2024-2025数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步

1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球

学习目标 1.认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征.2.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

知识点一 圆柱、圆锥、圆台的概念

思考 数学中常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台是如何形成的？

答案 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边，垂直于底边的腰所在的直线旋转一周后，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．

梳理 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．如图所示：

知识点二 球

思考 球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？

答案 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体． 梳理 球的结构特征

球 定义 半圆绕着它的直径所在的球心：半圆的圆心， 直线旋转一周所形成的曲球 面叫做球面，球面围成的直径：半圆的直径 几何体叫做球体，简称球

半径：半圆的半径， 如图可记作：球O 相关概念 图形及表示 知识点三 旋转面与旋转体

一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体．圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体．

1．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．( √ ) 2．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．( × ) 3．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．( × )

类型一 旋转体的基本概念 例1 判断下列各说法是否正确：

(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线； (2)一直角梯形绕下底所在的直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；

(4)在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球． 解 (1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．

(2)错．直角梯形绕下底所在的直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体，如图所示．

(3)正确． (4)错．应为球面．

反思与感悟 (1)圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．

(2)只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的说法的正误．

跟踪训练1 下列说法正确的是________．(填序号)

①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；

⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内； ⑥球面上任意三点可能在一条直线上． 答案 ④

解析 ①以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在的直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；球面上任意三点一定不共线，故⑥错误． 类型二 旋转体中的有关计算

例2 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求： (1)圆台的高；

(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．

解 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．

由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm. 又由题意知腰长为12 cm， 所以高AM＝＝315(cm)．

(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，

122－?5－2?2

设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm， 则由△SAO1∽△SBO，可得

l－122

＝，解得l＝20. l5

即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.

反思与感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．

跟踪训练2 圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．

解 将圆台还原为圆锥，如图所示．O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，

?h＋h

?h＝则?h＋h＋h??h＝11

2

49＋1

2，149，1

??h1＝4h，所以?即h1∶h2＝2∶1.

?h2＝2h，?

类型三 复杂旋转体的结构分析

例3 直角梯形ABCD如图所示，以DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．

解 以AD为轴旋转可得到一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．

引申探究

若本例中直角梯形分别以AB，BC所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状． 解 以AB为轴旋转可得到一个圆台，如图①所示．以BC为轴旋转可得一个圆柱和一个圆锥的组合体．如图②所示．

反思与感悟 (1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．

(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．

跟踪训练3 如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD

解 如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体．

1．下列说法正确的是________．(填序号)

①圆锥的母线长等于底面圆的直径； ②圆柱的母线与轴平行； ③圆台的母线与轴平行； ④球的直径必过球心． 答案 ②④

解析 圆锥的母线长与底面圆的直径无联系；圆台的母线与轴不平行． 2．可以通过旋转得到下图的平面图形的序号为________．

答案 ④

3．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm. 答案 103

解析 h＝20cos 30°＝103 (cm)． 4．下列说法正确的有________个．

①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球的直径是球面上任意两点间的线段； ③用一个平面截一个球，得到的是一个圆； ④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面． 答案 2

解析 ①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的；④是正确的．

5．一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？ 考点 圆锥的结构特征 题点 圆锥的概念的应用

解 图(1)，(2)旋转一周得到的几何体是圆锥；

图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体；

图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°，旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内．

1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想． 3．处理组合体问题常采用分割思想．

4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.

一、填空题

1．下列说法正确的是________．(填序号)

①一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成； ②一个圆台可以由两个圆台拼合而成； ③一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成； ④一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成． 答案 ①②④

解析 用一个平行于底面的平面去截台体，就会得到两个台体，因此一个圆台可以由两个圆台拼合而成，一个四棱台也可以由两个四棱台拼合而成，故②④的说法是正确的；若在三棱

锥的底面两边上任找两点，过这两点和三棱锥的顶点的截面，就会把三棱锥分成一个三棱锥和一个四棱锥，因此一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成，故①的说法是正确的．

2．下列说法中正确的是________．(填序号) ①将正方形旋转不可能形成圆柱；

②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体； ③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ④通过圆台侧面上一点，有无数条母线． 答案 ③

解析 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以①错误；②中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况下结论不一定正确，所以②错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以④错误，故答案为③.

3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，面积为3，则这个圆锥的母线长为________． 答案 2

解析 设母线长为x，则3＝32

x，故x＝2. 4

4．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是________．(填序号)

答案 ①②③

解析 当截面平行于正方体的一个侧面时可截得③，当截面过正方体对角面时可截得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角面时可截得①，但无论如何都不能得出④. 5．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________． 答案 两个圆锥

解析 连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥．

6．将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为____ cm2. 答案

32

π

解析 当以4 cm为母线长时，设圆柱底面半径为r， 8

则2πr＝8，∴2r＝，

π832

∴S轴截面＝4×＝(cm)2.

ππ

当以8 cm为母线长时，设圆柱底面半径为R， 4

则2πR＝4,2R＝，

π432

∴S轴截面＝8×＝(cm)2.

ππ

32

综上，圆锥的轴截面的面积为 cm2.

π

7．已知圆台两底面的半径分别是2 cm和5 cm，母线长是310 cm，则它的轴截面的面积是________ cm2. 答案 63

解析 如图所示，作出轴截面，过点A作AM⊥BC于M，

则BM＝5－2＝3(cm)，AM＝1

∴S梯形ABCD＝×(4＋10)×9

2＝63(cm2)．

8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________． 考点 圆锥的结构特征 题点 与圆锥有关的运算 答案

3

AB2－BM2＝9(cm)，

解析 由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径为r＝1，所以该圆锥的高为h＝

l2－r2＝22－12＝ 3.

9．如图中的组合体的结构特征有以下几种说法：

①由一个长方体割去一个四棱柱构成； ②由一个长方体与两个四棱柱组合而成； ③由一个长方体挖去一个四棱台构成； ④由一个长方体与两个四棱台组合而成． 其中说法正确的序号是________． 考点 简单组合体的结构特征 题点 与拼接、切割有关的组合体 答案 ①②

10．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是________．

答案 ①⑤

解析 由于截面平行于圆锥的轴或过圆锥的轴，故只能是①⑤.

11．边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是____ cm. 5π2＋4答案

2

解析 圆柱的侧面展开图如图所示， 155π

展开后E′F＝·2π·＝(cm)，

222所以E′G＝

5E′F＋GF＝

2

2

π2＋4

(cm)． 2

二、解答题

12.如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，绕着CD所在直线l旋转，试画出立体图并指出几何体的结构特征．

解 如图①，过A，B分别作AO1⊥CD，BO2⊥CD，垂足分别为O1，O2，

则Rt△CBO2绕l旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥，直角梯形O1ABO2绕l旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台，Rt△ADO1绕l旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．

综上，所得几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥(如图②所示)．

13．圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求： (1)绳子的最短长度；

(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．

解 (1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，

设OB＝l，则θ·l＝2π×5， θ·(l＋20)＝2π×10， π

解得θ＝，l＝20 cm.

2∴OA＝40 cm，OM＝30 cm. ∴AM＝

OA2＋OM2＝50(cm)．

即绳子最短长度为50 cm.

(2)作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P， 则PQ为所求的最短距离． ∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24 cm.

故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 三、探究与拓展

14．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是________．(填序号) ①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球． 答案 ①②③⑤

解析 可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．

15．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．

解 (1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成． (2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．

(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．

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