好位于喷水区域的边界．依题意得：()?()?2(x?0,y?0)，
x42y22x2?y2?100的条件下，求S?xy的最大值．……5分 问题转化为在x?0,y?0，4法一：
S?xy?2?xx?y?()2?y2?100， 22xx2?y2?100及x?0,y?0得：x?102,y?52 由?y和
24?Smax?100. …………………………11分
x2?y2?100， 法二：∵x?0,y?0，4x2x212?S?xy?x100?x?(100?)??(x2?200)2?100004=44
∴当x?200，即x?102，
2?Smax?100
x2?y2?100可解得：y?52． 由4答：花坛的长为102m，宽为52m，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求． ………………………12分 19解：（1）由c?3asinC?ccosA及正弦定理得：
3sinAsinC?sinCcosA?sinC?0
由于sinC?0，所以sin(A?又0?A??，故A??6)?1. 2?3. …………………………6分
（2）?ABC的面积S?2221bcsinA?3，故bc?4. 2而a?b?c?2bccosA，
故b?c?8，
解得：b?c?2. ………………………12分 20解：（1）如图所示 …………………………3分 （2）方程f(x)?5的解分别是2?14,0,4和2?14， 由于f(x)在???,?1?和?2,5?上单调递减， 在??1,2?和?5,???上单调递增，因此
22A???,2?14????0,4??2?14,??
?? 由于2?14?6,2?14??2，
?B?A. …………………………6分
（3）[解法一] 当x???1,5?时，f(x)??x2?4x?5. g(x)?k(x?3)?(?x2?4x?5）4?k2k2?20k?36?x?(k?4)x?(3k?5)?(x?)?
242k?2,?4?k?1. 24?k4?k?1，即2?x?6时，取x?， 22又?1?x?5， ① 当?1?g(x)mink2?20k?3612?????(k?10)?64?. ??44?16?(k?10)2?64,?(k?10)2?64?0， 则g(x)min?0.
② 当
4?k??1，即k?6时，取x??1， g(x)min＝2k?0. 2 由 ①、②可知，当k?2时，g(x)?0，x?[?1,5].
因此，在区间??1,5?上，y?k(x?3)的图像位于函数f(x)图像的上方. ……12分
[解法二] 当x???1,5?时，f(x)??x2?4x?5.
?y?k(x?3)2由? 得x?(k?4)x?(3k?5)?0， 2?y??x?4x?5令??(k?4)2?4(3k?5)?0，解得k?2或k?18，
在区间??1,5?上，当k?2时，y?2(x?3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1,8)； 当k?18时，y?18(x?3)的图像与函数f(x)的图像没有交点.
如图可知，由于直线y?k(x?3)过点(?3,0)，当k?2时，直线y?k(x?3)是由直线
y?2(x?3)绕点(?3,0)逆时针方向旋转得到. 因此，在区间??1,5?上，y?k(x?3)的图
像位于函数f(x)图像的上方. 21解：（1）S1?a1?12?1?2 S1当n≥2时，an?Sn?Sn?1即Sn?Sn?1??2SnSn?1…………2分
?11??2 SnSn?1故{1}是以2为首项，以2为公差的等差数列.……………………4分 Sn（2）由（Ⅰ）得
11 ?2?(n?1)?2?2n,Sn?Sn2n当n?2时，an??2SnSn?1??1………………………6分
2n(n?1)?1(n?1)?1?2当n?1时，a1??an??………………8分
12??(n?2)?2n(n?1)?2（3）①当n?1时，S1?111??成立……………………9分 424?1222②假设n?k时，不等式成立，即S1?S2?...?Sk?11?成立 24k2则当n?k?1时，S12?S2?...?Sk2?Sk2?1?111 ??224k4(k?1)111111k2?k?1 ??[?]???2224k(k?1)24k(k?1)11k2?k11 ?????24k(k?1)24(k?1)即当n?k?1时，不等式成立
由①，②可知对任意n?N不等式成立.
222（3）另证：S1?S2?...?Sn?*1111???...? 22244?24?34?n1111(1?2?2?...?2)423n
1111?(1???...?)41?22?3(n?1)n?111111(1?1????...??)4223n?1n …12分
11??.24n?'x22.解(1) f(x)的定义域为(??,??),f(x)?e?a. '若a?0，则f(x)?0，所以f(x)在(??,??)单调递增.
''若a?0，则当x?(??,lna)时，f(x)?0；当x?(lna,??)时，f(x)?0，
所以，f(x)在(??,lna)单调递减，在(lna,??)单调递增. …………………………6分
'x（2）由于a?1，所以(x?k)f(x)?x?1?(x?k)(e?1)?x?1. '故当x?0时，(x?k)f(x)?x?1?0等价于
k?x?1?x(x?0). ① ex?1x?1?xex?1ex(ex?x?2)'?x，则g(x)?x令g(x)?x. ?1?2x2e?1(e?1)(e?1)由（1）知，函数h(x)?ex?x?2在(0,??)单调递增.而h(1)?0,h(2)?0，所以h(x) 在(0,??)存在唯一的零点.故g'(x)在(0,??)存在唯一的零点.设此零点为a，则
a??1,2?.
当x??0,a?时，g'(x)?0；当x??a,???时，g'(x)?0.所以g(x)在(0,??)的最小值为g(a).又由g'(a)?0，可得e?a?2，所以g(a)?a?1??2,3?.
a由于①式等价于k?g(a)，故整数k的最大值为2. …………………………14分
广饶一中高三数学（文科）阶段性检测
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。）
21.已知集合A?x|x?x?2?0，B??x|?1?x?1?，则（ ）
???A.A??B B.B?A C.A?B D.A?B?? 2.复数z??3?i的共轭复数是（ ） 2?iA. 2?i B. 2?i C. ?1?i D. ?1?i 3.在一组样本数据((x1,y1),(x2,y2),若所有样本点(xi,yi)(i?1,2,（ ）
1
A.－1 B. 0 C. D. 1
2
4.已知?an为等比数列，a4?a7?2，a5a6??8，则a1?a10等于（ ） A.7 B. 5 C. ?? D. ??
5.已知正三角形ABC 的顶点A((1,1),B(1,3),，顶点C 在第一象限，若点(x,y)在?ABC内部，则z??x?y的取值范围是（ ）
A. (1?3,2) B. (0，2) C. (3?1,2) D.(0,1?3) 6.观察等式sin30?cos60?sin30cos60?22(xn,yn)(n?2,x1,x2,,xn不全相等)的散点图中，
,n)都在直线y?1x?1上，则这组数据的样本相关系数为2?3，4sin220?cos250?sin20cos50?3322和sin15?cos45?sin15cos45?，…，44由此得出以下推广命题，则推广不正确的是( ) A．sin??cos??sin?cos??22223 43 4B．sin(??30)?cos??sin(??30)cos??C．sin(??15)?cos(??15)?sin(??15)cos(??15)?D．sin??cos(??30)?sin?cos(??30)?22223s 43 47.一元二次方程ax2?2x?1?0,(a?0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A．a?0 8.若
B．a?0 C．a??1 D．a?1
11??0，则下列结论不正确的是（ ） abba222A．a?b B．ab?b C．??2 D．|a|?|b|?|a?b|
ab?5?9.已知??0,0????，直线x?和x?是函数f(x)?sin(?x??)图像的两条相
44邻的对称轴，则?等于（ ） A．
???3? B． C． D．
4432ex?e?x10.函数y?x的图像大致为 ( )
e?e?x yy 1 O 1 x D
A 11.当0?x?B C y 1 1x 11 O1 O1 x1时，4x?logax，则a的取值范围是（ ） 2 A．(0,22) B．(,1) C．(1,2) D．(2,2)
2212．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AB?CD?1，AB?3，动点P在BCD内运动(含边界)，设AP??AD??AB，则???的最大值是
（ ）
A． 2 B．
二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分。将答案填在题中的横线上） 13.曲线y?x(3lnx?1)在点（1,1）处的切线方程为____ __ __. 14.等比数列?an的前n项和为Sn，若S3?3S2?0，则公比q等于______ _. 15.已知向量a,b夹角为45°，且a?1，2a?b?10，则b .
134 C． D． 243?(x?1)2?sinx16.设函数f(x)?的最大值为M，最小值为m，则M?m等于___ _ .
x2?1三、解答题：（本题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分） 已知函数y?sin11x?3cosx，求： 22（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期； （2）函数y的单调递增区间. 18. （本小题满分12分）
如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器．已知喷水器的喷水区域是半径为5m的圆．问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？
19.（本小题满分12分）
已知a,b,c分别为?ABC三个内角A,B,C的对边，c?3asinC?ccosA （1）求A.
喷水器 喷水器 ??（2）若a?2，?ABC的面积为3，求b,c. 20.（本小题满分12分） 设函数f(x)?x2?4x?5.
（1）在区间[?2,6]上画出函数f(x)的图像； （2）设集合A?xf(x)?5,之间的关系，并给出证明；
（3）当k?2时，求证：在区间[?1,5]上，y?kx?3k的图像位于函数f(x)图像的上方.
??B?(??,?2]?[0,4]?[6,??). 试判断集合A和B
21. （本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1?（1）判断{1,an?2SnSn?1?0(n?2) 21}是否为等差数列？并证明你的结论； Sn（2）求Sn和{an}
（3）求证：S1?S2?....?Sn?22.（本小题满分14分）
22211?. 24n设函数f(x)?ex?ax?2 （1）求f(x)的单调区间；
（2）若a?1，k为整数，且当x?0时，(x?k)f'(x)?x?1?0，求k的最大值.
广饶一中高三数学（文科）阶段性检测
（参考答案）
一、选择题 BDDDA ACDAA BD 二、填空题：
13.y?4x?3 14. ?2 15. 32 16. 2 三、解答题：
1?x?) …………………………2分 232??4?………6分 （1）∴ 函数y的最大值为2，最小值为－2，最小正周期T?17. 解： ∵ y?2sin(?（2）由2k???2?1??x??2k??,k?Z，得 232函数y的单调递增区间为：?4k??,4k???,k?Z…………………………12分
33??18.解：设花坛的长、宽分别为xm,ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰
?5???
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