浙江省杭州求是高级中学高考数学一轮复习4.2平面向量基本定理及

§4.2 平面向量基本定理及坐标表示

学考考查重点1.考查平面向量基本定理的应用；2.考查向量的坐标表示和向量共线的应用．

本节复习目标 1.理解平面向量基本定理的意义、作用；2.运用定理表示向量，然后再进行向量运算． 教材链接·自主学习 1． 平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ． 2． 平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，|a|＝ .

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

→→

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝ ，|AB|＝ . 3． 平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b? . 基础知识·自我测试 →→→

1． 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，

μ∈R，则λ＋μ＝________.

→→→

2． 在?ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则向量BD的坐标为__________． 3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与b平行，则k＝________. 4． 若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c等于

( ) A．3a＋b C．－a＋3b

B．3a－b D．a＋3b

5． (2011·广东)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于( )

1

A. 4

1

1

B. 2

C．1 D．2

题型分类·深度剖析 题型一 平面向量基本定理的应用

→

例1 已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AM＝

xAB，AN＝yAC，求＋的值．

xy 变式训练1 :

（1）（2013年广东卷）设a是已知的平面向量且a?0,关于向量a的分解,有如下四个命题:

①给定向量b,总存在向量c,使a?b?c;

②给定向量b和c,总存在实数?和?,使a??b??c;

③给定单位向量b和正数?,总存在单位向量c和实数?,使a??b??c; ④给定正数?和?,总存在单位向量b和单位向量c,使a??b??c;

上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（ ） A．1 B．2

C．3

D．4

→→→

11

(2)（2013年四川卷）如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交

于点O,AB?AD??AO,则??_____________.

→1→

(2)如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，

3→→2→

若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为_____．

11

题型二 向量坐标的基本运算

→→→→

例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，

CN＝－2b， (1)求3a＋b－3c (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

→

(3)求M、N的坐标及向量MN的坐标．

→

2

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