，则α∥β或α∩β＝l，且m∥l，B错误；若m∥α，α⊥β，则m⊥β或m∥β或m?β，C错误；∵m∥α，∴存在直线n?α，使m∥n，∵m⊥β，∴n⊥β，又∵n?α，∴α⊥β，故选D.

3．(文)(2014·运城模拟)已知两条不同的直线a，b和两个不同的平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件 [答案] C

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

[解析] α⊥β??

??a∥β或a?β?a⊥α??a⊥b；

b⊥β

??

???

a⊥α??

??b∥α或b?α?a⊥b?

?α⊥β.

b⊥β

?????

(理)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )

A．充分不必要条件 C．充分必要条件 [答案] A

[解析] ①∵α∩β＝m，b?β，α⊥β，b⊥m，∴b⊥α，

又∵a?α，∴b⊥a.②当a?α，a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a，而此时平面α与平面β不一定垂直，故选A.

4．(文)(2015·绍兴一中期中)如图，PA垂直于正方形ABCD所在平面，则以下关系错误的．．是( )

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

A．平面PCD⊥平面PAD

- 2 -

B．平面PCD⊥平面PBC C．平面PAB⊥平面PBC D．平面PAB⊥平面PAD [答案] B

[解析] ∵PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∴CD⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，∴A、C、D正确，选B.

(理)(2014·望江期中)在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( ) ．．．

A．BC∥平面PDF C．平面PDF⊥平面ABC [答案] C

[解析] ∵D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC.

B．DF⊥平面PAE D．平面PAE⊥平面ABC

∴BC∥平面PDF，故A正确． 又∵P－ABC为正四面体，

∴P在底面ABC内的射影O在AE上． ∴PO⊥面ABC.∴PO⊥DF. 又∵E为BC中点， ∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.

又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正确． 又∵PO?平面PAE，PO⊥平面ABC， ∴平面PAE⊥平面ABC，故D正确． ∴四个结论中不成立的是C.

5．(2015·浙江桐乡四校期中联考)设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( ) ．．．

A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β B．当b?α时，若b⊥β，则α⊥β

C．当b?α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b D．当b?α，且c?α时，若c∥α，则b∥c [答案] B

- 3 -

[解析] A的逆命题是“当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β”，A的逆命题正确；B的逆命题是“当b?α时，若α⊥β，则b⊥β”，只有当b垂直于α与β的交线时，才是正确的，故选B.另外由线面平行的判定定理知D的逆命题正确；由三垂线定理及其逆定理知，C及其逆命题正确．

6.(2014·皖南八校联考)正四面体ABCD的棱长为1，G是△ABC的中心，M在线段DG上，且∠AMB＝90°，则GM的长为( )

1A. 2C.3 3

B．D．

2 26 6

[答案] D

[解析] ∵G是正四面体ABCD的面ABC的中心，M在DG上，∴MA＝MB， 又∠AMB＝90°，AB＝1，∴MA＝MB＝∴MG＝MA2－AG2＝二、填空题

7．(文)设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：

①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，其中使“x⊥z且y⊥z?x∥y”为真命题的序号是________．

[答案] ②③

[解析] 当x、y为直线，z为平面时，有x⊥z，y⊥z?x∥y；当x、y为平面，z为直线时，有x⊥z，y⊥z?x∥y，故②③正确．

[点评] 由正方体交于同一个顶点的三条棱和三个面知①④均使命题为假命题． (理)正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为________．

[答案]

3 ?

23

，又AG＝， 23

2236

?－??2＝. 236

[解析] 依题可知∠B1AB＝60°，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1C1?平面A1B1C1D1， ∴B1B即为所求距离，在△ABB1中得，B1B＝3.

8．已知四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底

- 4 -

面ABCD，△PAD为正三角形，AB＝2AD＝4，则球O的表面积为________．

[答案]

64π 3

[解析] 过P作PE∥AB交球面于E，连结BE、CE，则BE∥AP，CE∥DP，∴三棱柱APD－BEC为正三棱柱，

23∵△PAD为正三角形，∴△PAD外接圆的半径为，

3∴球O的半径R＝

232422＋??＝，

3364π. 3

∴球O的表面积S＝4πR2＝9.(2015·唐山市海港中学月考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1，AB上的点．下列说法正确的是________．(填上所有正确命题的序号)

①A1C⊥平面B1EF；

②在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线； ③△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；

④当E，F为中点时，平面B1EF截该正方体所得的截面图形是五边形； 2⑤当E，F为中点时，平面B1EF与棱AD交于点P，则AP＝.

3[答案] ②③④⑤

[解析] ①BC⊥平面ABB1A1，A1C是平面ABB1A1的斜线，A1B是A1C在平面ABB1A1内的射影，显然A1B与B1F不垂直，∴A1C与B1F不垂直，∴①错；②∵平面B1EF与平面A1B1C1D1相交于过B1的一条直线l，在平面A1B1C1D1内总存在与l平行的直线m，∴m∥平面B1EF，∴②正确；③△B1EF的顶点B1，F在平面BCC1B1内的正投影依次为B1，B，而E点的正投影E′落在CC1上，显然△BB1E′的面积为定值，∴③正确；④当E、F为中点时，由平面B1EF与对面ABB1A1和DCC1D1都相交，故交线平行，设M为C1D1中点，G为D1M中点，则EG∥DM∥B1F，∴平面B1EF与平面A1B1C1D1的交线为B1G，从而在AD上取点P，使AP＝

- 5 -

2PD，则FP∥B1G，连接EP，得平面B1EF截正方体得到的截面图形是五边形GEPFB1，∴④正确；⑤正确．

三、解答题

10．(文)如图，已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.

(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；

(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．

[解析] (1)证明：∵AB∥DC，AD⊥DC，∴AB⊥AD， 在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，∴BD＝2， 易求BC＝2，又∵CD＝2，∴BD⊥BC.

又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，∴BD⊥平面B1BCC1.

(2)DC的中点即为E点． ∵DE∥AB，DE＝AB，

∴四边形ABED是平行四边形．∴AD綊BE. 又AD綊A1D1，∴BE綊A1D1，

∴四边形A1D1EB是平行四边形．∴D1E∥A1B.

∵D1E?平面A1BD，A1B?平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD.

(理)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BB1，DD1和CC1的中

- 6 -

点．

(1)求证：C1F∥平面DEG； (2)求三棱锥D1－A1AE的体积；

(3)试在棱CD上求一点M，使D1M⊥平面DEG.

[解析] (1)证明：∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，F，G分别为棱DD1和CC1的中点， ∴DF∥GC1，且DF＝GC1.

∴四边形DGC1F是平行四边形．∴C1F∥DG. 又C1F?平面DEG，DG?平面DEG， ∴C1F∥平面DEG.

(2)正方体ABCD－A1B1C1D1中，有A1D1⊥平面AA1E. ∴A1D1是三棱锥D1－A1AE的高，A1D1＝1. 1

∴VD1－A1AE＝·S△A1AE·D1A1

3111＝××1×1×1＝. 326

(3)当M为棱CD的中点时，有D1M⊥平面DEG. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，有BC⊥平面CDD1C1， 又∵D1M?平面CDD1C1，BC∥EG，∴EG⊥D1M. 1又∵tan∠GDC＝tan∠MD1D＝，

2

∴∠GDC＝∠MD1D，∴∠MD1D＋∠D1DG＝∠GDC＋∠D1DG＝90°，∴D1M⊥DG. 又DG∩EG＝G，∴D1M⊥平面DEG.

一、解答题

11．(文)如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，EC＝CA＝2BD，M

- 7 -

是EA的中点．求证：

(1)DE＝DA；

(2)平面BDM⊥平面ECA.

[证明] (1)如图所示，取EC中点F，连接DF. ∵EC⊥平面ABC，BD∥EC，

∴BD⊥平面ABC，∴BD⊥AB， 1

∵BD∥EC，BD＝EC＝FC，∴EC⊥BC.

2∴四边形FCBD是矩形，∴DF⊥EC. 又BA＝BC＝DF， ∴Rt△DEFRt△ADB， ∴DE＝DA.

(2)如图所示，取AC中点N，连接MN、NB， 1

∵M是EA的中点，∴MN綊EC.

2

1

由BD綊EC，且BD⊥平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，于是DM⊥MN.

2∵DE＝DA，M是EA的中点，∴DM⊥EA. 又EA∩MN＝M，∴DM⊥平面ECA， 而DM?平面BDM，∴平面ECA⊥平面BDM.

(理)(2013·合肥第二次质检)如图，在几何体ABDCE中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥平面ABD.M为线段BD的中点，MC∥AE，AE＝MC＝2.

(1)求证：平面BCD⊥平面CDE；

(2)若N为线段DE的中点，求证：平面AMN∥平面BEC.

- 8 -

1

[解析] (1)∵AB＝AD＝2，AB⊥AD，M为线段BD的中点，∴AM＝BD＝2，AM⊥BD.

21

∵MC＝2，∴MC＝BD，∴BC⊥CD.

2

∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD. ∴平面ABD⊥平面CBD，∴AM⊥平面CBD. 又MC綊AE，∴四边形AMCE为平行四边形， ∴EC∥AM，∴EC⊥平面CBD，∴BC⊥EC， ∵EC∩CD＝C，∴BC⊥平面CDE， ∴平面BCD⊥平面CDE.

(2)∵M为BD中点，N为ED中点， ∴MN∥BE且BE∩EC＝E， 由(1)知EC∥AM且AM∩MN＝M， ∴平面AMN∥平面BEC.

12．(文)(2014·山东威海一模)如图所示，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．

(1)求证：平面ADF⊥平面CBF； (2)求证：PM∥平面AFC； (3)求多面体CD－AFEB的体积V.

[解析] (1)证明：∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB， ∴CB⊥平面ABEF.

又AF?平面ABEF，∴CB⊥AF.

又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝3，∴AF2＋BF2＝AB2，∴得AF⊥BF.又BF∩CB＝B，∴AF⊥平面CFB.∵AF?平面ADF，∴平面ADF⊥平面CBF.

(2)证明：连接OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，∴PH∥CF.又∵CF?平面AFC，∴PH∥平面AFC.连接PO，则PO∥AC，∵AC?平面AFC，PO?平面AFC，∴PO∥平面AFC.又PO∩PH＝P，∴平面POH∥平面AFC，PM?平面POH，PM∥平面AFC.

(3)多面体CD－AFEB的体积可分成三棱锥C－BEF与四棱锥F－ABCD的体积之和．

- 9 -

在等腰梯形ABEF中，计算得EF＝1，两底间的距离EE1＝11133

∴VC－BEF＝S△BEF×CB＝××1××1＝，

3322121133VF－ABCD＝S?ABCD×EE1＝×2×1×＝，

3323∴V＝VC－BEF＋VF－ABCD＝

53

. 12

3， 2

(理)(2014·山西太原模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AC＝4，AB＝BC＝22.

(1)求证：平面ABC⊥平面APC；

(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．

[解析] (1)证明：如图所示，取AC中点O，连接OP，OB.

∵PA＝PC＝AC＝4，

∴OP⊥AC，且PO＝4sin60°＝23. ∵BA＝BC＝22，

∴BA2＋BC2＝16＝AC2，且BO⊥AC， ∴BO＝AB2－AO2＝2.

∵PB＝4，∴OP2＋OB2＝12＋4＝16＝PB2，∴OP⊥OB. ∵AC∩OB＝O，∴OP⊥平面ABC. ∵OP?平面PAC， ∴平面ABC⊥平面APC.

dd(2)设直线PA与平面PBC所成角的大小为θ，A到平面PBC的距离为d，则sinθ＝＝. AP4∵PB＝PC＝4，BC＝22，

1BC1

∴S△PBC＝BC·PB2－??2＝×22×14＝27.

222

- 10 -

183由(1)知，VP－ABC＝S△ABC·PO＝，

33又VA－PBC＝VP－ABC， 183

∴×27·d＝， 33

421d21∴d＝，∴sinθ＝＝，

747

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

21

. 7

[点评] 由第(1)问知OB、OP、AC两两垂直，故可以O为原点，OB、OC、OP为x轴、y轴、z轴建立坐标系，用向量法解答第(2)问．

13．(2014·四川绵阳二诊)如图所示，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥1FE，∠AFE＝60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF＝FE＝AB＝AD＝2，点G为AC的中点．

2

(1)求证：EG∥平面ABF； (2)求三棱锥B－AEG的体积；

(3)试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由． [解析] (1)证明：取AB中点M，连FM，GM.

1

∵G为对角线AC的中点，∴GM∥AD，且GM＝AD.

21

又∵FE綊AD，∴GM∥FE且GM＝FE.

2∴四边形GMFE为平行四边形，∴EG∥FM.

又∵EG?平面ABF，FM?平面ABF，∴EG∥平面ABF. (2)作EN⊥AD，垂足为N，

由平面ABCD⊥平面AFED，平面ABCD∩平面AFED＝AD， 得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E－ABG的高． ∵在△AEF中，AF＝FE，∠AFE＝60°， ∴△AEF是正三角形．

- 11 -

∴∠AEF＝60°，EF∥AD知∠EAD＝60°，∴EN＝AEsin60°＝3. 1123∴三棱锥B－AEG的体积为V＝·S△ABG·EN＝×2×3＝.

333(3)平面BAE⊥平面DCE.证明如下：

∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED， ∴CD⊥平面AFED，∴CD⊥AE.

∵四边形AFED为梯形，FE∥AD，且∠AFE＝60°， ∴∠FAD＝120°.

又在△AED中，EA＝2，AD＝4，∠EAD＝60°， 由余弦定理，得ED＝23，∴EA2＋ED2＝AD2， ∴ED⊥AE.

又∵ED∩CD＝D，∴AE⊥平面DCE. 又AE?平面BAE，∴平面BAE⊥平面DCE.

14．(文)(2014·甘肃张掖月考)如图所示，在底面是正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是PC的中点，G为AC上一动点．

(1)求证：BD⊥FG；

(2)确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由； (3)如果PA＝AB＝2，求三棱锥B－CDF的体积．

[解析] (1)证明：∵PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，∴PA⊥BD，AC⊥BD.∴BD⊥平面APC.

∵FG?平面PAC，∴BD⊥FG.

3

(2)当G为EC的中点，即AG＝AC时，FG∥平面PBD.

4

理由如下：连接PE.∵F为PC的中点，G为EC的中点，∴FG∥PE. ∵FG?平面PBD，PE?平面PBD，∴FG∥平面PBD.

112

(3)三棱锥B－CDF的体积为VB－CDF＝VF－BCD＝××2×2×1＝. 323

(理)(2014·唐山一中月考) 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，BC⊥侧面AA1C1C，AC＝BC＝π

1，CC1＝2, ∠CAA1＝，D、E分别为AA1、A1C的中点．

3

- 12 -

(1)求证：A1C⊥平面ABC；

(2)求平面BDE与平面ABC所成角的余弦值．

[解析] (1)证明：∵BC⊥侧面AA1C1C，A1C在平面AA1C1C内，∴BC⊥A1C， π

△AA1C中，AC＝1，AA1＝C1C＝2，∠CAA1＝，

3

π

由余弦定理得A1C2＝AC2＋AA2AA1cos∠CAA1＝12＋22－2×1×2×cos＝3， 1－2AC·3∴A1C＝3，∴AC2＋A1C2＝AA21，∴AC⊥A1C， ∵AC∩BC＝C，∴A1C⊥平面ABC. (2)由(1)知CA，CA1，CB两两垂直，

如图，以C为空间坐标系的原点，分别以CA，CA1，CB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，

B(0,0,1)，A(1,0,0)，A1(0，3，0)，

13333→1→

由此可得D(，，0)，E(0，，0)，BD＝(，，－1)，BE＝(0，，－1)．

222222→?BD＝0，?n·

设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，∴?

→?BE＝0.?n·3

x＋y－z＝0，?122

则有?

3

?2y－z＝0∴n＝(0，

2

，1)， 3

，令z＝1，则x＝0，y＝

2， 3→

∵A1C⊥平面ABC，∴CA1＝(0，3，0)是平面ABC的一个法向量， →n·CA127→

∴cos＝＝，

7→

|n||CA1|

27∴平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为. 7

- 13 -

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