第2讲 函数的定义域和值域
1．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0． (3)一次函数、二次函数的定义域为R．
(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R．
π(5)y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
22．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R． (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：
?4ac－b2??； 当a＞0时，值域为?y|y≥4a??
?4ac－b2??． 当a＜0时，值域为?y|y≤4a??
k
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
x
(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}． (5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R． (6)y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1，1]． (7)y＝tan x的值域是R． [做一做] 1．(2015·浙江杭州模拟)函数y＝16－4x的值域是( ) A．[0，＋∞) B．[0，4] C．[0，4) D．(0，4)
解析：选C.∵4x＞0，∴0≤16－4x＜16， ∴0≤y＜4.
1
2．函数y＝x＋1＋的定义域为________．
2－x
答案：[－1，2)∪(2，＋∞)
1．求函数定义域应注意的四点
(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合． (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
2．求函数值域的六种基本方法
(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域． (2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．
- 1 -
(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．
cx＋d
(4)分离常数法：形如y＝(a≠0)的函数可用此法求值域．
ax＋b
(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．
(6)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域． [做一做]
1
3．函数y＝的定义域是( )
log2（x－2）
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞) 答案：C
4．若x－4有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是________． 解析：∵x－4有意义，∴x－4≥0，即x≥4. 又∵y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2， ∴ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. ∴其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)
考点一__求函数的定义域(高频考点)____________
函数的定义域是高考的重点内容，考查时多以选择题和填空题形式出现，一般难度较小，高考对定义域的考查主要有以下四个命题角度：
(1)求分式型函数的定义域； (2)求无理型函数的定义域； (3)求对数型函数的定义域； (4)求抽象函数的定义域．
(1)(2015·广东惠州第二次调研)函数f(x)＝log2(3x－1)的定义域为( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
1－|x－1|
(2)函数f(x)＝的定义域为____________．
x－1
f（2x）
(3)(2015·山东莱芜模拟)已知函数f(x)的定义域为[3，6]，则函数y＝的定义
log1（2－x）
2
域为( )
3?3，2? ，＋∞? A.?B.?2??2?3?1，2? ，＋∞? C.?D.?2??2?
[解析] (1)要使函数有意义，必须满足3x－1>0，解得x>0，故选D.
??1－|x－1|≥0??0≤x≤2(2)由????0≤x<1或1 ??x≠1x≠1?? - 2 - (3)要使函数y＝ 3???2≤x≤33?3≤2x≤6 有意义，需满足?log（2－x）>0???≤x<2. 21log1（2－x）???2?0<2－x<12f（2x） 故选B. [答案] (1)D (2)[0，1)∪(1，2] (3)B 1－|x－1| 本例(2)变为函数f(x)＝(a>0且a≠1)，结果如何？ ax－1 ??1－|x－1|≥0??0≤x≤2?解：由x???0 故所求函数的定义域为(0，2]． [规律方法] 简单函数定义域的类型及求法： (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f(g(x))的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f(g(x))的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]． 1 1.(1)(2013·高考山东卷)函数f(x)＝1－2x＋的定义域为( ) x＋3 A．(－3，0] B．(－3，1] C．(－∞，－3)∪(－3，0] D．(－∞，－3)∪(－3，1] lg（2－x）0 (2)函数y＝2＋(x－1)的定义域是__________． 12＋x－x(3)(2015·广东佛山模拟)已知f(x2－1)的定义域为[0，3]，则函数y＝f(x)的定义域为__________． x ??1－2≥0， 解析：(1)由题意知?解得－3 ?x＋3>0，? A. ?2－x>0，?x<2， ??2 (2)由?12＋x－x>0，得?－3 ???x－1≠0?x≠1， 3 (3)∵0≤x≤3，∴0≤x2≤9， ∴－1≤x2－1≤8， ∴函数y＝f(x)的定义域是[－1，8]． 答案：(1)A (2){x|－3 求下列函数的值域． 2 (1)y＝x＋2x(x∈[0，3])； 1－x2 (2)y＝； 1＋x24 (3)y＝x＋(x＜0)； x (4)f(x)＝x－1－2x. [解] (1)(配方法) y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， ∵y＝(x＋1)2－1在[0，3]上为增函数， ∴0≤y≤15， - 3 - 即函数y＝x2＋2x(x∈[0，3])的值域为[0，15]． 1－x222 (2)y＝2＝2－1，∵1＋x≥1， 1＋x1＋x 2 ∴0＜≤2. 1＋x22 ∴－1＜－1≤1.即y∈(－1，1]． 1＋x2∴函数的值域为(－1，1]． 44 －x－?≤－4， (3)∵x＜0，∴x＋＝－?x??x 当且仅当x＝－2时等号成立， ∴y∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]． (4)法一：(换元法) 令1－2x＝t， 1－t2 则t≥0且x＝， 2 1－t21 于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1， 22 11 －∞，?. 由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是?2??2 法二：(单调性法) 1 －∞，?，容易判断f(x)为增函数， f(x)的定义域为?2??1?1 所以f(x)≤f??2?＝2， 1－∞，?. 即函数的值域是?2?? [规律方法] 求函数值域，应根据解析式的结构特点，选择适当的方法，而常用的方法有：(1)观察法；(2)配方法；(3)换元法；(4)分离常数法；(5)单调性法；(6)数形结合法．在求函数值域时，除了上述常用的方法外，还有很多方法，应注意选择最优的解法．总之，求函数值域的关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 2.求下列函数的值域： x－3(1)y＝； x＋1x2－x (2)y＝2； x－x＋1 (3)y＝log3x＋logx3－1(x＞1)． x－3x＋1－44 解：(1)法一：y＝＝＝1－. x＋1x＋1x＋1 44因为≠0，所以1－≠1， x＋1x＋1 即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}． x－3 法二：由y＝，得yx＋y＝x－3. x＋1y＋3 解得x＝，所以y≠1， 1－y 即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}． x2－x＋1－11(2)y＝2＝1－2， x－x＋1x－x＋1 - 4 - 133x－?＋≥， ∵x－x＋1＝??2?44 2 2 14 ∴0＜2≤， x－x＋131 ∴－≤y＜1， 3 1 －，1?. 即函数的值域为??3?1 (3)y＝log3x＋－1， log3x 令log3x＝t， 1 则y＝t＋－1(t≠0)， t 1 x＞1，t＞0，y≥2t·－1＝1， t 1 当且仅当t＝即log3x＝1，x＝3时，等号成立， t 故函数的值域是[1，＋∞)． 考点三__与函数定义域、值域有关的参数问题__ mx－1 若函数y＝2的定义域为R，则实数m的取值范围是( ) mx＋4mx＋3 33 A．(0，] B．(0，) 4433 C．[0，] D．[0，) 44 2 [解析] 要使函数的定义域为R，则mx＋4mx＋3≠0恒成立． ①当m＝0时，得到不等式3≠0，恒成立；②当m≠0时，要使不等式恒成立，须?????m>0，?m<0，?m<0，?m>03????即或即解得0 3 ①②得0≤m<.故选D. 4 [答案] D [规律方法] 求解定义域为R或值域为R的函数问题时，都是依据题意对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法． 4 3.已知函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0，1]，则满 |x|＋2 足条件的整数数对(a，b)共有________个． 44 解析：由0≤－1≤1，即1≤≤2，得0≤|x|≤2，满足整数数对的有(－2，0)，(－ |x|＋2|x|＋2 2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)，共5个． 答案：5 ,[学生用书P18]) 考题溯源——求函数的定义域 - 5 - 10，? A.??2? (2014·高考山东卷)函数f(x)＝ 1 的定义域为( ) （log2x）2－1 B．(2，＋∞) 1 0，?∪[2，＋∞) D.??2?1 0，?∪(2，＋∞) C.??2???x>0，1[解析] 由题意知?解得x>2或0 [答案] C [考题溯源] 本题源于教材人教A必修1P73，练习第2题，“求下列函数的定义域．(2)y1＝，(4)y＝log3x”． log2x ln（x＋1） 1.函数f(x)＝的定义域为__________． －x2－3x＋4 ???x＋1>0?x>－1?解析：要使函数有意义，必须且只需，即?，解不等2 ?－x－3x＋4>0?（x＋4）（x－1）<0?? 式组得－1 因此函数f(x)的定义域为(－1，1)． 答案：(－1，1) 2．若函数f(x)＝ 2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________． 解析：函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立， 因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. 答案：[－1，0] 1．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是( ) A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝ax2＋1 C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋1 解析：选C.当a＝0时，f(x)＝ax2＋x＋1＝x＋1为一次函数，其定义域和值域都是R. 10＋9x－x22．函数f(x)＝的定义域为( ) lg（x－1） A．[1，10] B．[1，2)∪(2，10] C．(1，10] D．(1，2)∪(2，10] 解析：选D.要使函数有意义， 2 ?10＋9x－x≥0，?（x＋1）（x－10）≤0，① ??x－1>0，则x需满足?即?x>1，??lg（x－1）≠0，??x≠2， 解①得－1≤x≤10. 所以不等式组的解集为(1，2)∪(2，10]．故选D. 3．函数y＝2－－x2＋4x的值域是( ) A．[－2，2] B．[1，2] C．[0，2] D．[－2，2] 22 解析：选C.－x＋4x＝－(x－2)＋4≤4， 0≤－x2＋4x≤2， - 6 - －2≤－－x2＋4x≤0， 0≤2－－x2＋4x≤2，所以0≤y≤2. f（x＋1） 4．若函数y＝f(x)的定义域是[0，2 016]，则函数g(x)＝的定义域是( ) x－1 A．[－1，2 015] B．[－1，1)∪(1，2 015] C．[0，2 016] D．[－1，1)∪(1，2 016] 解析：选B.令t＝x＋1，则由已知函数y＝f(x)的定义域为[0，2 016]可知f(t)中0≤t≤2 016，故要使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2 016，解得－1≤x≤2 015，故函数f(x＋1)的定义域 ??－1≤x≤2 015， 为[－1，2 015]．所以函数g(x)有意义的条件是?解得－1≤x<1或1 ?x－1≠0? 故函数g(x)的定义域为[－1，1)∪(1，2 015]． ?g（x）＋x＋4，x 5．设函数g(x)＝x－2(x∈R)，f(x)＝?，则f(x)的值域是( ) ??g（x）－x，x≥g（x）. 9 A．[－，0]∪(1，＋∞) B．[0，＋∞) 499C．[－，＋∞) D．[－，0]∪(2，＋∞) 44 解析：选D.令x 2??x＋x＋2（x<－1或x>2）， 得－1≤x≤2.故函数f(x)＝?2当x<－1或x>2时，函数f(x)>f(－1)＝2； ?x－x－2（－1≤x≤2）.?199 当－1≤x≤2时，函数f()≤f(x)≤f(－1)，即－≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是[－，0]∪(2，＋ 244 ∞)． 6．下表表示y是x的函数，则函数的值域是________. x 0 1 7．已知函数f(x)＝，则函数f[f(x)]的定义域是__________． x＋1 1 解析：根据题意可得f[f(x)]＝， 1 ＋1x＋1?x＋1≠0， 要使函数有意义，只需?1 ＋1≠0，??x＋1 解得x≠－1且x≠－2，故函数f[f(x)]的定义域为{x|x≠－1且x≠－2}． 答案：{x|x≠－1且x≠－2} 1?1 8．(2015·温州模拟)若函数f(x)＝在区间[a，b]上的值域为?则a＋b＝________． ?3，1?，x－1 解析：∵由题意知x－1＞0，又x∈[a，b]， 1 ∴a＞1.则f(x)＝在[a，b]上为减函数， x－1111 则f(a)＝＝1且f(b)＝＝， a－1b－13 ∴a＝2，b＝4，a＋b＝6. 答案：6 1 9．若函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b＞1)，求a，b的值． 2 ? - 7 - 11 解：∵f(x)＝(x－1)2＋a－， 22 ∴其对称轴为x＝1. 即函数f(x)在[1，b]上单调递增． 1 ∴f(x)min＝f(1)＝a－＝1，① 21 f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a＝b.② 2 3??a＝2， 又b>1，由①②解得? ??b＝3. 3 ∴a，b的值分别为，3. 2 34 10．已知函数f(x)的值域为[，]，求函数g(x)＝f(x)＋1－2f（x）的值域． 89 34解：∵≤f(x)≤， 8911∴≤1－2f（x）≤， 32 1 令t＝1－2f（x），则f(x)＝(1－t2)， 2 令y＝g(x)， 1 ∴y＝－(t2－1)＋t. 2 77?1717 ∴当t＝时，y有最小值，当t＝时，y有最大值.∴g(x)的值域为??9，8?. 3928 1．(2015·河南漯河模拟)已知A，B是非空数集，定义A⊕B＝{x|x∈A∪B，且x?A∩B}．若A＝{x|y＝x2－3x}，B＝{y|y＝3x}，则A⊕B＝( ) A．[0，3) B．(－∞，3) C．(－∞，0)∪(3，＋∞) D．[0，3] 解析：选B.分析得到A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝R，A∩B＝[3，＋∞)，所以A⊕B＝(－∞，3)． 2．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f(x)－g(x)|≤1成立，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“亲密函数”，区间[a，b]称为“亲密区间”．若 2 f(x)＝x＋x＋2与g(x)＝2x＋1在[a，b]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是( ) A．[0，2] B．[0，1] C．[1，2] D．[－1，0] 解析：选B. 在同一坐标系中作出函数f(x)及g(x)的图象，如图所示． 由题意作出与g(x)＝2x＋1的距离为1的平行线y＝2x＋2的图象，由图并结合“亲密函数”的定义可知其“亲密区间”可以是[0，1]． 3．已知函数f(x)的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数f(x＋2)的定义域为________，值域为________． 解析：由已知可得x＋2∈[0，1]，故x∈[－2，－1]，所以函数f(x＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f(x)的图象向左平移2个单位得到函数f(x＋2)的图象，所以值域不发生变化，所以 - 8 - 函数f(x＋2)的值域仍为[1，2]． 答案：[－2，－1] [1，2] 4．若函数y＝kx2－6kx＋（k＋8）的值域为[0，＋∞)，则k的取值范围是________． 解析：当k＝0时，原函数可化为y＝8＝22，此时值域不是[0，＋∞)，从而k≠0. 当k≠0时，想满足题意，则有 ??k>0，? 2 ?Δ＝（－6k）－4×k×（k＋8）≥0.? 解得k≥1，从而k的取值范围为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞) 5．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6. (1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值； (2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0 3 ?2a2－a－3＝0?a＝－1或a＝. 2 (2)∵对一切x∈R函数值均为非负， 3 ∴Δ＝8(2a2－a－3)≤0?－1≤a≤. 2 ∴a＋3＞0. ∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2 3?217??3??＝－?a＋2?＋?a∈?－1，2???. 4 3 －1，?上单调递减， ∵二次函数g(a)在?2?? 3?19∴g?≤g(a)≤g(－1)，即－≤g(a)≤4. ?2?4 19 －，4?. ∴g(a)的值域为??4? 1 6．(选做题)已知函数g(x)＝x＋1，h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a＞0，令 x＋3 函数f(x)＝g(x)·h(x)． (1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域； 1 (2)当a＝时，求函数f(x)的值域． 4 x＋1 解：(1)f(x)＝，x∈[0，a](a＞0)． x＋3 11 0，?， (2)当a＝时，函数f(x)的定义域为??4?4 31，?， 令x＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈??2?t1 f(x)＝F(t)＝2＝， 4t－2t＋4 t＋－2t34 1，?， 当t＝时，t＝±2???2?t 3164 1，?时，t＋单调递减，F(t)单调递增，F(t)∈?，?. 又t∈??2??313?t 16?即函数f(x)的值域为??3，13?. - 9 - 百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库2024高考总复习(人教A版)高中数学_第二章_基本初等函数、导数及在线全文阅读。
相关推荐：
