2024北京各城区一模导数

2018一模导数（文理）

朝阳理

18．已知函数f(x)?lnx?1?ax． x（Ⅰ）当a?2时，（ⅰ）求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（ⅱ）求函数

（Ⅱ）若1?a?2，求证：

f(x)的单调区间；

f(x)??1．

18． (本小题满分13分)

2?lnx2?2x2?lnxlnx?1?2?（Ⅰ）当a?2时，f(x)?. ?2x.f?(x)?22xxx

（ⅰ）可得f?(1)?0，又f(1)??3，所以f(x)在点（1,?3）处的切线方程为y??3. （ⅱ）在区间（0,1）上2?2x2?0，且?lnx?0，则f?(x)?0. 在区间（1,??）上2?2x2?0，且?lnx?0，则f?(x)?0. 所以f(x)的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1,??）. （Ⅱ）由x?0，f(x)??1，等价于

lnx?1?ax??1，等价于ax2?x?1?lnx?0. x 设h(x)?ax2?x?1?lnx，只须证h(x)?0成立.

12ax2?x?1 因为h?(x)?2ax?1??，1?a?2，

xx 由h?(x)?0，得2ax2?x?1?0有异号两根. 令其正根为x0，则2ax02?x0?1?0. 在(0,x0)上h?(x)?0，在(x0,??)上h?(x)?0.

2?x0?1?lnx0? 则h(x)的最小值为h(x0)?ax0

1?x03?x0?x0?1?lnx0??lnx0. 22 又h?(1)?2a?2?0，h?()?2(?)?a?3?0， 所以

12a2323?x01?x0?1.则?0,?lnx0?0. 223?x0因此?lnx0?0，即h(x0)?0.所以h(x)?0，所以f(x)??1.

2

朝阳文

20.（本小题满分13分）

已知函数f(x)?lnx?1?ax(a?R). x（Ⅰ）若a?0，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若a??1，求函数

f(x)的单调区间； f(x)??1.

（Ⅲ）若1?a?2，求证：

20. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）若a?0，则f(1)??1，f?(x)?所以

2?lnx，f?(1)?2， 2xf(x)在点?1，?1?处的切线方程为2x?y?3?0．

2?ax2?lnx（Ⅱ）x?(0,??)，f?(x)?.

x2?2ax2?1令g(x)?2?ax?lnx，则g?(x)?．

x2令g?(x)?0，得x???11?0） ．（依题意?2a2a由g?(x)?0，得x??11；由g?(x)?0，得0?x??． 2a2a11)上单调递减，在区间(?,??)上单调递增

2a2a所以，g(x)在区间(0,?所以，g(x)min?g(?151． )??ln?2a22a111?，ln??0． 2a22a因为a??1，所以0??所以g(x)?0，即f?(x)?0． 所以函数

f(x)的单调递增区间为(0,??)．

（Ⅲ）由x?0，f(x)??1，等价于

lnx?1?ax??1，等价于ax2?x?1?lnx?0. x 设h(x)?ax2?x?1?lnx，只须证h(x)?0成立.

12ax2?x?1 因为h?(x)?2ax?1??，1?a?2，

xx 由h?(x)?0，得2ax2?x?1?0有异号两根. 令其正根为x0，则2ax02?x0?1?0. 在(0,x0)上h?(x)?0，在(x0,??)上h?(x)?0.

2?x0?1?lnx0 则h(x)的最小值为h(x0)?ax01?x0?x0?1?lnx0 2

3?x0??lnx0.

2 1a3 又h?(1)?2a?2?0，h?()?2(?)?a?3?0，

2221 所以?x0?1.

23?x0 则?0,?lnx0?0.

23?x0因此?lnx0?0，即h(x0)?0.所以h(x)?0

2所以f(x)??1.

?

石景山理

19．已知f(x)?ex?ax2，曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y?bx?1. （Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）求f(x)在[0,1]上的最大值；

（Ⅲ）当x?R时，判断y?f(x)与y?bx?1交点的个数.（只需写出结论，不要求证明） 19．解：（Ⅰ）f?(x)?ex?2ax,

由已知可得f?(1)?e?2a?b，f(1)?e?a?b?1

解之得a?1,b?e?2．

（Ⅱ）令g(x)?f'(x)?ex?2x． 则g'(x)?ex?2,

故当0?x?ln2时，g'(x)?0，g(x)在[0,ln2)单调递减；

当ln2?x?1时，g'(x)?0，g(x)在(ln2,1]单调递增； 所以g(x)min?g(ln2)?2?2ln2?0，故f(x)在[0,1]单调递增，

所以f(x)max?f(1)?e?1．

（Ⅲ）当x?R时，y?f(x)与y?bx?1有两个交点.

石景山文

20．（本小题共14分）

设函数f(x)?lnx?m，m?R． xx零点的个数； 3（Ⅰ）当m?e时，求函数f(x)的极小值；（Ⅱ）讨论函数g(x)?f?(x)?（Ⅲ）若对任意的b?a?0，20.（本小题14分）

f(b)?f(a)?1恒成立，求实数m的取值范围．

b?ax?e(x?0)， x2所以当x?(0,e)时，f?(x)?0，f(x)在(0,e)上单调递减；

当x?(e,??)时，f?(x)?0，f(x)在(e,??)上单调递增；

解：（Ⅰ）因为f'(x)?ef(e)?lne??2． 所以当x?e时，f(x)取得极小值

e（Ⅱ）g(x)?f?(x)?x1mx??2?(x?0)，令g(x)?0，得m??1x3?x(x?0)． 3xx3312设?(x)??x3?x(x?0)，则??(x)??x?1??(x?1)(x?1)．

3所以当x?(0,1)时，??(x)?0，?(x)在(0,1)上单调递增；

当x?(1,??)时，??(x)?0，?(x)在(1,??)上单调递减；

所以?(x)的最大值为?(1)??12?1?，又?(0)?0，可知： 33①当m?22时，函数g(x)没有零点；②当m?或m?0时，函数g(x)332时，函数g(x)有2个零． 3有且仅有1个零点；③当0?m?（Ⅲ）原命题等价于f(b)?b?f(a)?a恒成立．(?). 设h(x)?f(x)?x?lnx?m?x(x?0)，则(?)等价于h(x)在(0,??)上单调递减． x即h?(x)?1m11?2?1?0在(0,??)上恒成立,所以m??x2?x??(x?)2?(x?0)恒xx2411．即m的取值范围是[,??)．

44成立，所以m?

东城理

（19）已知函数f(x)?ex?a(x?1).

（I）若曲线y?f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为0，求a的值； （II）若f(x)?0恒成立，求a的取值范围；

（III）证明：当a?0时，曲线y?f(x)(x?0)总在曲线y?2?lnx的上方. （19）解：（I）函数f(x)?ex?a(x?1)的定义域为R.

因为f(x)?ex?a(x?1)，所以f'(x)?ex?a. 由f'(0)?1?a?0得a?1. （II）f'(x)?ex?a(x?R). ①当a?0时，令f'(x)?0得x?lna.

x?lna时，f'(x)?0；x?lna时，f'(x)?0.

f(x)在(??,lna)上单调递减，在(lna,+?)上单调递增.

所以当x?lna时，f(x)有最小值f(lna)?a?a(1?lna)??alna. “f(x)?0恒成立”等价于“f(x)最小值大于等于0”，即?alna?0. 因为a?0，所以0?a?1.

x②当a?0时，f(x)?e?0符合题意；

11?1??1?11a?a(?1??1)?ea?1?0，不符合③当a?0时，取x0??1?，则f(x0)?eaa题意.

综上，若f(x)?0对x?R恒成立，则a的取值范围为[0,1].

x（III）当a?0时，令h(x)?f(x)?(2?lnx)?e?lnx?2(x?0)，可求h'(x)?e?x1. x111x因为h'()?e2?10?0，h'(1)?e?1?0，且h'(x)?e?在(0,??)上单调递增，

x2所以在（0，+?）上存在唯一的x0，使得h'(x0)?e0?x11?0，即ex0?，且 x0x01

x h'(x) h(x) (0,x0) ? x0 0 极小 x(x0,??) ? 则当x?x0时，h(x)存在最小值h(x0),且h(x0)?e0?lnx0?2?1?x0?2. x0因为x0?(,1)，所以h(x0)?1211?x0?2?2?x0?2?0.u x0x0所以当a?0时，f(x)?2?lnx(x?0)

所以当a?0时，曲线y?f(x)(x?0)总在曲线y?2?lnx的上方. .. …………14分

东城文

（20）已知函数f(x)?xsinx?acosx?x，a?R.

（Ⅰ）当a??1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）当a=2时，求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值；

（Ⅲ）当a?2时，若方程f(x)?3?0在区间[0,]上有唯一解，求a的取值范围. （20）解：（Ⅰ）当a??1时，f(x)?xsinx?cosx?x，

所以f'(x)?2sinx?xcosx?1，f'(0)?1.又因为f(0)??1， 所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?x?1.

（Ⅱ）当a?2时，f(x)?xsinx?2cosx?x，所以f'(x)??sinx?xcosx?1．

当x?(0,)时，1?sinx?0，xcosx?0，所以f'(x)?0.

?2?2?2?2??因此f(x)在区间[0,]上的最大值为f()??，最小值为f(0)?2.

22所以f(x)在区间[0,]上单调递增．

（Ⅲ）当a?2时，f'(x)?(1?a)sinx?xcosx?1.

设h(x)?(1?a)sinx?xcosx?1，h'(x)?(2?a)cosx?xsinx，

?2?所以h(x)在区间[0,]上单调递减．

2?因为h(0)?1?0，h()?1?a?1?2?a?0，

2?所以存在唯一的x0?[0,]，使h(x0)?0，即f'(x0)?0.

2?所以f(x)在区间[0,x0]上单调递增，在区间[x0，]上单调递减．

2??因为f(0)=a，f()??，又因为方程f(x)?3?0在区间[0,]上有唯一解，

22所以2?a?3.

因为a?2，x?[0,],所以h'(x)?0.

海淀理

lnx. x?a（Ⅰ）当a?0时，求函数f(x)的单调递增区间；

18. 已知函数f(x)?（Ⅱ）当a?0时，若函数f(x)的最大值为

1，求a的值. e218.（Ⅰ）当a?0时，f(x)?lnx, x1?x?lnx1?lnx xf'(x)??x2x2

令

f'(x)?0，得0?x?e, 故f(x)的单调递增区间为(0,e)

x?aa?lnx1??lnx （Ⅱ）方法1：f'(x)?xx?(x?a)2(x?a)2 令g(x)?1? 由g(e)?

aa1x?a?lnx, 则g'(x)??2???2?0 xxxxaa1?0，g(ea?1)?1?a?1?(1?a)?a?(a?1?1)?0 eee 故存在x0?(e,ea?1)，g(x0)?0

故当x?(0,x0)时，g(x)?0；当x?(x0,??)时，g(x)?0

x (0,x0) x0 0 极大值 (x0,??) f'(x) f(x) 故f(x0)?? ↗ ? ↘ 1 e2?a2?1?x?lnx0?0??x0?e?0 故? ，解得?2lnx1a?e?0???2??x0?ae 故a的值为e2.

（Ⅱ）方法2：

f(x)的最大值为

1lnx1x?(0,??)?的充要条件为对任意的，且存

e2x?ae2在x0?(0,??)，使得

lnx01?2，等价于对任意的x?(0,??)，a?e2lnx?x且存x0?ae2在 x0?(0,??)，使得a?elnx0?x0，

等价于g(x)?e2lnx?x的最大值为a.

e2g'(x)??1，

x令g'(x)?0，得x?e2.

x (0,e2) e2 0 极大值 (e2,??) g'(x) g(x) ? ↗ ? ↘ ·························· 13分 故g(x)的最大值为g(e2)?e2lne2?e2?e2，即a?e2. ·

海淀文

20．已知函数f(x)?exsinx?ax.

（Ⅰ）当a?0时，求曲线y?f(x)在(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，判断f(x)在[0,（Ⅲ）当a?1时，求证：?x?[0,3π]上的单调性，并说明理由； 43π]，都有f(x)?0. 420．解：（Ⅰ）当a?0时，f(x)?exsinx,

f'(x)?ex(sinx?cosx)x?R. 得f'(0)?1. 又f(0)?e0sin0=0, 所以曲线y?f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y?x.

（Ⅱ）方法1：

因为f(x)?exsinx?ax，所以f'(x)?ex(sinx?cosx)?a?2exsin(x+)?a

4?因为x?[0,3????]，所以x??[,?]. 所以2exsin(x?)?0. 44443?]单调递增. ………….…8分 4所以 当a?0时，f'(x)?0， 所以f(x)在区间[0,方法2：因为f(x)?exsinx?ax，所以f'(x)?ex(sinx?cosx)?a. 令g(x)?f'(x)，则 g'(x)?ex(sinx?cosx)?ex(cosx?sinx)?2excosx，

g(x),g'(x)随x的变化情况如下表：

x 0 ?(0,) 2+ ? 20 极大值 ?3?(,) 24? 3? 4 g'(x) g(x) 1?a ?a 3当a?0时，g(0)?1?a?0,g(?)??a?0.

4所以x?[0,

3?3?]时，g(x)?0，即f'(x)?0，所以f(x)在区间[0,]单调递增. 44（Ⅲ）方法1：

由（Ⅱ）可知，当a?0时，f(x)在区间[0,3?]单调递增， 4所以x?[0,3?]时，f(x)?f(0)?0. 当0?a?1时，设g(x)?f'(x)， 4则 g'(x)?ex(sinx?cosx)?ex(cosx?sinx)?2excosx，

g(x),g'(x)随x的变化情况如下表：

x 0 ?(0,) 2+ ? 20 极大值 ?3?(,) 243? 4 g'(x) ? g(x) 1?a ?a

??3?所以f'(x)在[0,]上单调递增，在(,]上单调递减

224因为f'(0)?1?a?0，f'(3?)??a?0， 4?3?所以存在唯一的实数x0?(,)，使得f'(x0)?0，

24且当x?(0,x0)时，f'(x)?0，当x?(x0,3?]时，f'(x)?0， 43?]上单调递减. 4所以f(x)在[0,x0]上单调递增，f(x)在[x0,3?3?23?23?2e?32又 f(0)?0，f()?e4??a?e4??3??0,

42422所以当0?a?1时，对于任意的x?[0,3?]，f(x)?0. 43?]，均有f(x)?0. ……….…13分 4

综上所述，当a?1时，对任意的x?[0,方法2：由（Ⅱ）可知，当a?0时，f(x)在区间[0,3?]单调递增， 4所以x?[0,3?]时，f(x)?f(0)?0. 4??3?当0?a?1时， 由（Ⅱ）知，f'(x)在[0,]上单调递增，在(,]上单调递减，

224因为f'(0)?1?a?0，f'(3?)??a?0， 4?3?所以存在唯一的实数x0?(,)，使得f'(x0)?0，

24且当x?(0,x0)时，f'(x)?0，当x?(x0,3?]时，f'(x)?0， 43?]上单调递减. 4所以f(x)在[0,x0]上单调递增，f(x)在[x0,3?3?3?23?2e2?3244又 f(0)?0，f()?e??a?e??3??0, 42422所以当0?a?1时，对于任意的x?[0,3?]，f(x)?0. 43?]，均有f(x)?0. .…………………….…13分 4综上所述，当a?1时，对任意的x?[0,

西城理

x18．已知函数f(x)?e?(a?1?lnx)，其中a?R． xx垂直，求a的值； e（Ⅰ）若曲线y?f(x)在x?1处的切线与直线y??（Ⅱ）当a?(0,ln2)时，证明：f(x)存在极小值． 18．（本小题满分13分）

111xx解：（Ⅰ）f(x)的导函数为f?(x)?e?(a??lnx)?e?(?2)

xxx

?ex?(a?21?2?lnx)． xx

依题意，有 f?(1)?e?(a?1)?e， 解得 a?0．

2121（Ⅱ）由f?(x)?ex?(a??2?lnx)及ex?0知，f?(x)与a??2?lnx同号．

xxxx令 g(x)?a?21?2?lnx， xxx2?2x?2(x?1)2?1 则g?(x)?． ?x3x3所以 对任意x?(0,??)，有g?(x)?0，故g(x)在(0,??)单调递增． 11因为 a?(0,ln2)，所以 g(1)?a?1?0，g()?a?ln?0，

221故 存在x0?(,1)，使得 g(x0)?0．

21f(x)与f?(x)在区间(,1)上的情况如下：

2x f?(x) f(x) 1(,x0) 2x0 0 (x0,1) ? + ↗ ↘ 极小值 1所以 f(x)在区间(,x0)上单调递减，在区间(x0,1)上单调递增．

2所以 f(x)存在极小值f(x0)．

西城文

20．已知函数f(x)?ex?(a?lnx)，其中a?R． （Ⅰ）若曲线y?f(x)在x?1处的切线与直线y??x垂直，求a的值； e（Ⅱ）记f(x)的导函数为g(x)．当a?(0,ln2)时，证明：且f(x0)?0． g(x)存在极小值点x0，

20．解：（Ⅰ）f?(x)?e?(a?lnx)?e?xx1x1?e?(a??lnx)． xx依题意，有 f?(1)?e?(a?1)?e，解得 a?0．

1xg(x)?e?(a??lnx)， （Ⅱ）由（Ⅰ）得

x 所以 g?(x)?e?(a?x11121?lnx)?ex?(?2)?ex?(a??2?lnx)． xxxxx21?2?lnx同号． xxx 因为 e?0，所以g?(x)与a?21x2?2x?2(x?1)2?1设 h(x)?a??2?lnx，则 h?(x)?． ?x3x3xx所以 对任意x?(0,??)，有h?(x)?0，故h(x)在(0,??)单调递增． 11因为 a?(0,ln2)，所以 h(1)?a?1?0，h()?a?ln?0，

2211故存在x0?(,1)，使得 h(x0)?0． g(x)与g?(x)在区间(,1)上的情况如下：

22x g?(x) g(x) 1(,x0) 2x0 0 (x0,1) ? + ↗ ↘ 极小值 1所以 g(x)在区间(,x0)上单调递减，在区间(x0,1)上单调递增．

21所以 若a?(0,ln2)，存在x0?(,1)，使得x0是g(x)的极小值点．

2令 h(x0)?0，得 a?lnx0?

1?2x01?2x0?0．，所以 f(x0)?ex0?(a?lnx0)?ex0? 22x0x0

丰台理

（18）已知函数f(x)?ex?a(lnx?1)(a?R)． （Ⅰ）求函数y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若函数y?f(x)在(,1)上有极值，求a的取值范围． （18）（本小题共13分）

解：函数f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)?ex?12a． x（Ⅰ）因为f(1)?e?a，f?(1)?e?a，

所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?(e?a)?(e?a)(x?1)， 即y?(e?a)x． （Ⅱ）f?(x)?ex?a． x（ⅰ）当a?0时，对于任意x?(,1)，都有f?(x)?0，

12所以函数f(x)在(,1)上为增函数，没有极值，不合题意． （ⅱ）当a?0时，令g(x)?ex?12aa，则g?(x)?ex?2?0． xx所以g(x)在(,1)上单调递增，即f?(x)在(,1)上单调递增，

1212?f?(1)?0,1?所以函数f(x)在(,1)上有极值，等价于? 12f?()?0.??2?e?e?a?0,所以? 所以?a?e．

2e?2a?0.??所以a的取值范围是(

e,e)． 2丰台文

（20）已知函数f(x)?（Ⅰ）当a?1?alnx(a?R)． xe1时，求曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程； e（Ⅱ）若函数f(x)在定义域内不单调，求a的取值范围． （20）（本小题共13分）

解：函数f(x)的定义域为(0,??)，

1aaex?x导函数f?(x)??x??． xexxe1111时，因为f?(1)????0，f(1)?， eeee1 所以曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y?．

e（Ⅰ）当a?aex?x(x?0)， （Ⅱ）f?(x)?xxe设函数f(x)在定义域内不单调时，a的取值范围是集合A； ．．．．函数f(x)在定义域内单调时，a的取值范围是集合B，则A?eRB． ．．．

所以函数f(x)在定义域内单调，等价于f?(x)?0恒成立，或f?(x)?0恒成立， ．．

xx即ae?x?0恒成立，或ae?x?0恒成立，

xxa?恒成立或恒成立． xxeex1?x令g(x)?x(x?0)，则g?(x)?x，

ee等价于a?由g?(x)?0得 0?x?1，所以g(x)在(0,1)上单调递增； 由g?(x)?0得 x?1，所以g(x)在(1,??)上单调递减．

1，且x?0时，g(x)?0， e11所以g(x)?(0，]． 所以B?{a|a?0,或a?}，

ee1所以A?{a|0?a?}．

e因为g(0)?0，g(1)?

百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库2024北京各城区一模导数在线全文阅读。