专题18 算法、复数、推理与证明(教学案)-2024年高考理数二轮复习

1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题． 2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．

3.推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比．

4.通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点．

一、算法框图与复数 1.算法框图

(1)程序框图是由一些图框和带箭头的流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序．

图框有输入、输出框、处理框、判断框、起止框四种． (2)三种基本的算法结构

①依次进行多个处理的结构称为顺序结构．

②先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构． ③需要重复执行同一操作的结构称为循环结构． 2．复数

(1)复数的相关概念及分类

①定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫复数，其中a为实部，b为虚部；i是虚数单位，且满足i2＝－1. ②分类：设复数z＝a＋bi(a、b∈R)

?a＝0?

z∈R?b＝0；z为虚数?b≠0，z为纯虚数??.

?b≠0?

③共轭复数：复数a＋bi的共轭复数为a－bi. ④复数的模：复数z＝a＋bi的模|z|＝a2＋b2. (2)复数相等的充要条件

a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a、b、c、d∈R)．

特别地，a＋bi＝0?a＝0且b＝0(a、b∈R)． (3)运算法则

①加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. ②乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. ?ac＋bd?＋?bc－ad?i③除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝. c2＋d2(4)复数加减法的几何意义

→→→→

①加法：若复数z1、z2对应的向量OZ1、OZ2不共线，则复数z1＋z2是以OZ1、OZ2为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．

→→→

②减法：复数z1－z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向OZ1的终点的向量对应的复数． 二、推理与证明 1.合情推理 (1)归纳推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理．

归纳推理的思维过程：实验观察→概括、推广→猜测一般性结论． (2)类比推理

根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．

类比推理的思维过程：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论． 2．演绎推理

根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理．演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理．

(1)演绎推理的特点

当前提为真时，结论必然为真． (2)演绎推理的一般模式——―三段论‖ ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 3．直接证明

从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．

(1)综合法

从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．

(2)分析法

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．

4．间接证明 (1)反证法的定义

一般地，由证明p?q转向证明：?q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断?q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．

(2)反证法的特点

先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾．

5．数学归纳法(理)

一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．学科@网

考点一、程序框图

例1．【2017课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3n?2n>1000的最小偶数n，那么在个空白框中，可以分别填入

A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2 C．A?1 000和n=n+1 D．A?1 000和n=n+2

和

两

【变式探究】【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的x?0，y?1，n?1,则输出x,y的值满足

（A）y?2x （B）y?3x （C）y?4x （D）y?5x

开始输入x,y,nn-1，y=ny2n=n+1x=x+x2+y2≥36？输出x,y结束

【变式探究】(2015·四川，3)执行如图所示的程序框图，输出S的值为( )

A．－

33

B. 22

1

D. 2

1

C．－

2

考点二 复数的概念

例2．【2017山东，理2】已知a?R,i是虚数单位，若z?a?3i,z?z?4，则a= （A）1或-1 （B）7或-7 （C）-3 （D）3 【变式探究】【2016高考新课标3理数】若z?1?2i，则

4i?（ ） zz?1(A)1 (B) -1 (C)i (D) ?i

2i

【变式探究】(2015·安徽，1)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )

1－iA．第一象限 C．第三象限

考点三 复数的四则运算 例3．【2017课标II，理1】

B．第二象限 D．第四象限

3?i?（ ） 1?ia的值为bA．1?2i B．1?2i C．2?i D．2?i 【变式探究】【2016高考天津理数】已知a,b?R，i是虚数单位，若(1?i)(1?bi)?a，则_______.

【变式探究】(2015·北京，1)复数i(2－i)＝( ) A．1＋2i C．－1＋2i

B．1－2i D．－1－2i

解析 i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i. 答案 A

考点四、类比推理

例4、【2017课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）

A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩

111

【变式探究】在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h1，则2＝2＋2；类比此性质，如图，h1CACB在四面体P－ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为________．

【变式探究】在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为A(0，a)、B(b,0)、C(c,0)，点P(0，p)在线段AO上(异于端点)，设a、b、c、p均为非零实数，直线BP、CP分别交AC、AB于点E、F，一同学已正111111

确算出OE的方程：(－)x＋(－)y＝0，则OF的方程为：(________)x＋(－)y＝0.

bcpapa

考点五、直接证明与间接证明

例5、若数列an：a1，a2，…，an(n≥2)满足|ak＋1－ak|＝1(k＝1,2，…，n－1)，则称an为E数列．记S(an)＝a1＋a2＋…＋an.

(1)写出一个满足a1＝a5＝0，且S(A5)>0的E数列A5；

(2)若a1＝12，n＝2000，证明：E数列an是递增数列的充要条件是an＝2011.

＋an＋1?2?1＋an?13?1

【变式探究】已知数列{an}满足：a1＝，＝，anan＋1<0(n≥1)；数列{bn}满足：

21－an1－an＋1

2

bn＝a2n＋1－an(n≥1)．

(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；

(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．

考点六、数学归纳法

例6、在单调递增数列{an}中，a1＝2，不等式(n＋1)an≥na2n，对任意n∈N*都成立． (1)求a2的取值范围；

(2)判断数列{an}能否为等比数列？说明理由．

bn－cn111

(3)设bn＝(1＋1)(1＋)…(1＋n)，cn＝6(1－n)，求证：对任意的n∈N*，≥0.

222an－12

【变式探究】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且

b≠1，b、r均为常数)的图象上．

(1)求r的值；

b1＋1b2＋1bn＋1

(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明对任意的n∈N*，不等式··…·>n＋1成

bbb12立．

1.【2017课标1，理3】设有下面四个命题

p：若复数z满足11z?R，则z?R；p2：若复数z满足z2?R，则z?R；

p3：若复数z1,z2满足z1z2?R，则z1?z2；p4：若复数z?R，则z?R.

其中的真命题为 A.p1,p3

B．p1,p4

C．p2,p3

D．p2,p4

2.【2017课标II，理1】

3?i1?i?（ ） A．1?2i B．1?2i C．2?i D．2?i 3.【2017山东，理2】已知a?R,i是虚数单位，若z?a?3i,z?z?4，则a= （A）1或-1 （B）7或-7 （C）-3 （D）3 4.【2017课标3，理2】设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣= A．

12 B．22 C．2 D．2

5.【2017课标II，理8】执行右面的程序框图，如果输入的a??1，则输出的S?（A．2 B．3 C．4 D．5

n

）

6.【2017课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3n?2n>1000的最小偶数n，那么在空白框中，可以分别填入

A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2 C．A?1 000和n=n+1 D．A?1 000和n=n+2

和

两个

7.【2017天津，理3】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

8.【2017山东，理6】执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为

（A）0，0 （B）1，1 （C）0，1 （D）1，0

9.【2017北京，理2】若复数?1?i??a?i?在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 （A）（–∞，1） （B）（–∞，–1） （C）（1，+∞） （D）（–1，+∞） 10.【2017天津，理9】已知a?R，i为虚数单位，若

a?i为实数，则a的值为 . 2?i11.【2017江苏，2】 已知复数z?(1?i)(1?2i),其中i是虚数单位，则z的模是 ▲ . 12.【2017江苏，4】右图是一个算法流程图，若输入x的值为

1,则输出的y的值是 ▲ . 16

1.【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的x?0，y?1，n?1,则输出x,y的值满足 （A）y?2x （B）y?3x （C）y?4x （D）y?5x

开始输入x,y,nn-1x=x+，y=ny2x2+y2≥36？输出x,y结束n=n+1

2.【2016高考新课标3理数】执行下图的程序框图，如果输入的a?4，b?6，那么输出的n?（ ）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

3.【2016年高考四川理数】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为

（A）9 （B）18 （C）20 （D）35

4.【2016高考新课标2理数】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x?2,n?2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s?（ ）

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34

5.【2016年高考北京理数】执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（） A.1 B.2 C.3 D.4

6.【2016高考山东理数】执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.

7.【2016高考天津理数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（（A）2

（B）4

（C）6

（D）8

8.【2016高考江苏卷】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 ▲ .

1.【2016新课标理】设x(1?i)=1+yi,其中x,y实数,则x?yi=( )

）（A）1 （B）2 （C）3 （D）2 2.【2016高考新课标3理数】若z?1?2i，则

4i?（ ） zz?1(A)1 (B) -1 (C)i (D) ?i

3.【2016高考新课标2理数】已知z?(m?3)?(m?1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）

， （B）(?13)， （C）(1,+?) （D）(-?，?3) （A）(?31)4.【2016年高考北京理数】设a?R，若复数(1?i)(a?i)在复平面内对应的点位于实轴上，则

a?_______________.

5.【2016高考山东理数】若复数z满足2z?z?3?2i, 其中i为虚数单位，则z=（ ） （A）1+2i

（B）1?2i

（C）?1?2i

（D）?1?2i

6.【2016高考天津理数】已知a,b?R，i是虚数单位，若(1?i)(1?bi)?a，则

a的值为_______. b7.【2016高考江苏卷】复数z?(1?2i)(3?i),其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________.

1．(2015·重庆，7)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )

A．(－2，2)

B．(－4，0) D．(0，－8)

C．(－4，－4)

2．(2015·福建，6)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )

A．2 B．1 C．0 D．－1

3．(2015·北京，3)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( )

3A．s≤

4

511B．s≤ C．s≤

612

25

D．s≤

24

4．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的―更相减损术‖．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝( )

A．0 B．2 C．4 D．14

5．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T的值为________.

6．(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( ) A．－1

B．0 C．1 D．2

7．(2015·广东，2)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝( ) A．3－2i B．3＋2i C．2＋3i D．2－3i 28．(2015·四川，2)设i是虚数单位，则复数i3－＝( )

iA．－i

B．－3i

C．i D．3i

z

9．(2015·山东，2)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )

1－iA．1－i

B．1＋i

C．－1－i D．－1＋i

1＋z

10．(2015·新课标全国Ⅰ，1)设复数z满足＝i，则|z|＝( )

1－zA．1 B.2 C.3 D．2

11．(2015·重庆，11)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为3，则(a＋bi)(a－bi)＝________．

1. 【2014高考安徽卷理第1题】设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数. 若z?1?i,则（ ）

A. ?2 B. ?2i C. 2 D. 2i 2. 【2014高考北京版理第9题】复数(z?i?z?i1?i2)? . 1?i3. 【2014高考福建卷第1题】复数z?(3?2i)i的共轭复数z等于（ ）

A.?2?3i B.?2?3i C.2?3i D.2?3i

4. 【2014高考广东卷理第2题】已知复数z满足?3?4i?z?25，则z?（ ） A.3?4i B.3?4i C.?3?4i D.?3?4i

5. 【2014高考湖北卷理第1题】 i为虚数单位，则(1?i2)?（ ） 1?iA. ?1 B. 1 C. ?i D.i

z?i?i（i是虚数单位）的复数z?（ ） z11111111A.?i B. ?i C. ??i D. ??i 222222226. 【2014高考湖南卷第1题】满足

7. 【2014高考江苏卷第2题】已知复数Z?(5?2i)2（i为虚数单位），则复数Z的实部是 . 8. 【2014江西高考理第1题】z是z的共轭复数. 若z?z?2，(z?z)i?2（i为虚数单位），则z?（ ）

A.1?i B. ?1?i C. ?1?i D. 1?i

9. 【2014辽宁高考理第2题】设复数z满足(z?2i)(2?i)?5，则z?（ ） A．2?3i B．2?3i C．3?2i D．3?2i

(1?i)310. 【2014全国1高考理第2题】?（ ） 2(1?i)A. 1?i B. 1?i C. ?1?i D. ?1?i

11. 【2014全国2高考理第2题】设复数z1，则z1z2?z1?2?i，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，（ ）

A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i

12. 【2014山东高考理第1题】已知a,b?R，i是虚数单位，若a?i与2?bi互为共轭复数，则

(a?bi)2?（ ）

A.5?4i B. 5?4i C. 3?4i D. 3?4i 13. 【2014四川高考理第11题】复数

2?2i? . 1?i14. 【2014浙江高考理第2题】已知i是虚数单位，a,b?R,则―a?b?1‖是―(a?bi)2?2i‖的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

15. 【2014重庆高考理第1题】复平面内表示复数i(1?2i)的点位于( )

A. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限

16. 【2014天津高考理第1题】i是虚数单位，复数（A）1-i （B）-1+i （C）

7+i= （ ）

3+4i17311725+i （D）-+i 25257710i17. 【2014大纲高考理第1题】设z?，则z的共轭复数为（ ）

3?iA．?1?3i B．?1?3i C．1?3i D．1?3i

18. 【2014高考上海理科】若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则(z?)?z=___________.

19.【2014高考上海理科第11题】已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={a2,b2},则a?b= . 20. 【2014天津高考理第3题】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为（ ） （A）15 （B）105 （C）245 （D）945

1z

21. 【2014高考安徽卷理第3题】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A. 34 B. 55 C. 78 D. 89

22. 【2014高考北京卷理第4题】当m?7,n?3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（A．7 B．42 C．210 D．840

23. 【2014高考福建卷第5题】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S得值等于（ A.18 B.20 C.21 D.40

） ）

24. 【2014高考湖北卷理第13题】设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I?a?，按从大到小排成的三位数记为D?a?（例如a?815，则

I?a??158，D?a??851）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果

b? .

25. 【2014高考湖南卷第6题】执行如图1所示的程序框图，如果输入的t?[?2,2]，则输出的S属于（ ）

A.[?6,?2] B.[?5,?1] C.[?4,5] D.[?3,6]

26. 【2014高考江苏卷第3题】右图是一个算法流程图，则输出的n的值是 . 开始 n?0 n?n?1 2n?20 N Y 输出n 结束 27. 【2014江西高考理第7题】阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）

开始i?1,S?0iS?S?lgi?2S??1否是输出i结束i?i?2A.7 B.9 C.10 D.11

28. 【2014辽宁高考理第13题】执行右侧的程序框图，若输入x?9，则输出y? .

29. 【2014全国1高考理第7题】执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）

A.

2071615 B. C. D. 325830. 【2014全国2高考理第7题】执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

31. 【2014山东高考理第11题】 执行右面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________.

32. 【2014重庆高考理第5题】执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）

A.s?12 B.s?35 C.s?7410 D.s?5 33. 【2014陕西高考理第4题】根据右边框图，对大于2的整数N，得出数列的通项公式是（Aa.n?2n B.an?2(n?1) C.an?2n D.an?2n?1

）

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