2024-2025学年宁夏银川市唐徕回民中学高二(下)5月月考数学试卷(

2014-2015学年宁夏银川市唐徕回民中学高二（下）5月月考数

学试卷（理科）

一、选择题（共60分）

1．在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标系是（ ） A．

B．

C． （1，0）

D． （1，π）

2．下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：

1 2 3 4 月份x 4.5 4 3 2.5 用水量y 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，则a等于（ ）

A． 10.5 B． 5.15 C． 5.2 D． 5.25

3．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A． 0.8 B． 0.75 C． 0.6 D． 0.45

5．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（ ） A．

6．能化为普通方程x+y﹣1=0的参数方程是（ ） A．

B．

2

B． C． D．

C．

D．

7．设，则二项式，展开式中含x项的系数

2

是（ ） A． ﹣192 B． 192 C． ﹣6 D． 6

8．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为人及格的概率为（ ） A． 9．已知

+

+

+…+

=729，则

+

+

的值等于（ ）

B．

C．

D． 以上都不对

，三人各答一次，则三人中只有一

A． 64 B． 32 C． 63 D． 31

10．在平面直角坐标系中，以点（1，1）为圆心，以为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点，以ox轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为（ ） A． ρ=2 C． ρ=2

cos（θ﹣

）

sin（θ﹣1）

B． ρ=2

sin（θ﹣

）

cos（θ﹣1） D． ρ=2

11．已知随机变量X的分布列如图：其中m，n∈[0，1），且E（X）=，则m，n的值分别为（ ）

A．

，

B． ，

C． ，

D． ，

12．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下： 认为作业多 认为作业不多 合计 喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏 8 15 23 总计 26 24 50

则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关系的把握大约为（ ） A． 99% B． 97.5% C． 95%

二、填空题（共20分）

D． 无充分依据

13．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为 ．

14．已知ξ～N （4，?），且P（2＜ξ＜6）=0.6826，则?= ，P（|ξ﹣2|＜4）= ．

15．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：

（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，则|AB|的最小值为 ．

2

16．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9；

3

②他恰好击中目标3次的概率是0.9×0.1；

4

③他至少击中目标1次的概率是1﹣0.1．

其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）．

三、解答题（共70分） 17．已知

，且（1﹣2x）=a0+a1x+a2x+a3x+…+anx．

n

2

3

n

（Ⅰ）求n的值；

（Ⅱ）求a1+a2+a3+…+an的值．

18．已知动点P、Q都在曲线

（β为参数）上，对应参数分别为β=α与β=2α

（0＜α＜2π），M为PQ的中点． （1）求M的轨迹的参数方程；

（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

19．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．

（1）求这箱产品被用户接收的概率；

（2）记抽检的产品件数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

20．袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．

（1）求袋中各色球的个数；

（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）和方差D（ξ）；

（3）若η=aξ+b，Eη=11，Dη=21，试求出a，b的值．

21．已知从某飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立．假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的．若该研究所共进行四次试验，设ξ表示四次试验结束时试验成功的次数与失败的次数之差的绝对值． （1）求ξ=2的概率； （2）求ξ≥2的概率．

22．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C交于M、N两点，求|MN|．

2014-2015学年宁夏银川市唐徕回民中学高二（下）5月

月考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共60分）

1．在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标系是（ ） A．

B．

C． （1，0）

D． （1，π）

考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 直线与圆；坐标系和参数方程． 分析： 先在极坐标方程ρ=﹣2sinθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即

222

利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ=x+y，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．

解答： 解：将方程ρ=﹣2sinθ两边都乘以p得： 2

ρ=﹣2ρsinθ，

化成直角坐标方程为

x+y+2y=0．圆心的坐标（0，﹣1）． ∴圆心的极坐标

2

2

故选B． 点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．

2．下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：

1 2 3 4 月份x 4.5 4 3 2.5 用水量y 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，则a等于（ ）

A． 10.5 B． 5.15

考点： 线性回归方程． 专题： 概率与统计．

C． 5.2 D． 5.25

分析： 由条件利用回归直线经过样本的中心点（，），求得a的值． 解答： 解：由题意可得样本的中心点的坐标为（2.5，3.5）， 再把样本的中心点的坐标（2.5，3.5）代入其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a， 可得3.5=﹣0.7×2.5+a，求得a=5.25， 故选：D．

点评： 本题主要考查回归直线经过样本的中心点（，），属于基础题．

3．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计． 分析： 设“恰有一名女生当选”为事件A，“恰有两名女生当选”为事件B，显然A、B为互斥事件，利用互斥事件的概率公式即可求解

解答： 解：设“恰有一名女生当选”为事件A，“恰有两名女生当选”为事件B，显然A、B为互斥事件．

从10名同学中任选2人共有10×9÷2=45种选法（即45个基本事件）， 而事件A包括3×7个基本事件，事件B包括3×2÷2=3个基本事件， 故P=P（A）+P（B）=

+

=

=

故选：B 点评： 本题考查了古典概型与互斥事件相结合的问题，考查学生的计算能力，属于中档题．

4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A． 0.8 B． 0.75 C． 0.6 D． 0.45

考点： 相互独立事件的概率乘法公式． 专题： 概率与统计． 分析： 设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．

解答： 解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6， 解得p=0.8， 故选：A． 点评： 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．

5．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（ ） A．

B．

C．

D．

考点： 排列、组合及简单计数问题；等可能事件的概率． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺

10

序共有A10；满足条件的事件要得到需要分为三步，根据分步计数原理得到结果，再根据古典概型公式得到结果．

解答： 解：由题意知本题是一个古典概型，

∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A10；

满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：

3

①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A3种方法；

6

②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A6种方法； ③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A7种方法．

362

根据分步计数原理（乘法原理），共有A3?A6?A7种方法． ∴一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连）， 而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：

．

2

10

故选B． 点评： 本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．

6．能化为普通方程x+y﹣1=0的参数方程是（ ） A．

B．

2

C． D．

考点： 参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程．

2

分析： 判断A．B．C．D中的参数方程是否可以化为普通方程x+y﹣1=0，并且考虑x，y的取值范围是否一致．

解答： 解：A．普通方程x+y﹣1=0中的y可以小于0，而正确； B.

化为y+x=1，且x，y中的取值范围一致，因此正确．

222

中的y≥0，因此不

C.≥0，而方程x+y﹣1=0的x可以小于0，因此不正确；

2

D．普通方程x+y﹣1=0中的y可以小于0，而中的y≥0，因此不正确．

故选：B． 点评： 本题考查了参数方程的化简、方程中的未知数的取值范围、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．设，则二项式，展开式中含x项的系数

2

是（ ） A． ﹣192 B． 192

考点： 定积分；二项式系数的性质． 专题： 计算题；综合题． 分析： 先由题中条件：“

2

C． ﹣6 D． 6

，”求得a值，再利用二项式定理的通

项公式结合待定系数法即可求得含x项的系数．

ππ

解答： 解：a=∫0（sinx+cosx）dx=（﹣cosx+sinx）|0=2． 二项式

的通项公式为

，

令3﹣r=2，得r=1，故展开式中含x项的系数是（﹣1）C62=﹣192． 故选A． 点评： 本小题设计巧妙，综合考查定积分和二项式定理，是一道以小见大的中档题，不可小视．

8．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为人及格的概率为（ ） A．

B．

C．

D． 以上都不对

，三人各答一次，则三人中只有一

2

1

16﹣1

考点： 相互独立事件的概率乘法公式． 专题： 概率与统计． 分析： 分别求出仅甲及格的概率、仅乙及格的概率、仅丙及格的概率，再把这3个概率值相加，即得所求．

解答： 解：仅甲及格的概率为 ××仅丙及格的概率为××

=

，

+

+

=

，

=

，仅乙及格的概率为××

=

，

故三人各答一次，则三人中只有一人及格的概率为

故选：C． 点评： 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 9．已知

+

+

+…+B． 32

=729，则++的值等于（ ）

D． 31

A． 64 C． 63

考点： 二项式系数的性质． 专题： 二项式定理．

分析： 由题意利用二项式定理可得（1+2）=729=3，求得n=6，可得的值．

解答： 解：∵已知则

+

+

=

+

++

+

+…+

=729，∴（1+2）=729=3，∴n=6．

n

6

n

6

++=++

=6+20+6=32，

故选：B． 点评： 本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式，属于基础题．

10．在平面直角坐标系中，以点（1，1）为圆心，以为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点，以ox轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为（ ） A． ρ=2

cos（θ﹣

）

B． ρ=2

sin（θ﹣

）

C． ρ=2cos（θ﹣1） D． ρ=2sin（θ﹣1）

考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．

2222

分析： 以点（1，1）为圆心，以为半径的圆的方程为（x﹣1）+（y﹣1）=2，化为x+y﹣2x﹣2y=0，把

代入可得ρ=2cosθ+2sinθ．可化为

2

2

．

解答： 解：以点（1，1）为圆心，以

22

化为x+y﹣2x﹣2y=0， 把可化为

2

为半径的圆的方程为（x﹣1）+（y﹣1）=2，

代入可得ρ﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ，即ρ=2cosθ+2sinθ．

．

故选：A． 点评： 本题考查了圆的直角坐标方程、极坐标方程、两角和差的直线公式，属于基础题．

11．已知随机变量X的分布列如图：其中m，n∈[0，1），且E（X）=，则m，n的值分别为（ ）

A．

，

B． ，

C． ，

D． ，

考点： 离散型随机变量的期望与方差．

专题： 计算题．

分析： 由题意知根据分布列的概率之和是1，写出关于m和n的等式，根据期望是，得到关于m和n的方差，解关于m和n的方程组，得到m和n的值． 解答： 解：∵由p1+p2+…+p6=1与E（X）= ∴

=1

=

∴

∴m=，n=．

故选D 点评： 本题考查离散型随机变量的分布列和期望，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望的公式．

12．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下： 认为作业多 认为作业不多 合计 喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏 8 15 23 总计 26 24 50

则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关系的把握大约为（ ） A． 99% B． 97.5% C． 95% D． 无充分依据

考点： 独立性检验． 专题： 概率与统计．

2

分析： 根据表中所给的数据，计算观测值K，对照观测值表，得出概率结论． 解答： 解：根据表中所给的数据，计算观测值为 K=

2

≈5.059＞5.024，

通过对照观测值表，得出：

有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关系． 故选：B． 点评： 本题考查了利用2×2列联表进行独立性检验的应用问题，是基础题目．

二、填空题（共20分）

13．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为

．

考点： 互斥事件的概率加法公式． 分析： 在两次罚球中至多命中一次的对立事件是两次都命中，设出命中的概率P，由对立事件的概率公式列出方程，求出命中一次的概率． 解答： 解：设罚球的命中的概率为P， 由两次罚球中至多命中一次的概率为得∴

，

，

故答案为：．

点评： 对立事件公式的应用经常在概率计算中出现，从正面做包含的事件较多，可以从反面来解决，注意区分互斥事件和对立事件之间的关系．

14．已知ξ～N （4，?），且P（2＜ξ＜6）=0.6826，则?= 2 ，P（|ξ﹣2|＜4）= 0.8400 ．

考点： 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；连续型随机变量． 专题： 计算题． 分析： 根据变量符合正态分布，和所给的μ和?的值，根据3?原则，由式子P（2＜ξ＜6）=0.6826得到?值，再根据3?原则结合对称性得到P（|ξ﹣2|＜4）的值． 解答： 解：∵随机变量ξ服从正态分布：ξ～N （4，?）， 且有P（μ﹣?＜ξ≤μ+?）=0.6826， ∵P（2＜ξ＜6）=0.6826， ∴μ=4，?=2， ∴P（|ξ﹣2|＜4） =P（﹣2＜ξ＜6）

=[P（﹣2＜ξ＜10）+P（2＜ξ＜6）] =[P（μ﹣3?＜ξ≤μ+?）+P（μ﹣?＜ξ≤μ+?）] =[0.9974+0.6826]，

=0.8400，

故答案为：2；0.8400． 点评： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和?的应用，考查曲线的对称性，本题是一个基础题．

2

2

15．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：

（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，则|AB|的最小值为 1 ．

考点： 参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程． 分析： 把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程，根据圆和圆的位置关系，求出|AB|的最小值．

解答： 解：把曲线C1：

2

2

（θ为参数）化为普通方程为 （x﹣3）+y=1，

22

表示以（3，0）为圆心，半径等于1的圆．

曲线C2：ρ=1，即 x+y=1，表示以原点为圆心、半径等于1的圆， 故两圆的圆心距d=3，则|AB|的最小值为 1， 故答案为：1． 点评： 本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，圆和圆的位置关系，属于基础题．

16．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9；

②他恰好击中目标3次的概率是0.9×0.1；

4

③他至少击中目标1次的概率是1﹣0.1．

其中正确结论的序号是 ①③ （写出所有正确结论的序号）．

考点： 相互独立事件的概率乘法公式． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由题意知射击一次击中目标的概率是0.9，得到第3次击中目标的概率是0.9，连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，得到是一个独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率和至少击中目标1次的概率，得到结果． 解答： 解：∵射击一次击中目标的概率是0.9， ∴第3次击中目标的概率是0.9， ∴①正确，

∵连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响， ∴本题是一个独立重复试验，

33

根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是C4×0.9×0.1 ∴②不正确，

4

∵至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1﹣0.1． ∴③正确，

故答案为：①③ 点评： 本题考查独立重复试验，独立重复试验要从三方面考虑①每次试验是在同样条件下进行，②各次试验中的事件是相互独立的，③每次试验都只有两种结果．

三、解答题（共70分） 17．已知

，且（1﹣2x）=a0+a1x+a2x+a3x+…+anx．

n

2

3

n

3

（Ⅰ）求n的值；

（Ⅱ）求a1+a2+a3+…+an的值．

考点： 二项式定理的应用． 专题： 计算题． 分析： （Ⅰ）根据题意，将

按排列、组合公式展开化简可得（n﹣5）（n﹣6）

=90，解可得：n=15或n=﹣4，又由排列、组合数的定义，可得n的范围，即可得答案；

152315

（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得n的值，可得（1﹣2x）=a0+a1x+a2x+a3x+…+a15x，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a15=﹣1，令令x=0得a0=1，两式相减可得答案． 解答： 解：（Ⅰ）根据题意， 由=56?

得：n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）

即（n﹣5）（n﹣6）=90

解之得：n=15或n=﹣4（舍去）． ∴n=15．

152315

（Ⅱ）当n=15时，由已知有（1﹣2x）=a0+a1x+a2x+a3x+…+a15x， 令x=1得：a0+a1+a2+a3+…+a15=﹣1， 令x=0得：a0=1，

∴a1+a2+a3+…+a15=﹣2． 点评： 本题考查二项式定理的应用、二项式系数的性质，解题时要注意排列、组合数的定义、性质，其次注意灵活运用赋值法．

18．已知动点P、Q都在曲线

（β为参数）上，对应参数分别为β=α与β=2α

（0＜α＜2π），M为PQ的中点． （1）求M的轨迹的参数方程；

（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

考点： 参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程．

分析： （1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出；

（2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出． 解答： 解：（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α）， 因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）． M的轨迹的参数方程为（2）M点到坐标原点的距离d=

为参数，0＜α＜2π）．

（0＜α＜2π）．

当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点． 点评： 本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．

（1）求这箱产品被用户接收的概率；

（2）记抽检的产品件数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

考点： 离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差． 专题： 计算题．

分析： 由题设每次抽取到什么产品是独立的，可用 乘法公式求解，

（1）这箱产品被用户接收，即前三次没有抽取到次品，根据乘法公式求出概率； （2）由题意抽检的产品件数为ξ的值为0，1，2，3，故计算出P（ξ=i）（i=1，2，3）的概率，列出分布列，由公式求出数学期望即可． 解答： 解：（1）设“这箱产品被用户接收”为事件A，即这箱产品被用户接收的概率为

．

（2）ξ的可能取值为1，2，3． P（ξ=1）=

，P（ξ=2）=

×=

，P（ξ=3）=

，

∴ξ的概率分布列为： ξ 1 2 P ∴Eξ=

．

3

点评： 本题考查离散型随机变量及其分布列，考查作出分布列的方法以及根据分布列求出变量的期望的能力，解答本题的关键是分清事件的结构．

20．袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．

（1）求袋中各色球的个数；

（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）和方差D（ξ）；

（3）若η=aξ+b，Eη=11，Dη=21，试求出a，b的值．

考点： 离散型随机变量的期望与方差；排列、组合及简单计数问题． 专题： 计算题．

分析： （1）由题意可得黑球个数为4，设白球的个数为y，所以可得：

进而求出答案．

（2）由题设知ξ的所有取值是0，1，2，3，分别求出其发生的概率即可得到ξ的分布列，进而得到期望与方差．

（3）根据题意可得：Eη=E（aξ+b）=aEξ+B，Dη=D（aξ+b）=aDξ，结合题意列方程组得：

2

，即可求出a与b数值．

解答： 解：（1）因为从袋中任意摸出1球得到黑球的概率是， 设黑球个数为x，则：

解得：x=4…（1分）

设白球的个数为y，又从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则：解得：y=5…（3分）

所以 袋中白球5个，黑球4个，红球1个 …（4分） （2）由题设知ξ的所有取值是0，1，2，3，则：

…（6分）

分布列表为： ξ 0 1 2 3 P

…（7分） 所以Eξ==，

所以Dξ=

×（0﹣）2

+

×

×

（3）∵η=aξ+b

∴Eη=E（aξ+b）=aEξ+B，Dη=D（aξ+b）=a2

Dξ …（10分） 又 Eη=11，Dη=21

所以 …（12分）

=

．

解得：或

或

…（14分）

即：所求a，b的值为

点评： 本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查对立事件的概率与古典概型等问题，以及离散型随机变量的期望与方差的公式，是一个综合题．

21．已知从某飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立．假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的．若该研究所共进行四次试验，设ξ表示四次试验结束时试验成功的次数与失败的次数之差的绝对值． （1）求ξ=2的概率； （2）求ξ≥2的概率．

考点： n次独立重复试验中恰好发生k次的概率． 专题： 概率与统计． 分析： （1）由题意知ξ的可能取值为0，2，4，“ξ=2”指的是试验成功3次，失败1次； 或试验成功1次，失败3次．再根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求得P（ξ=2）的值．

（2）“ξ=0”指的是试验成功2次，失败2次，根据 P（ξ≥2）=1﹣P（ξ=0），求得结果． 解答： 解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，2，4，

“ξ=2”指的是试验成功3次，失败1次； 或试验成功1次，失败3次． ∴P（ξ=2）=

?

?+

??

=

+

=

．

（2）∵“ξ=0”指的是试验成功2次，失败2次． ∴P（ξ≥2）=1﹣P（ξ=0）=1﹣

=

．

点评： 本题考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，属于基础题．

22．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C交于M、N两点，求|MN|．

考点： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 专题： 坐标系和参数方程．

分析： （1）由直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t即可化为普通方

程．曲线C的极坐标方程为ρ=

2

，展开化为

，利用

即可得出．

，利用|AB|=|t1﹣

（2）把l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中可得：t2|=

即可得出．

解答： 解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数），

化为普通方程为4x﹣3y+1=0． 曲线C的极坐标方程为ρ=

∴直角坐标方程为：x+y=x+y， 配方为：

=．

2

2

2

，展开化为，

（2）把l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中可得：

，

．

∴

．

点评： 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，

考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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