函数一致连续性证明论文

目 录

摘要…………………………………………………................................1 1 引言…………………………………………………................. ..........2 2 函数一致连续性的证明方法................…………………….. .............2

2.1 有限区间上的一致连续函数…………………..…...................2 2.2 无限区间上的一致连续函数………………………….............4 2.3 任意区间上的一致连续函数………………….........................5 3函数一致连续性的应用....…………………………………….............7 结论………………………………………………………..…................9参考文献...….....…………………......………………………..................9 致谢…………………………………………………………….............,,.9

函数一致连续性证明的几种方法及应用

数学计算机科学学院

摘 要：函数一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着

十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础，而且与随后的含参量积分，函数项级数等概念有着密切的联系.因此，证明函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文从函数一致连续性的概念出发，对函数一致连续性做出了深入分析，从不同类型区间包括有限区间，无限区间，以及任意区间等讨论了函数一致连续性和证明方法及其应用.

关键词：函数；一致连续；充要条件；康托定理

Function mean value theorem to prove and applicatio

College of Mathematics and Computer Science Arts

Abstrac: The uniformly continuous function is an important concept of

mathematical analysis course, plays a very important role in analyzing the matter. It is not only the continuous functions on closed interval Riemann integrable theoretical basis, and then the integral containing parameters, the concepts of series expressed by function terms has the close relation. As a result, the proof of function's consistent continuity is mathematical analysis is an important content. In this paper, starting from the concept of uniformly continuous function of uniformly continuous function has made the thorough analysis, from different types including limited interval, infinite interval, and arbitrary interval uniformly continuous function are discussed and proved method and its application.

Key words: function;Uniformly continuous; Necessary and sufficient

condition;Cantor theorem

1

1引言

函数f?x?在区间上一致连续与函数f?x?在区间上连续在概念上有着重大的差别：函数f?x?在区间上连续是函数f?x?在区间上每一点都连续，这是一个局部性质；而函数f?x?在区间上一致连续则是整体性质，它可推出函数f?x?在区间上每一点都连续这一局部性质，是更强的连续性概念.在这里我们对函数的一致连续性进行深入的探讨，并给出函数一致连续的几个证明方法与应用，以及在函数一致连续性的条件下得到的几个重要结论，以致更深入了解并掌握该定理.

2函数一致连续性的证明方法

函数一致连续的定义[1] 设函数f?x?为定义在区间I上的函数.若对任给的正数

?，总存在正数?，只要x'，x''属于I，且x'?x''??，就有

'''f?x??f?x???，则称函数f?x?在区间I上一致连续.

下面介绍函数一致连续性的几种方法 2.1 有限区间上的一致连续函数

设函数y?f?x?于区间(a,b)上有定义, 记Af????Supf?x1??f?x2?( 式中

x1 和x2为(a,b)中受条件x1?x2??限制的任意两点) 称为函数f?x?在区间

(a,b)上?的振幅数.

Af????0. 定理1 [2]函数f?x?在区间(a,b)上一致连续的充分必要条件是?lim?0?'证明 先证必要性 f?x?于(a,b)上一致连续, ???0,???0，使(a,b)中任何两点

x1和x2, 只要x1?x2??', 就有f(x1)?f(x2)??2.于是对于任意满足0????'的

2

?, 则当

x1?x2?? 时, 就有

f(x1)?f(x2)??2, 从而

Af????Supf?x1??f?x2???2Af????0. ??, 所以?lim?0?Af????0, ???0,??'?0, 使当0????'时, 恒有 再证充分性 设?lim??0'?Af?????, 令??，则0??*??', 设x1和x2为(a,b)中满足x1?x2??*任意两2**点, 有f(x1)?f(x2)?Af?????, 所以f?x?于(a,b)内一致连续.

上式中区间(a,b)可改为区间I

定理2[3] （Cantor 定理） 若函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，则f(x)在?a,b?上一致续.

定理3[4] 函数f(x)在开区间?a,b?上一致连续的充要条件是f(x)在?a,b?上连

limf(x)与limf(x)都存在. 续，且x?a?x?b????0 ，?x',x''?(a,b) ，证明 （必要性）设f(x)在?a,b?上一致连续，即???0，

''''''''''''且x?x?? ， 有f(x)?f(x)?? .故?x,x?(a,b)，当x,x?(a,a??)

'''f(x)存在.同理limf(x)存在. 时，有f(x)?f(x)?? .据Cauchy 准则， xlim?a?x?b? （充分性）作函数f(x)的连续延拓F(x)

?f(a?0),x?a?F(x)??f(x),x?(a,b)

?f(b?0),x?b?则F(x) 在?a,b?上连续，由Cantor 定理，F(x) 在?a,b?上一致连续，从而f(x)在

?a,b?上一致连续.

定理4[5]f?x?在有限区间 I上一致连续的充要条件是：对于区间I上的任一柯西列（基本列）?xn?都有?f?xn??也为柯西列（基本列）.

证明:[必要性] 因为f?x?在I上一致连续，即对任意的??0，存在??0，使

3

得对任意的x,x'''?I，当x'?x''??时，有

f?x'??f?x''???，又?xn?为I中的柯西列，所以对上述?，存在N?0，

使得对于任意的m,n?N，都有xm?xn??，于是有f?xm??f?xn???，即

?f?x??为柯西列.

n [充分性] 用反证法 假设f?x?在I上非一致连续，即存在?0?0，使得

'''''''''对于任意的??0，存在x,x?I，当x?x??时，有f?x??f?x???0

取??

11'''''''，则存在xn,xn?I，且xn?xn?，但f?xn??f?xn???0.又I为有限nn''''区间，故?xn?为有界数列.存在收敛子列xnk，因xnk?xnk?0?n???，故xnk????是恒

''''''''也收敛，且与xnk的极限相同，从而数列xn1,xn1,xn2,xn2,''''''一个柯西列，但其象序列f(xn1),f(xn1),f(xn2),f(xn2),??,xnk',xnk'',,f(xnk'),f(xnk'')'''有fxnk?fxnk??0不是柯西列，这与?f?xn??为柯西列相矛盾，故f?x?在I????上一致连续.

2.2 无限区间上的一致连续函数

f(x)，limf(x) 定理1 [6] 若函数f(x) 在(a,??)((??,b))上连续且xlimx????a?(limf(x),limf(x))都存在，则f(x)在(a,??)((??,b))上一致连续.

x???x?b?f(x)存在，由Cauchy准则，???0，?X，?x',x''?[X?1,??)，有证明 因xlim??af(x')?f(x'')?? 成立，所以f(x)在[X?1,??) 上一致连续.又因f(x) 在f(x)存在，所以f(x)在 (a,??)上连续，有f(x)在?a,X?1?上连续，已知xlim?a??a,X?1?上一致连续.由一致连续函数区间具有可加性，得f(x)在(a,??)上一致

连续. 定理2

x???[7]

设函数f(x)在[a,??)上一致连续，g(x) 在[a,??)上连续，

lim[f(x)?g(x)]?0，则g(x) 在[a,??)上一致连续.

4

f(x)?g(x)]?0，即???0, ?X?a ，?x',x''?X 时，有 证明 已知xlim[???f(x')?g(x')??3.知f(x)在[a,??)上一致连续，故对上述???0，???0，

'''?x',x''?X，当x?x?? ，有f(x')?g(x')?'''综上，?x,x?X，且x?x??

?3.

'''''''''''''''有g(x)?g(x)?g(x)?f(x)?f(x)?f(x)?f(x)?g(x)??3??3??3?? ，

即g(x) 在[X,??)上一致连续，再由Cantor 定理g(x) 在[a,X]上一致连续，得

g(x) 在[a,??)上一致连续.

2.3 任意区间上的一致连续函数

定理1 设函数f?x?在区间I上有定义．则函数f?x?在区间I上一致连续的充要

im?xn?yn??0条件是区间I上任意两个数列?xn?，?yn?，只要l便有n??lim0?f?xn??f?yn???.

n??证明 必要性 因为函数f?x?在区间I上一致连续，则对任给的正数?，存在正数

'''? ，对属于区间I的任意两点x', x''，只要x?x??，就有

''f?x'??f?x???.

?xn?yn??0，故对上述的正数? ，存在正整数N ，使得当 又因为limn??n?N时，有xn?yn??，从而有f?xn??f?yn???，所以：lim?f?xn??f?yn???. 0n?? 充分性 用反证法来证明：假设函数f?x?在区间I上不一致连续，则存在

'''正数?0，使对任意的正数?,都存在属于区间I的x'，y，使得当x?y?1时，n 5

但fx?fy使xn?yn???'????'所以，对?n?0，

1?0，?yn?,存在属于I的两个数列?xn?，n 于是得到数列

1,但是f?xn??f?yn???0,n?1,2,3,n?xn?yn??0，但是lim?f?xn??f?yn???0．此结论?xn?,?yn??I，显然limn??n??与题设条件矛盾．所以充分性得证.

注：可用此定理来证函数f?x?在区间I上不一致连续.

定理2 若函数f?x?在区间?a,??? (这里a?0)上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在正数L,使得对区间?a,???上任意两点

x',x''，都有：

fx?x??f??'''?''f?x?在区间?a,???上一致连续． L'x?，则函数x证明 由条件知，对任意的属于?a,??? 的x ，（即有x?a?0），有

f?x??f?a??Lx?a， 因为：

f?x??f?a??f?x??f?a??Lx?a?L?x?a??L?x?a?

则有f?x??f?a??L?x?a?

又因为x?a?0，上式两边同除以x，得：

f?x?f?a?f?a??a?f?a???L?1????L?1?1???2L xxaa?x?f?a?f?x??2L?M记，由此可知：函数在区间?a,???上有界．对任给的正数ax? ，我们取正数：??a?，当x',x''??a,???，且x'?x''?? 有M?L 6

f?x''?x''ff(x')??x'x''?x''f?x??x''f(x'')x'x''?x??x''f(x'')?x''fx'x''?x??x'''''''f(x'')x''?f??f'?x??'f(x'')???fx'x''?x??x?x''???x??x'f(x'')1f(x'')?'??x'?x''''xx'

?Lx'?x''x'?x'?x''x?M?L?M??'?x?L?M??aL?M??a???x'?x''??x'?x''a???L?M故函数f?x?在区间上一致连续.

3 函数一致连续性的应用

定理1 [8]设函数f(x) 在区间(??,??)上有定义．若函数f(x)在区间(??,??)上一致连续，则存在非负实数a,b，使对一切属于区间(??,??)的x，都有

f(x)?ax?b.

证明 因为函数f(x)在区间(??,??)上一致连续，故对正数??1，存在正数?0，

''''''使当x?x??0 时，有f(x)?f(x)?1．对此正数?0，对任给的属于实数的x，

必存在整数n0?Z（ Z 为整数集） 及实数x0?(??0,??0),使得x?n0?0?x0，再

7

有函数f(x)在区间[??0,??0]上连续，从而有界，即存在正数M， 使得对任意属于[??0,??0]的x，有f(x)?M. 于是有：f(x)???f(k?k?1nk?1n0?x0)?f((k?1)?0?x0)??f(x0).

所以有：f(x)??f(k?0?x0)?f((k?1)?0?x0)?f(x0)?n?M.(3). 再由x?n0?0?x0知n?x?x0?0，代入（3）式有：

f(x)?x?x0?01?M?x?x0?0?M?x?0?x0?0?M?1?0x?(1?M).(4)

我们记

?0?a,1?M?b，则a?0,b?0

则（4）式可记为f(x)?ax?b,x?(??,??).

注：此定理的几何意义为：当函数f(x)在区间(??,??)上一致连续时，曲线

y?f(x)的斜率有上界a.

定理2 设函数f(x)在?a,???（这里a?0）上有定义.若函数f(x)在?a,???一致连续，则函数

f(x)在区间?a,???上有界. x证明 由函数f(x)在区间?a,???上一致连续，得：对正数??1，存在正数?，

'''''''''当x,x??a,???，且x?x??时，有f(x)?f(x)?1.再由函数f(x)在区间

[a,a??]上连续，从而有界，即存在正数M，使得对任意属于区间[a,a??]的x，

都有f(x)?M.

对任给的属于区间?a,???的x，存在自然数n0?N（N为自然数集）及属于

[0,?]的实数x*，使得x?a?0?nf(x?)??k?1n0*?，x有x?0n??a*?，x则

f?(ax)f(?x(??k1)?)?f?x(k?*)

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*得f(x)??f(x?(k?1)?)?f(x?k)?f(a?x)?n0?M.

k?1n0*又因为x?[0,?]及x?a?0，所以有

n0?Mn0?M1Mf(x)???? xa?n0??x*a?n0??a我们记M0?1??f(x)M?M. ，则M0?0.即有xa所以函数f(x)在区间?a,???上有界. 例1 讨论f(x)?x在?0,???上一致连续性 解: f(x)于?0,???上连续, 设a?0

① 当

x1?0?x?ax1?时, 设

0?x1?a,0?x2?a,

x1?x2??，则

x2??x2,?0?Af????Supf?x1??f?x2??? 且lim???0,

??0所以f(x)在?0,a?上一致连续.

② 当a?x???时,

x1?x2?x1?x2x1?x2??2a, 且?lim?0??2a?0

所以f(x)在?a,???上一致连续. 综上,f(x)在?0,???上一致连续.

2例2 证明y?f?x??x 在?a,b?上一致连续, 但在???,???上不一致连续.

22解: 当x1,x2??a,b?, x1?x2??时,x1?x2?x1?x2x1?x2??a?b??,

?a?b???0所以f(x)在?a,b?上一致连续. 而?lim?0????0, 取x1?1?,x2?21?2??2?,x1,x2????,???, 且有x?x?11221???2r?1?,

Af????Supf?x1??f?x2??x1?x2??1而lim???01????

所以f(x)在???,???上不一致连续. 例3 讨论f?x??1在?0,???上一致连续性. x9

?1?'?2??12?'xn?xn?lim????0, ??解: 设两数列?xn????,?xn????,(n?1,2,...) , limn??n??nn??n??n??'但limf(xn)?f(xn)?limn?n??n??n1?0，所以f?x??在?0,???上不一致连续. 2x由以上几例可看出本文的几种方法对判别函数的一致连续性来说较为方便、简洁, 显示出了它的优越性.

结论

证明函数一致连续性有很多种不同的方法，本文从不同类型区间出发，给出了函数一致连续性的证明，运用利普希茨条件、康托定理和振幅数来证明函数一致连续性，通过证明，我们对上述一些定理进行了复习，从而更加深入熟练的掌握函数一致连续性的证明方法，以及它们的运用.

参考文献：

[1]华东师大数学系.数学分析[M].上册.北京：高等教育出版社，1990.

[2]范新华.判别函数一致连续的几种方法.常州工学院学报.Vol.17.No.4,2004.08. [3]华东师大数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1999.100-101. [4]王少英.一致连续函数的判别法.唐山师范学院学报.第29卷第5期，2007.09. [5]刘红艳.一致连续函数的判定.科技信息.第23期，2008.

[6]刘玉莲.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1997.144.

[7]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京.高等教育出版社，1993.96-99 [8]张建建.函数一致连续性的几个证明方法.和田师范专科学校学报.2005.07.

致 谢

本次论文要大力感谢我院给予的支持，在我院提供的资料及设备支持下使得论文写作得以顺利完成。与此同时还要非常感谢周老师的悉心指导，在论文格式的设计及内容方面都得到周老师的帮助,周老师给予我细心的指导，多次给本文的撰写提出了宝贵的意见,真诚的感谢周老师的指导，在此也向直接或间接关心帮助过我的所有老师、同学表示由衷的谢意!

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?1?'?2??12?'xn?xn?lim????0, ??解: 设两数列?xn????,?xn????,(n?1,2,...) , limn??n??nn??n??n??'但limf(xn)?f(xn)?limn?n??n??n1?0，所以f?x??在?0,???上不一致连续. 2x由以上几例可看出本文的几种方法对判别函数的一致连续性来说较为方便、简洁, 显示出了它的优越性.

结论

证明函数一致连续性有很多种不同的方法，本文从不同类型区间出发，给出了函数一致连续性的证明，运用利普希茨条件、康托定理和振幅数来证明函数一致连续性，通过证明，我们对上述一些定理进行了复习，从而更加深入熟练的掌握函数一致连续性的证明方法，以及它们的运用.

参考文献：

[1]华东师大数学系.数学分析[M].上册.北京：高等教育出版社，1990.

[2]范新华.判别函数一致连续的几种方法.常州工学院学报.Vol.17.No.4,2004.08. [3]华东师大数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1999.100-101. [4]王少英.一致连续函数的判别法.唐山师范学院学报.第29卷第5期，2007.09. [5]刘红艳.一致连续函数的判定.科技信息.第23期，2008.

[6]刘玉莲.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1997.144.

[7]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京.高等教育出版社，1993.96-99 [8]张建建.函数一致连续性的几个证明方法.和田师范专科学校学报.2005.07.

致 谢

本次论文要大力感谢我院给予的支持，在我院提供的资料及设备支持下使得论文写作得以顺利完成。与此同时还要非常感谢周老师的悉心指导，在论文格式的设计及内容方面都得到周老师的帮助,周老师给予我细心的指导，多次给本文的撰写提出了宝贵的意见,真诚的感谢周老师的指导，在此也向直接或间接关心帮助过我的所有老师、同学表示由衷的谢意!

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