练习10（几何不等式）
1．在三角形中，证明大边上的高较短；大边上的中线较短。
证明：在ΔABC中，设a hba??1， hab所以hb>ha，即大边上的高较短。 设ma, mb分别为BC、CA上的中线，由 b2?c2a2m??,242a22知 ma?mb?a2?c2b2m??,242b 3222，即大边上的中线较短。 ?mb(b?a2)?0。所以ma42．设在等腰ΔABC中，∠B =∠C，P是三角形内一点，满足∠APB>∠APC，证明： APB < PC。 证明：如图，作P关于顶角平分线的对称点Q，则四边形BCQP 是等腰梯形，从而ΔBQC≌ΔCPB。所以 PQ ∠QBC =∠PCB <∠QCB，PB = QC。 于是在ΔBQC中，由∠QBC <∠QCB知PB = QC < QB = PC。 CBB。 3．在梯形ABCD中，AB是大底。若AD > BC，求证：∠A <∠ DC证明：如图，过D作BC的平行线交AB于E，则四边形BCDE 是平行四边形，故∠B =∠AED，BC=ED。 在ΔADE中，因为AD>BC=DE，所以∠A <∠AED。 BAE所以∠A <∠B。 4．在凸四边形ABCD中，AB边最长，CD边最短，求证：∠A <∠C且∠B <∠D。 C证明：如图，连AC、BD，在ΔACD、ΔABC中，因为AD > DC， DAB > BC，故∠ACD>∠CAD，∠ACB>∠CAB。二式相加即得 ∠A <∠C。 B同理考察在ΔBCD、ΔABD，可得∠B <∠D。 A5．设ΔABC的∠A≥1200，P是任一点，求证：PA+PB+PC≥AB+AC。 C'证明：如图，分别将P，C绕A按逆时针方向旋转600，得 P′、C′，那么ΔAPP′与ΔACC′都是等边三角形，故PP′=AP，AC′=AC。 AP'且ΔAP′C′≌ΔAPC，所以P′C′=PC。 P所以PA + PB + PC = BP + PP′ + P′C′ ≥ BC′ ≥ AB +AC， CB且等号在∠A=1200，P与A重合时成立。 46 6．设O为ΔABC内部任一点，求证：OA+OB < CA+CB。 证明：如图，延长AO交BC于D，那么 OA+OB COADB17．在三角形ABC中，外接圆半径R?1，面积??，求证： 4111 a?b?c??? 。 （86年数学奥林匹克试题，中国） abc证明：因为R=1，4Δ=1，故由正弦定理可得 abc=4RΔ=1。所以 a?b?c?11??bc11??ac11??ac11??ba11?。 ba11??cc11??aa11111????。 bbabc根据排序不等式可得 11??bc因为当a=b=c=1时，??131sin600??，从而上述不等式中等号不能成立。所以 244111??。 abca?b?c?8．（第6届国际奥林匹克）在ΔABC中，求证： a2(b?c?a)?b2(c?a?b)?c2(a?b?c)?3abc。 证明：令a=y+z，b=z+x，c=x+y, x, y, z>0，那么原不等式化为 x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y) ≥6xyz。 不妨设x≤y≤z，那么yz≥zx≥xy，即两个排列是全反序的，所以根据排序不等式得 [y(yz)+z(zx)+x(xy)]+[z(yz)+x(zx)+y(xy)]≥2[x(yz)+y(zx)+z(xy)], 即 x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y) ≥6xyz。 故原不等式成立。 9．（81年武汉通讯）在ΔABC中，ma,mb,mc是相应边上的中线，Δ是面积，求证： a(mb?mc?ma)?b(mc?ma?mb)?c(ma?mb?mc)?6?。 证明：不妨设a≤b≤c，那么由 224(ma?mb)?3(b2?a2)?0,224(mb?mc)?3(c2?b2)?0, 知 mc≤mb≤mc。 根据排序不等式可得 (amb+bmc+cma)+ (amc+bma+cmb)≥2(ama+bmb+cmc)。 所以 (amb+bmc+cma)+ (amc+bma+cmb) – (ama+bmb+cmc)≥ama+bmb+cmc， 即 a(mb+mc – ma)+ b(mc+ma–mb) – c(ma+mb–mc)≥ama+bmb+cmc。 因为 ama+bmb+cmc≥aha+bhb+chc=6Δ，所以 a(mb?mc?ma)?b(mc?ma?mb)?c(ma?mb?mc)?6?。 10．（第24届国际奥林匹克）求证：在三角形ABC中，有 ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?0。 222 47 证明：令a=y+z，b=z+x，c=x+y, x, y, z>0，那么原不等式化为 y2z2x2???x?y?z。 zxy 考察两个排序列 y2,z2,x2;111111,,和y2,z2,x2;,,，而后一组是全反序排zxyyzxy2z2x2???x?y?z。故原不等式成立。 列，根据排序不等式有zxy11．（波利亚–蔡戈不等式） 设ΔABC的三边长和面积分别为a，b，c和SΔ，那么 3S??(abc)3。 4证明：因为 1222a2b2c2sinA?sinB?sinC3S?abcsinAdinBsinC?()8833?2?abcA?B?C3abc33(sin)?()83822222222 3所以 S??(abc)3。 412．（埃道什–莫迪尔不等式）设P为ΔABC内部或边上一点，P到三边BC、CA、AB 的距离分别为PD、PE、PF，则 PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF) 。 证明：如图， DE??PD2?PE2?2PD?PEcos(A?B)PD2?PE2?2PD?PEcosAcosB?2PD?PEsinAsinB22 ?(PDsinB?PEsinA)?(PDcosB?PEcosA)?PDsinB?PEsinA另一方面，DE=PCsinC，所以 PC?同理，PA?sinBsinAPD?PE。 sinCsinCsinCsinBsinAsinCPE?PF，PB?PF?PD。所以 sinAsinAsinBsinBsinBsinCsinAsinCsinBsinA?)PD?(?)PE?(?)PF sinCsinBsinCsinAsinAsinB?2(PD?PE?PF)?PA?PB?PC?(13．（外森比克不等式）设ΔABC的三边长和面积分别为a，b，c和SΔ，那么 a2?b2?c2?43S?， 其中等号当且仅当ΔABC为正三角形时成立。 证明：是14题的推论。 14．（芬斯勒–哈德维格不等式）设ΔABC的三边长和面积分别为a，b，c和SΔ，那么 a2?b2?c2?43S??(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2， 其中等号当且仅当ΔABC为正三角形时成立。 证明：令a=y+z，b=z+x，c=x+y, x, y, z>0，那么原不等式化为 x2y2+y2z2+z2x2≥x2yz+y2xz+z2xy 。 48 根据排序不等式知 (xy)2+(yz)2+(zx)2≥(xy)(xz)+(yz)(yx)+(zx)(yz), 即 x2y2+y2z2+z2x2≥x2yz+y2xz+z2xy 。 故原不等式成立。 15．设三角形的三边分别为a、b、c，外接圆半径为R，求证： 证明：利用第11题的证明可得 1111???3?3?abcabc33R?3。 R1113。 ???abcR 练习题11（极值） 1．求下列各题的最短路线： （1）一个牧民赶着马从A处欲回到他的帐蓬B，如下图所示，但又想在回程中先让牛羊到以l1为界的草地吃草，继而到河的岸边l2处饮水，问他应走怎样的路线才最省时间？ （2）设在一个矩形球台P0P1P2P3上有二球A、B，如图所示，问沿怎样的方向去击球A，使它接连碰撞桌边P0P1、P1P2、和P2P3后恰好击中B？ l1 P3P2 BAB Al2P0P1 图（1） 图（2） 解：（1）作A关于l1的对称点A′，作B关于l2的对称点B′，连A′B′分别交l1、l2于C、D，那么从A到C到D到B的线路及为所求的线路。 （2）做出A关于P0P1的对称点A′，作B关于P2P3的对称点B′，在作A′关于P1P2的对称点A′′，连B′A′′分别交P2P3于E，交P1P2与D，连A′D交P0P1于C，那么将球击倒C点，即可击中B球。 B'A'P3EP2 l1BC DAB AP1A''P0CD A'B' l2 2．在距A城市45千米的B地发现金属矿，现知由A至某方向有一直线铁路AX，B到该铁路的距离为27千米，欲运物资于AB之间，拟定在铁路AX上的某一点C筑一公路到B，已知公路运费是铁路运费的2倍，欲使总运费最低，则点C到点A的距离须为多少千米（答案精确到0.01千米）。 （2001年，温州市高一数学竞赛） 解 如图所示，设AC = x，由sin?XAB?2734?知cos?XAB?，所以 4555 49 x?45?cos(?XAB?300)cos300?45(cos?XABcos300?sin?XABsin300)cos300E43312?45(???)?9(4?3)?20.41,52523答：点C到点A的距离为20.41千米。 A xCD2745 3．求函数f(x)?解：如图，有 f(x)?(x?1)2?22?(x?2)2?32?(2?1)2?(3?2)2?34Bx2?2x?5?x2?4x?5的最小值。 yB(2,3)， OX(x,0)A(-1,-2)x故f(x)的最小值为34。 4． l是椭圆的右准线，F1，F2是左右焦点，P∈l，若椭圆的离心率e?2/2；试求∠F1PF2的最大值。（2001年，温州市高二数学竞赛） 解：如图，设l与F1F2交于点P，在l求作一点X，使 PX2=PF1·PF2， 过X作XO垂直于F1F2的中垂线，垂足为O，则以O为圆 心，OF2为半径的圆与l相切。 由此知∠F1XF2即为所求的最大值。 a2?c2a2?c21因为 QF2?,QF1?,QX?a4?c4， ccclF1F2QOX所以 tan?F1XF2?tan(?F1XQ??F2XQ)a2?c2tan?F1XQ?tan?F2XQ＝?1?tan?F1XQ?tan?F2XQc2a4?c4e21?e433a?ca2?c2a?c???4444??a2?c2a4?c4 a2?c2a4?c4 1?故所求的∠F1PF2的最大值为300。 50 百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库第1.2章习题解答在线全文阅读。
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