2024届辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中联考高考数学

BC的中点就是球心，所以BC=所以球的体积为：故答案为：

．

，球的半径为： =

；

；

15．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足

，则△ABC面积的最大值为

．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根据cosA的值，得出bc=b2+c2﹣a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，进而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．

【解答】解：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB， ∵tanA=∴

=

，tanB=

=

，

=

，

∴sinAcosB=cosA（2sinC﹣sinB）=2sinCcosA﹣sinBcosA， 即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA， ∵sinC≠0，∴cosA=，即A=∴cosA=

=，

，

∴bc=b2+c2﹣a2=b2+c2﹣（2rsinA）2=b2+c2﹣3≥2bc﹣3， ∴bc≤3（当且仅当b=c时，取等号）， ∴△ABC面积为S=bcsinA≤×3×则△ABC面积的最大值为：

．

=

，

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故答案为：

．

16．已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围

．

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】函数f（x）=|xex|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在个在取值范围．

【解答】解：f（x）=|xex|=

内，一

内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的

当x≥0时，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数； 当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），

由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣ex（x+1）＜0，f（x）为减函数，

=|xex|在所以函数f（x）（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，

要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，

令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在个根在

内，

内，一

再令g（m）=m2+tm+1， 因为g（0）=1＞0， 则只需g（）＜0，即

，解得：t＜﹣

．

所以，使得函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根

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的t的取值范围 是故答案为

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边，acosB+b=c．

．

．

（1）求∠A的大小；

（2）若等差数列{an}中，a1=2cosA，a5=9，设数列{求证：Sn＜．

【考点】数列的求和；余弦定理．

【分析】（1）过点C作AB边上的高交AB与D，通过acosB+b=c，可知∠A=60°；

}的前n项和为Sn，

（2）通过（1）及a1=2cosA、a5=9可知公差d=2，进而可得通项an=2n﹣1，分离分母得

=（

﹣

），并项相加即可．

【解答】（1）解：过点C作AB边上的高交AB与D， 则△ACD、△BCD均为直角三角形， ∵acosB+b=c．

∴AD=AB﹣BD=c﹣acosB=b， ∴∠A=60°；

（2）证明：由（1）知a1=2cosA=2cos60°=1， 设等差数列{an}的公差为d， ∵a5=a1+（5﹣1）d=9，∴d=2， ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1， ∴∴Sn=（

=

+

+…+

=（

﹣

﹣）

），

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=（1﹣＜．

）

18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的 中点．

（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试 确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出

的值．

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．

【分析】（I）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．

（ II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

【解答】（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD， 又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD， 又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，

又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD． （ II）∵平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD， ∴PQ⊥平面ABCD．

以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系如图．

则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，设

），B（0，，0），C（﹣2，，

，0），

（0＜λ＜1），则

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平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1）， =（x，y，z），

，

设平面MQB的一个法向量为则取

=

，

∵二面角M﹣BQ﹣C大小为60°， ∴解得

，此时

=

．

，

19．已知从“神十”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值．

（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及ξ的数学期望E（ξ）；

（Ⅱ）记“不等式ξx2﹣ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．

【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差．

【分析】（1）四次实验结束时，实验成功的次数可能为0，1，2，3，4，实验失

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