南通市2024届高三数学附加题考前指导_2

南通市2010届高三数学附加题考前指导

一．矩阵变换

n1. 二阶行矩的乘法:一般地MN?NM，M?MM?M，????=??

?cd??gh??ce?dgcf?dh?n2. 二阶行矩的乘法:一般地MN?NM，M?MM?M

?ab??ef??ae?bgaf?bh??ab??ef??ae?bgaf?bh??cos??sin??n=。A??cd??gh??ce?dgcf?dh??sin?cos??,A表示几何意义是什么？

????????3.几种常见的平面变换 (1) 恒等变换阵（即单位矩阵）： (2) 伸压变换: (3) 反射变换：

（4）旋转变换：（5）投影变换： （6）切变换：

4.逆矩阵常见的方法：ＡＢ＝ＢＡ＝E

?ab?（1）用待定系数法求逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵??，ＡＢ＝ＢＡ＝E； cd???b??d?detAdetA?ab（2）公式法：＝ad?bc，记为：detA，有A?1???，当且仅当detA=ad?bc?0；

a?cd??c??detAdetA??－－－

（3）从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵； （4）(AB)1＝B1A1 。 5利用逆矩阵解方程组 ??ax?b?m?ab??x??m??1?1?1AX?BAAX?AB?X?AB 可以表示成?=，简写成,??????cd??y??n??cx?dy?n(??a) -b?(??a)x?by?0?(??a)x?by?0；=0；（2）解?（3）取x?c (??d)??cx?(??d)y?0n6.求特征向量和特征值的步骤： （1）f(?)??1或者y?1，写出相应的向量；

7．如何求M?的步骤： （1）求M????，即M的特征值?和特征向量?；

?m?1?n?2,m,n是常数，但一般不是?1,?2；

?x?（2）用特征向量?1,?2线性表示向量????，即??y?（3）代入M??M(m?1?n?2)=mM?1?nM?2,因为M?1???11M?2??2?2，mM?1?nM?2=

nnnm??11?n?2?2，依此，M?=m?1?1?n?2?2；

?-12?例1.求矩阵M=?5 ?的特征值和特征向量

???23??-12?解：M=?5 ? 有两个特征值?=4，?=-2，属于????23?1

2

1

=4的一个特征向量为??2??，属于?5??2

=-2的一个特征向量为

?-2?。

??1??例2. 例18. 已知M=??1 -2??3?,????，试计算M20? ??-2 1??1??320?2??1?20?1?解：M??3???2(?1)????20?

??3?2????1??1??2020二．参数方程、极坐标

1. 常见的曲线的极坐标方程

（1）直线过点M(?0,?0),倾斜角为?常见的等量关系：

OPOM，?OMP??????0?OPM????； ?sin?OMPsin?OPM（2）圆心P(?0,?0)半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理

正弦定理

2.参数方程化为直角坐标：消去参数

222 （1）圆(x?a)?(x?b)?r的参数方程：x?a?rcos?,x?b?rsin?

x2y2 （2）椭圆2?2?1的参数方程：x?acos?,x?bsin?

aby?y0x?x0y?y0（3）直线过点M(x0,y0),倾斜角为?的参数方程：tan??即??t，

x?x0cos?sin?

即??x?x0?tcos??y?y0?tsin?(t是参数)注：cos??????x?x0y?y0，sin??根据锐角三角函数定义，T的几何意义是有向线段MP的数量； tt??2?x2?y2?x??cos?? 3. 极坐标和直角坐标互化公式? 或 ?，θyy??sin???tan??(x?0)x?（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合.

的象限由点(x,y)所在象限确定.

（2）将点(?,?)变成直角坐标(?cos?,?sin?)，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。

4．曲线的极坐标方程

(1)求曲线轨迹的方程步骤： （1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P(?,?)；（3）写出等式；（4）根据?,?几何意义用?,?表示上述等式，并化简（注意：x??,y??）；（5）验证。

注意：常见的技巧（1）直接法；（2）定义法；（3）坐标转移法（利用?,?几何意义） (2)求轨迹方程的常用方法：

⑴直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)?0,是求轨迹最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回方程 ⑶代入法(相关点法或转移法).

⑷定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义,则可由曲线定义直接写出方程.

⑸交轨法(参数法)：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 例1． 已知曲线C的极坐标方程是??4cos?．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数

?2x?t?1??2方程是：?，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长． ?y?2t??2解：直线l与曲线C相交所成的弦的弦长24?1=214．

例2. 已知圆C的参数方程为??x?3?2cos?? （?为参数），若P是圆C与y轴正半轴的交点，以圆心C为极点，x轴的正半轴为极轴

??y?2sin?建立极坐标系，求过点P的圆C的切线的极坐标方程。

解：?cos(??三．定积分 1、基本的积分公式：

mx0dx＝C；?dx＝?5?)?2即为所求切线的极坐标方程． 611xxxm?1＋C（m∈Q， m≠－1）；?dx＝lnx＋C；?edx＝e＋C；

m?1xax。 ?adx＝lna＋C；?cosxdx＝sinx＋C；?sinxdx＝－cosx＋C（表中C均为常数）

x（2）定积分的性质

①②③

??babkf(x)dx?k?f(x)dx（k为常数）；

ab?abf(x)?g(x)dx??f(x)dx??g(x)dx；

aabbaf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx（其中a＜c＜b)。

accb例1、如图，过点A(6，4)作曲线 （1）求切线l的方程；

f(x)?4x?8的切线l． y A l S O y?4x?8 （2）求切线l，x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S． 解：（1）∵

材

f?(x)?21，∴f?(6)?，∴切线l的方程为：

24x?8x 1即y?4?(x?6)，

21y?x?1．

2

（2）令

1f(x)?4x?8=0，则x=2．令y?x?1=0，则x= -2。

23661616121 ∴A=?(x?1)dx??4x?8dx=(x?x)?(4x?8)2=

?222?262346四．用向量方法求空间角和距离

??⑴求异面直线所成的角：设a、b分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角

????arccos??；

|a?b||a|?|b|??⑵求线面角：设l是斜线l方向向量,n是平面?法向量, 与直线l则斜线l的锐夹角为

????0|l?n|； |l?n|，则斜线l与平面?成角为90??，或?,cos????sin??????|注意：cos???l?n?|得到的角?是法向量与直线的夹角，并不是直线和平面成的角；

|l|?|n||l|?|n|????⑶求二面角(法一)在?内a?l,在?内b?l,其方向如图(略),则cos???a?b?；

|a|?|b|???????????n1?n2(法二)设n1,n2是两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角??l??的平面角cos???????；注：?1cos???n?n2|l|?|n|?????????0|n1|?|n2|不能判断二面角是钝角，还要根据图形辨别；

???????????????|AB?n|（4)求点面距离：设n是?法向量,在?内取一点B,则A到?距离d?|AB||cos?|?(即AB在n方向上投影的绝对值) ?|n||n1|?|n2|（5）坐标系的建立：作空间直角坐标系O-xyz时，使∠xOy=135°（或45°）， ∠yOz=90°。

(1)让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指能指向z轴的正方向，则称为右手直角坐标系； (2) OQ=x、OR=y、PA=z分别叫做点A的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作A（x,y,z）； (3) 平面法向量：由直线与平面垂直的判断定理可知， 不共线a,b，n

例1. 已知四棱锥P??a,n?b则n为平面?的法向量

ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且

是PB的中点．

PA?AD?DC?1,AB?2,M（1）求

AC与PB所成的角余弦值；（2）求二面角A?MC?B的余弦值．

10 （.2）故所求的二面角的余弦值为?2.

35n!m!(n?m)!n(m?n,m,n?N*), An?n!.

解：（1）AC与PB所成的角余弦值为五．排列、组合、二项式定理 1、排列数公式:Anm?n(n?1)?(n?m?1)?mnmAnn?(n?1)???(n?m?1)0n?(m?n),Cn组合数公式：C??Cn?1. m!m?(m?1)?(m?2)???3?2?1组合数性质：Cn2、二项式定理：

mn?mrr?1r?Cn；Cn?Cn?Cn?1.

rn?rr?Cnab(r?0,1,2,...,n)；

⑴掌握二项展开式的通项：Tr?1例1．已知an⑵注意第r＋1项二项式系数与第r＋1项系数的区别.

123n?An?An?An???An(n?N?)，当n≥2时，求证：

⑴an?1?1?kan11111；⑵(1?)(1?)(1?)?(1?)≤3? na1a2a3ann(n?1)!n!?1?n??nAkn?1(2?k?n)，

(n?k)![(n?1)?(k?1)]!（1）因为An?

an112nn?1=?A???A)?(A1[n?(nA1nnnn?1???nAn?1)]

nnna1n?1 ?1?(An?1???An?1)?1?an?1. 所以an?1?1?n．

n所以当n?2时，（2）由（1）得

an?1?1aa1?n，即1??n， an?1nan?1an?1nan?1…

所以(1?aaa1111)?(1?)?(1?)???(1?)?2?3?4a1a2a3an2a13a24a32n?11(A1?n?1?An?1???An?1)?an?1

(n?1)an ?an?1?1(n?1)!(n?1)!n!111?…???1

(n?1)!2!1!111111111?)?(?)?…?(1?)?2?3?． ?2?(??…?2nn?1nn?1n?21?2n(n?1)(n?1)(n?2)11111［另法：可用数学归纳法来证明??…???1?3?］

n!(n?1)!2!1！n ?六．数学归纳法

如果（1）当n取第一个值n0（例如n0（2）假设当n?1,2等）时结论正确；

?k（k?N*，且k?n0）时结论正确，证明当n?k?1时结论也正确．

那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．

注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证； （2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即n?k?1时为什么成立？n?k?1时成立是利用假设n?k时成立，根据有关的定理、

定义、公式、性质等数学结论推证n?k?1出时成立，而不是直接代入，否则n?k?1时也成假设了，命题并没有得到证明；

（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析． 例1．已知数列{an}的各项都是正数,且满足:（1）求a1,a2；（2）证明an解：（1）a0a0?1,an?1?1an?(4?an),n?N. 2?an?1?2,n?N．

?1,a1?13115a0(4?a0)?,a2?a1(4?a1)?, 2228方法一 用数学归纳法证明：1°当n=0时，a02°假设n=k时有ak?1 则n

3?1,a1?, ∴a0?a1?2，命题正确．

2?ak?2.

11ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak) 2211?2(ak?1?ak)?(ak?1?ak)(ak?1?ak)?(ak??1ak)(4?ak??1ak).

22?k?1时,ak?ak?1?而ak?1又ak?1?ak?0.?4?ak?1?ak?0,?ak?ak?1?0.

11ak(4?ak)?[4?(ak?2)2]?2. ∴n?k?1时命题正确． 22由1°、2°知，对一切n∈N时有an方法二：用数学归纳法证明：

1°当n=0时，a0?an?1?2.

3?1,a1?,∴0?a0?a1?2；

2 2°假设n=k时有ak?1 令有：

?ak?2成立，

1x(4?x)，f(x)在[0，2]上单调递增，所以由假设 2111f(ak?1)?f(ak)?f(2),即ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak)??2?(4?2),

222f(x)?也即当n=k+1时 七．概率分布

ak?ak?1?2成立，所以对一切n?N,有ak?ak?1?2。

1、离散性随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量?可能取得值为： X1，X2，…，X3，…，

?取每一个值Xi（I=1，2，…）的概率为P（??xi)?P，则称表

? P X1 P1 X2 P2 … … xi Pi … … 为随机变量?的概率分布，简称?的分布列。 两条基本性质：①

pi?0(i?1,2,…)；②P+P+…=1。

1

2

2、独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。

(1)两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P（A·B）=P（A）·P（B）； (2)如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：Pn(k)=CnPk(1－P)n-k。

3、随机变量的均值和方差 （1）随机变量的均值E?k?x1p1?x2p2?…；反映随机变量取值的平均水平。

2?(x1?E?)2p1?(x2?E?)2p2?…?(xn?E?)pn?…；反映随机变量取值的稳定与波动，集中

（2）离散型随机变量的方差：D?与离散的程度。 基本性质：E(a?4、几种特殊的分布列

?b)?aE??b；D(a??b)?a2D?。

甲结果发生,，来描述这个随机试验的结果。（1）两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则我们可用随机变量???1 ?如果甲结果发生的概率为P，则乙结果发生的概率必定为1－P，均值为E?=p，方差为D?=p（1－p）。

.?0 乙结果发生（2）二项分布:如果我们设在每次试验中成功的概率都为P，则在n次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，则ξ服从二项分布．则在n次试验中恰好成功k次的概率为：Pn?kk???k??Ck??p1?p. n记ε是n次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B（n，p）；

kkn?k?Cnpq(q?1?p,k?0,1,2,…,n)。期望Eε=np，方差Dε=npq。

3例1．假定某射手每次射击命中的概率为，且只有3发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用

4子弹数为X，求：

其概率Pn(k)⑴目标被击中的概率； ⑵X的概率分布； ⑶均值E(X)． 解：⑴目标被击中的概率为1?(1)3?63；

464⑵

X的分布列为

X

P（X）

1 3 433121?2??3??． 41616162

3 163 1 16⑶均值E(X)?1?例2、学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设?为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(??0)?7． 10(I) 求文娱队的人数；(II) 写出?的概率分布列并计算E?．

解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人． (I)∵P(??0)?P(??1)?1?P(??0)?27，∴P(??0)?3．即C7?2x?3．

2101010C7?x? 0 1 2

∴(7?2x)(6?2x)?3．∴x=2． 故文娱队共有5人．

P (7?x)(6?x)103 1045 1 10(II)

?211的概率分布列为P(??1)?C2?C4?4，P(??2)?C2?122，∴

C55C510E??0?341?1??2? =1． 10510

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