知识讲解_两角和与差的正弦、余弦与正切公式_基础

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【学习目标】

1．能以两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换. 【要点梳理】

要点一：两角和的余弦函数 两角和的余弦公式：

cos(???)?cos?cos??sin?sin? C?????

要点诠释：

(1)公式中的?、?都是任意角；

(2)和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos??????cos??cos?；

(3)公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由cos50?cos20??sin50?sin20?能迅速地想到

cos50?cos20??sin50?sin20??cos?50??20???cos30??3； 2(4)第一章所学的部分诱导公式可通过本节公式验证；

(5)记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反.

要点二：两角和与差的正弦函数 两角和正弦函数

sin(???)?sin?cos??cos?sin? S(???) 在公式S(???)中用??代替?，就得到： 两角差的正弦函数

sin(???)?sin?cos??cos?sin? S(???)

要点诠释：

(1)公式中的?、?都是任意角；

(2)与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin??????sin??sin?； (3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如

sin?2?????sin2?cos??cos2?sin??0?cos??1?sin???sin?

当?或?中有一个角是

?的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便； 2(4)使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin?????cos??cos?????sin?时，不要将sin?????和cos?????展开，而应采用整体思想，进行如下变形：

sin?????cos??cos?????sin??sin????????????sin?

这也体现了数学中的整体原则.

(5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同.

要点三：两角和与差的正切函数

利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角关系式推导.

sin(???)sin?cos??cos?sin?tan??tan? ??cos(???)cos?cos??sin?sin?1?tan?tan?sin(???)sin?cos??cos?sin?tan??tan? tan(???)???cos(???)cos?cos??sin?sin?1?tan?tan?tan(???)??tan(???)?tan??tan? T?????

1?tan?tan?tan??tan? T?????

1?tan?tan? tan(???)?要点诠释：

(1)公式成立的条件是：???2?k?,???2?k?,?????2?k?或?????2?k?，其中k?Z；

(2)公式的变形：tan??tan??tan(???)?1?tan?tan?? tan??tan??tan(???)?1?tan?tan??

(3)两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重

要

手

段

，

如

tan??tan??tan(???)?1?tan?tan??就可以解决诸如

tan25??tan20??tan25?tan20?的求值问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式

或其变形，使变换过程简单明了.

(4)公式对分配律不成立，即tan??????tan??tan?. 要点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系

（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键． （2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．?,?中若有为

?的整数倍的角时，使用诱2导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开．

2．重视角的变换

三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：

??(???)??;????(???)；??(2???)?(???)；??三角变换有：切化弦、1?sin??cos?等．

要点五：辅助角公式

1．形如asinx?bcosx的三角函数式的变形： asinx?bcosx

221?(???)?(???)?等，常见的2?ab22?a?bsinx?cosx=?2? 222a?b?a?b?令cos??aa?b22,sin??ba?b22，则

asinx?bcosx=a2?b2?sinxcos??cosxsin??

22 =a?bsin(x??)

（其中?角所在象限由a,b的符号确定，?角的值由tan??bb确定，或由sin??和

22aa?bcos??aa?b22共同确定．）

2．辅助角公式在解题中的应用

2222通过应用公式asinx?bcosx=a?bsin(x??)（或asinx?bcosx=a?bcos(???)），将形

如asinx?bcosx（a,b不同时为零）收缩为一个三角函数

a2?b2sin(x??)（或

a2?b2cos(???)）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三

角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 【典型例题】

类型一：两角和与差的三角函数公式的正用 例1．已知sin??45???，???,??，cos???，?是第三象限角，求cos(???)、sin(???)、513?2?sin(???)的值．

举一反三： 【变式1】已知sin??值．

例2．（1）tan(???)?（2）已知?,???12?π??π??π??π?，?是第二象限角，求cos????、cos????、sin????和sin????的133?3?3?3?????21,tan(???)?,求tan2?的值； 54?3?12?3??,??,sin(???)??,sin(??)?,求cos(??)的值．

45413?4?

举一反三：

【高清课堂：两角和与差的三角公式401863 例6 】 【变式1】已知?与?均为锐角，cos??35，cos(???)??，求cos? 513

类型二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用 例3．计算下列各式的值：

（1）cos12cos18?sin12sin18；

（2）3?tan15?；

1?3tan15?（3）tan17??tan28??tan17?tan28?．

举一反三：

【变式1】求下列各式的值：

（1）cos15°cos105°+sin15°sin105°； （2）sin xsin(x+y)+cos xcos(x+y)． （3）

【变式2】求值：

1?tan15?

1?tan15?sin7??cos15?sin8?

cos7??sin15?sin8?

类型三：两角和与差的三角函数在三角形中的应用 例4．在非直角△ABC中，

（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；

（2）若2B=A+C，且tanAtanC?2?3，求△ABC的三内角的大小．

举一反三：

【变式1】在△ABC中，sinA?

类型四：辅助角公式的应用

例5．将下列各式化成Asin(x??)的形式． （1）sin x+cos x； （2）2(sinx?cosx)；

35，cosB?，求cosC． 513（3）

26??????sin??x??cos??x?． 4?4?4?4?

举一反三：

【变式1】求函数f(x)?sinx?3cosx的最值、周期

【变式2】已知函数y?sinxx?3cos,x?R. 22（1）求y取最大值时相应的x的集合；

（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到y?sinx(x?R)的图象.

举一反三：

【变式1】在△ABC中，sinA?

类型四：辅助角公式的应用

例5．将下列各式化成Asin(x??)的形式． （1）sin x+cos x； （2）2(sinx?cosx)；

35，cosB?，求cosC． 513（3）

26??????sin??x??cos??x?． 4?4?4?4?

举一反三：

【变式1】求函数f(x)?sinx?3cosx的最值、周期

【变式2】已知函数y?sinxx?3cos,x?R. 22（1）求y取最大值时相应的x的集合；

（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到y?sinx(x?R)的图象.

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