信号与系统王明泉科学出版社第五章习题解答

第5章 连续时间信号的抽样与量化

5.6本章习题全解

5.1 试证明时域抽样定理。

证明： 设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为

??T(t)???(t?nTn???s)

由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：

Fs(?)?12??F(?)??T(?)?

?1Ts?F????n???

sn????式中F(?)为原信号f(t)的频谱，?T(?)为单位冲激序列?T(t)的频谱。可知抽样后信号的频谱Fs(?)由F(?)以 ?s为周期进行周期延拓后再与1Ts相乘而得到，这意味着如果

?s?2?m，抽样后的信号fs(t)就包含了信号f(t)的全部信息。如果?s?2?m，即抽样间隔Ts?12fm，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建

原信号。 因此必须要求满足Ts?12fm，f(t)才能由fs(t)完全恢复，这就证明了抽样定理。

5.2 确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔： （1）Sa(50t)

（2）Sa(100t)

（4）Sa(100t)?Sa(60t)

22（3） Sa(50t)?Sa(100t)

解：抽样的最大间隔Ts?12fm称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率fs?2fm称为奈奎斯特速率，最低采样频率?s?2?m称为奈奎斯特频率。 （1）Sa(50t)??50[u(??50)?u(??50)]，由此知?m?5050rad/s，则fm?25?，

由抽样定理得：最低抽样频率fs?2fm??，奈奎斯特间隔Ts?1fs??50。

（2）Sa(100t)?2?100(1??200)

脉宽为400，由此可得?m?200fs?2fm?200rad/s，则fm?100?，由抽样定理得最低抽样频率

?，奈奎斯特间隔Ts??501fs??200。

（3）Sa(50t)?Sa(100t)?[u(??50)?u(??50)]，该信号频谱的?m?50rad/s

rad/s

?100[u(??100)?u(??100)],该信号频谱的?m?100Sa(50t)?Sa(100t)信号频谱的?m?100100rad/s,则fm?50?，由抽样定理得最低

抽样频率fs?2fm???，奈奎斯特间隔Ts?1fs??100。

（4）Sa(100t)?100[u(??100)?u(??100)],该信号频谱的?m?100

Sa(60t)?2?60(1??120)，该信号频谱的?m?120rad/s

60所以Sa(100t)?Sa2(60t)频谱的?m?120低抽样频率fs?2fm?120rad/s, 则fm??，由抽样定理得最

?，奈奎斯特间隔Ts?1fs??120。

5.3 系统如题图

?5.3

所示，f1(t)?Sa(1000?t)，f2(t)?Sa(2000?t)，

f1(t)f2(t)，fs(t)?f(t)p(t)。

p(t)???(t?nT)，f(t)?n??? （1）为从fs(t)中无失真地恢复f(t)，求最大采样间隔Tmax。

（2）当T?Tmax时，画出fs(t)的幅度谱Fs(?)。

f1(t) 时域相乘 f(t) 时域抽样 fs(t) f2(t) p(t) 题图 5.3

解：

（1）先求f(t)的频谱F(j?)。

f1(t)?Sa(1000?t)?F1(j?)?11000[u(??1000?)?u(??1000?)]

f2(t)?Sa(2000?t)?F2(j?)?12000[u(??2000?)?u(??2000?)]

F(j?)???114?[112?F1(j?)?F2(j?)12000(u(??2000?)?u(??2000?)]2?1000?10?6(u(??1000?)?u(??1000?))??{(??3000?)[u(??3000?)?u(??1000?)]?2000?[u(??1000?)?u(??1000?)]?(???3000?)[u(??1000?)?u(??3000?)]}

由此知F(j?)的频谱宽度为6000?，且?m?3000?的最大允许间隔Tmax?12fm?13000s

rad/s，则fm?1500Hz，抽样

?（2）p(t)???(t?nT)，所以为用冲激序列对连续时间信号为

n???f(t)进行采样，设原输

入信号f(t)的频谱密度为F(?)，而单位冲激序列的频谱密度为：

2?T?p(?)???(??n?s) 其中

n????s?2?T

则根据频域卷积定理得抽样信号fs(t)的频谱为：

Fs(?)?2?Tmax12?[F(?)*p(?)]?1T??F(??n?n???s)

而T?Tmax，则?s?

?3000?2??6000?rad/s，幅度谱如下图所表示。

5.4 对信号f(t)?eu(t)进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的

频谱。

解： 由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为：

F(j?)?11?j??t

其幅度频谱和相位频谱分别为

F(j?)?11??2

?(?)??arctan?

单边非因果指数函数的波形f(t)、 幅度谱F(j?)、相位谱?(?)如下图所示，其中a?1。

?(?)单边指数信号的波形和频谱

显然该信号的频谱范围为整个频域，故无论如何抽样一定会产生频率混叠效应。抽样后的频谱是将原信号频谱以抽样频率?s为周期进行周期延拓，幅度变为原来的

1Ts而得到。图

略。

5.5 题图5.5所示的三角形脉冲，若以20Hz频率间隔对其频率抽样，则抽样后频率对应的

时域波形如何？以图解法说明。

x(t) -50 0 50 t/ms

题图 5.5

解：三角形脉冲的频谱可根据傅里叶变换的时域微分特性得到，具体求解可参考课本第三章。

?E??2Sa()。其波形如图所示。 由此可知，脉宽为?幅度为E的三角形脉冲其频谱为

24X(j?)E?2?8???4?4??0?8???

三角函数的频谱

在x(t)中，??100ms?0.1s易求得x(t)的频谱为：

2X(j?)?0.05ESa(0.025?)

在??4??由频域卷积定理，抽样信号的频谱为：

Xs(j?)?1Ts?k?k?40?(k为整数)处，X(j?)为零，图略。

?X?j???n???

sn????其中Ts?1fs120Hz?0.05s，?s?2?fs?40?rad/s。抽样后的频谱是将三角形

频谱以?s为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的

1Ts，可见发生了频谱混叠现象。

5.6 若连续信号f(t)的频谱F(?)是带状的(?1～?2)，利用卷积定理说明当?2?2?1时，

最低抽样频率只要等于?2就可以使抽样信号不产生频谱混叠。 证明：由频域卷积定理的抽样信号的频谱为

Fs(?)?12??F(?)??T(?)?

2?Ts??12?1Ts[F(?)*???(w?n?n???ss)]

?

?F????n???n???抽样后的频谱是以抽样频率?s为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的

1Ts。由于频谱

F(?)是带状的且?2?2?1，所以当?s??2时频谱不会混叠。

5.7 如题图5.7所示的系统。求：

（1）求冲激响应函数h(t)与系统函数H(s)；

（2）求系统频率响应函数H(?)，幅频特性H(?)和相频特性?(?)，并画出幅频和

相频特性曲线；

（3）激励f(t)??u(t)?u(t?T)?，求零状态响应y(t)，画出其波形；

??（4）激励fs(t)??n?0f(nT)?(t?nT)，其中T为奈奎斯特抽样间隔，f(nT)为点上

f(t) 的值，求响应y(t)。

f(t) + ?? y(t)

- 延迟T 题图 5.7

解：（1）由图可知y?t???f?t??f?t?T??*u?t?

?1?e?

两边求拉氏变换可得Y?s??F?s??Tss?1?e?

所以H?s???Tss（2）图略

（3）f(t)的拉氏变换为F?s??1?es?Ts

2?1?e?零状态响应得拉氏变换为Y?s??H?s?F?s???Tss2

求拉氏反变换可得y???t?ut??2?t?T?u?t?T???t?2T?u?t?2T?

?1?e?可得h(t)?u?t??u?t?T?

（4）由H?s???Tss而y?t??fs?t?*h?t???f?nT???t?nT?*?u?t??u?t?T??

ssn?0?? ?

?f?nT??u?t?nT??u?t?nTssn?0??s?T??

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