正交变换的等价条件及其应用

目 录

1引言 ................................................................................................................... １ 2正交变换的定义及其等价条件 ........................................................................ １

2.1定义 ..................................................................................................................................１ 2.2等价条件 ..........................................................................................................................２

3正交变换的应用 ................................................................................................ ４

3.1化二次型为标准形 ..........................................................................................................４ 3.2解不变子空间相关问题 ..................................................................................................８ 3.3求解矩阵问题 ..................................................................................................................８ 3.4求解欧氏空间中其它相关问题 ......................................................................................８ 3.5在积分中的应用 .......................................................................................................... １１

4结束语 ............................................................................................................ １２ 参考文献 ........................................................................................................... １３ 致谢语 ............................................................................................................... １４

i

正交变换的等价条件及其应用

数学系2013级1班 许鹏

指导教师：陈金梅

摘要:正交变换在大学学习中是一个重要的概念,例如在代数中,它涉及到了线性代数中一大部分的基本概念,如矩阵、向量、线性变换、标准正交基等,深入探讨研究这个课题对学好高等代数和线性代数十分有帮助.不仅如此,它在其他的领域也有着大范围的普及,如在积分的应用中,在多重积分的方面。本文首先叙述了正交变换的最基础的概念,从它的定义开始,探究它在代数书中的一些特点和求解过程,主要就正交变换进行探索研究,得出它的几种等价条件,为了体现它的重要作用,我们将做一些例证,举例说明它的价值。

关键词:正交变换;标准正交基;内积;正交矩阵。

Equivalent Conditions of Orthogonal Transformation and Their

Applications

Xupeng

Class 1, Mathematics Department

Tutor:ChenJinMei

Abstract: Orthogonal transformation is an important concept in university learning. For example, in algebra, it involves a basic concept of a large part of linear algebra, such as matrix, vector, linear transformation, standard orthogonal basis, and so on. It is very helpful to learn higher algebra and linear algebra, and it is also popular in other fields, such as in the application of integral points, in the case of multiple points. This paper first describes the most basic concept of orthogonal transformation, from its definition, to explore its characteristics in the algebra of the book and the process of solving the main orthogonal transformation to explore the study, to obtain several of its equivalent conditions , In order to reflect its important role, we will do some examples, exemplify its value.

Key words: Orthogonal transformation; standard orthogonal basis; inner product; orthogonal matrix.

ii

1引言

我们熟知的正交变换在某些领域有着巨大作用，例如，近代数学，尤其是对科学技术。一些分析问题的出现，使得它应该对其做出数学的研究和探讨，其中代数方法有其显著意义。该方法应用一些问题之后，使其求解过程化繁为简，容易理解，易于解决。该变换在求解中时常用到，尤其在近代数学中应用广泛。

在我们认识的欧几里得空间中，一提到正交变换，大家都会想到它是线性变换，特点是向量长度不变，换句话说也就是向量内积是恒定的。在几何中，它有自己独特的定义，即每个点与每个点的长度固定，当然了，它还是变换的一种。除此之外，由于内积可以采用其他的方法得出结果，比如长度和夹角，所以，正交变换的描述途径也多种多样。数字中的联系十分紧密，比如正交基与矩阵，还有二次型，正是由于它们之间不可分离的联系，才有了等价条件，甚至于在高等代数的一些方面，打下坚实的基础，为研究提供了方便。

在卢联联，朱世平的论文中阐述了正交变换的定、性质及它的等价刻画。对该变换在中学数学中的应用也有简单介绍。在《正交变换的几个等价条件》中高伟探讨并详细叙述该变换的等价刻画。谢蜀忠在《正交变换的若干应用》中作以例证，对其应用进行深入的探究总结。

该变换是中学数学学习过程中的一个关键结点，而代数与几何形象而紧密的联系，让学生理解更加深刻。因此，本文在众多学者对其讨论与研究的基础上，深层次的思考、探索该变换的等价条件，较为详细的介绍归纳了其在数学物理等领域的应用。

2正交变换的定义及其等价条件

2.1定义

定义1 线性变换：设V是数域P上的线性空间。A是V上的一个变换。如果

对任意的?，??V，k?P都有

１

A??????A????A???

A?k???kA???

则称为空间的一个线性变换。

定义2 正交矩阵：如果n阶实矩阵A满足AAT?E或ATA?E,则称为正交矩阵

定义3 标准正交基：设V为n维欧式空间，若基?1,?2,...,?n 是的一个基，如果?1,?2,...,?n两两正交且都是单位向量，则称?1,?2,...,?n是的一个标准正交基。

定义4在代数书中,若一个变换每个点与每个点的长度固定,则称它是正交变换。在欧氏空间中，假定欧式空间V的线性变换A为正交变换，如果它

保持向量的内积不变，即对于任意的?,??V，都有

?A?,A?????,??.

定义5不变子空间：假定A是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的一个子空间.如果W中的向量在A下的像仍属于W中，对于W中任一向量?，有A??W，则称W是A的不变子空间。

定义6 正交补：设V1,V2是欧式空间若满足下面的条件 V的两个子空间，V1?V2?V,V1?V2

则称V2为V1的正交补。 2.2等价条件

换，于是下面的四个命题相互等价: 定理1[]设A是n维欧式空间中的线性变（1）A是正交变换;

（2）A保正向量的长度不发生变化，则对于??V,A???;

２

（3）若?1...,?n是标准正交基，则A?1...,A?n也是标准正交基; （4）A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 证明 如果A是正交变换，那么

?A?,A?????,??

两边开方即得

A???

反过来，如果A保持向量的长度不变，那么

?A?,A?????,??， ?A?,A?????,??，

?A(???),A(???)??????,????

把最后的等式展开即得

?A?,A???2?A?,a????A?,A?????,???2??,?????,??

再利用前两个等式，就有

?A?,a?????,??

这就是说，A是正交变换. 设?1,?2,...,?n是一组标准正交基，即

??i,?j???如果A是正交变换，那么

?1,当i?j,?i,j?1,2,...,n?.

?0,当i?j?1,当i?j,?A?i,A?j???0,当i?j?i,j?1,2,...,n?.

?这就是说，A?1,A?2,...,A?n是标准正交基.反过来，如果A?1,A?2,...,A?n是标准正交基，那么由

??x1?1?x2?2?...?xn?n,

??y1?1?y2?2?...?yn?n,与

３

A??x1A?1?x2A?2?...?xnA?n,A??y1A?1?y2A?2?...?ynA?n,即得

??,???x1y1?x2y2?...?xnyn

??A?,A??

因而A是正交变换.

设A在标准正交基?1,?2,...,?n下的矩阵为?，即

?A?1,A?2,...,A?n????1,?2,...,?n??

如果A?1,A?2,...,A?n是标准正交基，那么?可以看作由标准正交基

?1,?2,...,?n到A?1,A?2,...,A?n的过渡矩阵，因而是正交矩阵.反过来，如果?是正

交矩阵，那么A?1,A?2,...,A?n就是标准正交基.

这样，我们就证明了（1），（2），（3），（4）的等价性.

3正交变换的应用

3.1化二次型为标准形

nn定理2 任意一个实二次型??aijxixj,aij?aji都可以经过正交的线性替换变

i?1j?1成平方和

22. ?1y12??2y2?...??nyn例1设二次型

f?x,y,z??2x2?2y2?3z2?2xy，

试这把它转变为标准形，并写出所做的正交变换.

解 设此二次型的矩阵为?，则

４

?210??=?120? ????003??2计算可得?????(?-3），所以?的特征值为 （?-1）?1=?2=3，?3=1

当?=3时，得线性无关的特征向量

?1=?1,1,0?，?2=?0,0,1?

当?=1时，得线性无关的特征向量

''?3=?1,-1,0?

将它们单位化，得

'????1??????1????2??0????1?，?2??0?，?3??-?2?????1?0?????1??2?1? 2?0???令T=??1，?2，?3?，则T为正交矩阵，于是作正交变换

???x1??????1,?2,?3??x2?????x???3???121201??2??y1?1???0??y2? ?2??10??y3???0

22所求标准形为f?x1,x2,x3??3y12?3y2. ?y3例2 用正交变换化二次型为标准型

22f?5x12?5x2?2x3?8x1x2?4x1x3?4x2x3

解：二次型矩阵

５

?5?4?2???A???452?

??222???由

??5?E?A?4242?2??5?2??2

??142???1??5?20?2??2

142????1?0??9?40?2??2

????1?????2????9??8? ????1???2?11??10?

????1?2???10?

?0

∴??1(二重)??10

∴f?y2221?y2?10y3 当??1时，解方程?E?A?X?0. 对?E?A?做初等变换

?E?A???442???4?4?2?????2?2?1??1?000?????0??2?2?1????000????0?x?11?x22x3

６

?1?1?002???00???

1???1?x?x????x123?1???2???????2?x??x2???x2??t1?1??t2?0?

?x??x?0???1?3?3????????????1??1???????1??∴属于特征值1的无关特征向量为1??2?0?

?0??2?????将?1,?2正交化

?1??1

?1???211????????1???1??2,?1?2??1??0???1???

???1,?1?2?2?0??2?2????????????,?? ，将?1,?2单位化

?1?11???1?1??1? ?12???0??1???2??12?1??2??2??

??232??2?????当??10时，

?3??3?令T???11?3?3

?2?3? 则X?TY

22f?y12?y2?10y3

正交变换在于转化二次型方面有着特殊的作用和意义，比配方法要简单、准确。

７

3.2解不变子空间相关问题

交变换，例3 证明:设A是欧式空间中的一个正那么A的不变子空间的正交补也

是A的不变子空间.

证明 设W是A的任意一个不变子空间，取?1,...,?m为W的一组标准正交基，把它扩充成V的一组标准正交基?1,...,?m,?m?1,...,?n，那么

W?L??1,...,?m?,W????m?1,...,?n?

因为A为正交变换，所以A?1,A?2,...,A?n也是标准正交基，又由于W是A的不变子空间，所以A?1,...,A?m是W的一组标准正交基，而A?m?1,...,A?n?W?，任取

??am?1?m?1?...?an?n?W?，那么

A??am?1A?m?1?...?anA?n?W?

故W?是A的不变子空间. 3.3求解矩阵问题

例4对于Rn的线性变换A?x???x??x?Rn,??Rn?n取定?.证明: 若A是正交矩阵，则A是正交变换. 证对任意x,y?Rn，当A时正交矩阵时，有

?A?x?,A?y?????x,?y????x???y??x??y?xy??x,y?

''''可见A是正交变换.

3.4求解欧氏空间中其它相关问题

例5 设?是欧式空间中的一单位向量，定义A????2??????. 证明：(1)A是正交变换，这样的正交变换成为镜面反射；

(2)A是第二类的.

证:(1)对欧式空间中任意元素?,?和实数k1,k2有

８

A?k1??k2??

?k1??k2??2??,k1??k2???

?k1A??k2A?

所以A是线性的，又有

?A?,A??????2??,???,??2??,????

???,???2??,????,???2??,????,???4??,????,????,??

因为??,???1，所以?A?,A?????,??,故A为正交变换.

(2)由于?是单位向量，将它扩充成空间的一组标准正交基?,?1,?,?n 由于

A????2??,??????

A?i??i?2??,?i????i

于是

??1???1? ?A?,A?2,?,A?n????,?2,?,?n????????1??????,?2,?,?n??

因为???1，所以A是第二类的.

变的变换是正交变换例6 求证:欧式空间中保持内积不

证明 设A是欧氏空间V的一个变换，满足

?A?,A?????,??,??,??V

只要证明:A是V的线性变换，那么由正交变换的等价条件即证.

??,??V，有

?A(???)?A??A?,A(???)?A??A??

= ?A(???),A(???)??2?A(???),A???2?A(???),A???2?A?,A??

９

??A?,A????A?,A??

= ????,?????2????,???2????,???2??,?????,?????,?? = ??,???2??,?????,???2??,???2??,???2??,???2??,??

?2??,?????,?????,??

所以

A(???)?A??A??0.

即有

A(???)?A??A? ①

同理，由?A?k???kA?,A?k???kA???0， 可证

A?k???kA?,?k?R,???V ②

由①，②即证A是V的线性变化，又保持内积不变，从而A是V的正交变换. 例7设?是n 维欧氏空间V中一个单位向量，定义

?????2??1,???.???V ③

证明:?是第二类（行列式等于?1）的正交变换. 证 先证?是V的线性变换.??,??V,???R,由③有

?????????????2??1,?????

????2??,???????1?2??,????

??????.

??k???k?1?2??,k???k???2??,?????k????.

于是?是线性变换.

由?是单位向量，从?出发扩大为V的一组标准正交基?,?2,...,?n，则由③知

?????2??,??????.

１０

??i??i?2??,?i????i?i?2,3...,n? ???,?2,...,?n??????,?2,...,?n????

??1???1?为正交矩阵，故?是正交变换. 其中????????1??再由???1知?是第二类正交变换.

3.5在积分中的应用

在我们熟知的多元函数积分中在某些数学领域也有着重大的影响，它的换元法在一些计算中作用巨大，例如在积分的计算里。而换元的意义是为了把被积分的函数变得易于计算，或者是使积分这一部分变得简单、容易理解和转化，但换元具有不确定性,并对于使用者会有一定的挑战，所以在把新的积分变量带入到式子中时，我们一定要同一时间照顾到被积函数和积分区域的变化和性质.

例8：对于(??,??)上连续函数f(t),有

1x2?y2?z2?1???f(ax?by?cz)dxdydz???(1?u?12)f(ku)du

证明: 若a?b?c?0，原式=f(0)4dxdydz??f(0) 等式显然成???3x2?y2?z2?1?abc?立，因此可设k?0,把单位向量?,,?扩充成一正交矩阵

?kkk??a??kA??a21?a31???bka22a32c???u?k????a23 作正交变换?v????w?a33??????x???A?y? ?z???而J??(x,y,z)?detA/??1 ，?变为?/ ，u2?v2?w2?1

?(u,v,w)由上式得ax?by?cz?ku

１１

于是由三重积分变数替换公式得：

所以???f(ax?by?cz)dxdydz????f(ku)dudvdw

??/=?du?111w2?v2?1?u2??f(ku)dvdw=?1?1du?d??02?1?u20?f(ku)d?

=??(1?u2)f(ku)du

?1

4结束语

本文主要介绍正交变换这个大方向下的等价条件，其中融入了许多知名学者的丰富经验与结果，对有关的计算与应用做了进一步的探索与深入学习，让我们从多方面认识到了正交变换的重要程度，从而为它在实际应用的推广奠定了可靠的学术基础。

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参考文献

[1]卢联联、朱世平.正交变换的等价刻划及应用[J].林区教学,2014,203(2):79-80. [2]李秀英.关于正交变换的定义及其几个等价命题[J].通化师院学报,1998,(6):32-35.

[3]游家桦.正交变换在积分中的应用[J].贵阳金筑大学学报,2003,51(3)：102-104 [4]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第3版)[M].北京: 高等教育出版社,2003．

[5]李炯生,查建国,王新茂.线性代数(第2版)[M].合肥:中国科技大学出版社， 2010．

[6]杨永保 正交变换的两个等价条件的分析[J].甘肃联合大学学报（自然科学报）.2006(02)

[7]高伟.正交变换的几个等价条件[J].南通纺织职业技术学院学报,2008(06). [8]张力宏等.欧式空间中正交变换的几个等价条件[J].松辽学刊,1997,10(3):37-39 [9]谢蜀忠.正交变换的若干应用[J].天津职业技术师院,1994,2(45):158-159.

[10]林元重.正交变换在曲线、曲面积分中应用[ J].数学通报1996(12);145—147.

１３

致谢语

本人的学位论文是在我的导师陈金梅老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到项目的最终完成，陈老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。在此谨向陈老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。

在此，我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的每个可爱的同学们和尊敬的老师们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。

在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!谢谢你们!

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致谢语

本人的学位论文是在我的导师陈金梅老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到项目的最终完成，陈老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。在此谨向陈老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。

在此，我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的每个可爱的同学们和尊敬的老师们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。

在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!谢谢你们!

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