人教版,高中数学,必修5,课后习题答案,高分必备

人教版高中数学必修5课后习题答案，高分必备

第一章 解三角形

1.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

练习（P4） 1、（1）a?14，b?19，B?105?； （2）a?18cm，b?15cm，C?75?. 2、（1）A?65?，C?85?，c?22；或A?115?，C?35?，c?13； （2）B?41?，A?24?，a?24. 练习（P8） 1、（1）A?39.6?,B?58.2?,c?4.2 cm； （2）B?55.8?,C?81.9?,a?10.5 cm. 2、（1）A?43.5?,B?100.3?,C?36.2?； （2）A?24.7?,B?44.9?,C?110.4?.

习题1.1 A组（P10）

1、（1）a?38cm,b?39cm,B?80?； （2）a?38cm,b?56cm,C?90? 2、（1）A?114?,B?43?,a?35cm;A?20?,B?137?,a?13cm （2）B?35?,C?85?,c?17cm；

（3）A?97?,B?58?,a?47cm;A?33?,B?122?,a?26cm； 3、（1）A?49?,B?24?,c?62cm； （2）A?59?,C?55?,b?62cm； （3）B?36?,C?38?,a?62cm； 4、（1）A?36?,B?40?,C?104?； （2）A?48?,B?93?,C?39?；

习题1.1 A组（P10）

B1、证明：如图1，设?ABC的外接圆的半径是R，

a①当?ABC时直角三角形时，?C?90?时， O?ABC的外接圆的圆心O在Rt?ABC的斜边AB上.

BCAC在Rt?ABC中，?sinA，?sinB

ABABbCab即?sinA，?sinB A2R2R（第1题图1）

所以a?2RsinA，b?2RsinB

又c?2R?2R?sin90??2RsinC

所以a?2RsinA, b?2RsinB, c?2RsinC

②当?ABC时锐角三角形时，它的外接圆的圆心O在三角形内（图2），

作过O、B的直径A1B，连接AC， 1?90?，?BAC??BAC则?A1BC直角三角形，?ACB. 11AA1在Rt?A1BC中，

BC?sin?BAC1， A1B第1页 共34页

OB（第1题图2）

C

a?sin?BAC?sinA， 12R所以a?2RsinA，

同理：b?2RsinB，c?2RsinC

③当?ABC时钝角三角形时，不妨假设?A为钝角， 它的外接圆的圆心O在?ABC外（图3）

即

作过O、B的直径A1B，连接AC. 1A则?A1BC直角三角形，且?ACB?90?，?BAC?180???BAC 11BC在Rt?A1BC中，BC?2Rsin?BAC， 1即a?2Rsin(180???BAC)

即a?2RsinA

同理：b?2RsinB，c?2RsinC

综上，对任意三角形?ABC，如果它的外接圆半径等于R， 则a?2RsinA, b?2RsinB, c?2RsinC

2、因为acosA?bcosB，

所以sinAcosA?sinBcosB，即sin2A?sin2B 因为0?2A,2B?2?，

OA1（第1题图3）

所以2A?2B，或2A???2B，或2A???2??2B. 即A?B或A?B?所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.

在得到sin2A?sin2B后，也可以化为sin2A?sin2B?0 所以cos(A?B)sin(A?B)?0 A?B??2.

?2，或A?B?0

即A?B??2，或A?B，得到问题的结论.

1.2 应用举例

练习（P13）

1、在?ABS中，AB?32.2?0.5?16.1 n mile，?ABS?115?，

根据正弦定理，得AS?ASAB?

sin?ABSsin(65??20?)?AB?sin?ABS?2?16.1?sin115??2 sin(65??20?)∴S到直线AB的距离是d?AS?sin20??16.1?sin115??2?sin20??7.06（cm）. ∴这艘船可以继续沿正北方向航行. 2、顶杆约长1.89 m. 练习（P15）

第2页 共34页

1、在?ABP中，?ABP?180?????，

?BPA?180??(???)??ABP?180??(???)?(180?????)????

在?ABP中，根据正弦定理，

APAB ?sin?ABPsin?APBAPa?

sin(180?????)sin(???)a?sin(???)AP?

sin(???)asin?sin(???)所以，山高为h?APsin??

sin(???)2、在?ABC中，AC?65.3m，?BAC?????25?25??17?38??7?47?

?ABC?90????90??25?25??64?35?

ACBC ?sin?ABCsin?BAC?747AC?sin?BAC65.?3?sin BC?m ??9.8?35sin?ABCsin?64 井架的高约9.8m.

200?sin38?sin29?3、山的高度为?382m

sin9?练习（P16） 1、约63.77?. 练习（P18） 1、（1）约168.52 cm2； （2）约121.75 cm2； （3）约425.39 cm2. 2、约4476.40 m2

a2?b2?c2a2?c2?b2?c?3、右边?bcosC?ccosB?b?

2ab2aca2?b2?c2a2?c2?b22a2???a左边? 【类似可以证明另外两个等式】 ?2a2a2a 根据正弦定理，

习题1.2 A组（P19）

1、在?ABC中，BC?35?0.5?17.5 n mile，?ABC?148??126??22?

??14?8)?，1??BAC?180??110??22??48? ?ACB?78??(180ACBC ?sin?ABCsin?BACBC?sin?ABC17.?5s?in22 AC???8.8 2n mile

sin?BACsin?48 货轮到达C点时与灯塔的距离是约8.82 n mile. 2、70 n mile.

3、在?BCD中，?BCD?30??10??40?，?BDC?180???ADB?180??45??10??125?

1CD?30??10 n mile

3 根据正弦定理，

第3页 共34页

CDBD ?sin?CBDsin?BCD10BD?

sin?(180??40??125?)sin40? 根据正弦定理，

10?sin?40

sin1?5在?ABD中，?ADB?45??10??55?，?BAD?180??60??10??110?

?ABD?180??110??55??15?

ADBDABADBDAB 根据正弦定理，，即 ????sin?ABDsin?BADsin?ADBsin15?sin110?sin55?10?sin?40?sin1?5BD?sin1?5sin1?10s?in40?5???6.8 4n mile AD?sin1?10si?n110?sin70 BD?BD?sin5?5?10s??in40?sin55n mile ??21.6 5sin1?10si??n15?sin70 如果一切正常，此船从C开始到B所需要的时间为：

AD?AB6.8?421.65 20?min ?6?01?0?30??60 86.983030即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达B岛. 4、约5821.71 m

5、在?ABD中，AB?700 km，?ACB?180??21??35??124?

700ACBC 根据正弦定理， ??sin124?sin35?sin21?700?sin?35700?sin21? AC?，BC?

sin1?24sin124?700?sin?357?00s?in21 AC?BC??7?86.89 kmsin1?24si?n124 所以路程比原来远了约86.89 km.

6、飞机离A处探照灯的距离是4801.53 m，飞机离B处探照灯的距离是4704.21 m，飞机的高度是约4574.23 m.

1507、飞机在150秒内飞行的距离是d?1000?1000? m

3600dx? 根据正弦定理，

sin(81??18.5?)sin18.5? 这里x是飞机看到山顶的俯角为81?时飞机与山顶的距离.

d?sin18.5??tan81??14721.64 m 飞机与山顶的海拔的差是：x?tan81??sin(81??18.5?) 山顶的海拔是20250?14721.64?5528 m

8、在?ABT中，?ATB?21.4??18.6??2.8?，?ABT?90??18.6?，AB?15 m

ABAT15?cos18.6? 根据正弦定理，，即AT? ?sin2.8?cos18.6?sin2.8?15?cos18.6? 塔的高度为AT?sin21.4???sin21.4??106.19 m

sin2.8?B326?189、AE??97.8 km E60A第4页 共34页

AB?DC（第9题）

在?ACD中，根据余弦定理：

AC?AD2?CD2?2?AD?CD?cos66? ?572?1102?2?57?110?cos66??101.235

ADAC ?sin?ACDsin?ADCAD?sin?ADC5?7si?n66 sin 44?ACD???0.51AC101.2356 ?ACD?30.9?

?ACB?133??30.9?6?10 2? 根据正弦定理，

在?ABC中，根据余弦定理：AB?AC2?BC2?2?AC?BC?cos?ACB ?101.2352?2042?2?101.235?204?cos102.04??245.93

222AB?AC?B2C245.9?3101?.22352204sBAC???0.58 co? 472?AB?AC2?245.?93101.235 ?BAC?54.21?

在?ACE中，根据余弦定理：CE?AC2?AE2?2?AC?AE?cos?EAC ?101.2352?97.82?2?101.235?97.8?0.5487?90.75

222AE2?EC?A2C97.8?90.?751012.235sAEC???0.42 co? 542?AE?EC2?97?.890.75 ?AEC?64.82?

0??AEC?(1?8?0?7?5?)?75??64.8?2 18? 所以，飞机应该以南偏西10.18?的方向飞行，飞行距离约90.75 km.

10、

A

B

如图，在?ABC中，根据余弦定理： （第10题） AC?BC2?AB2?2?AB?BC?cos39?54? ?(6400?35800)2?64002?2?(6400?35800)?6400?cos39?54? ?422002?64002?2?42200?6400?cos39?54??37515.44 km

222AB?AC?B2C6400?37515?2.44422200???0.692 ?BAC? 42?AB?AC2?640?037515.448，2 ?BAC?90??43.?8 ?BAC?133.? 2所以，仰角为43.82?

C1111、（1）S?acsinB??28?33?sin45??326.68 cm2

22第5页 共34页

aca36，c???sinC??sin66.5?

sinAsinCsinAsin32.8?11sin66.5? S?acsinB??362??sin(32.8??66.5?)?1082.58 cm2

22sin32.8? （3）约为1597.94 cm2

A122?12、nRsin.

2na2?c2?b213、根据余弦定理：cosB? b2accaa2 所以ma?()2?c2?2??c?cosB ma22a2a2?c2?b22 ?()?c?a?c? B22acCa12212 ?()2[a2?4c2?2(a?c?2b)]?()[2(b?c2)?a2] 2（第13题）

22111 所以ma?2(b2?c2)?a2，同理mb?2(c2?a2)?b2，mc?2(a2?b2)?c2 222b2?c2?a2c2?a2?b214、根据余弦定理的推论，cosA?，cosB?

2bc2ca （2）根据正弦定理：

所以，左边?c(acosB?bcosA)

2c2?a2?b2b?c?2a2?b?) ?c(a?2ca2bc2c2?a2?b2b?c?2a21?)?(2a2?2b2)?右边 ?c(2c2c2习题1.2 B组（P20）

abasinB，所以b? ?sinAsinBsinA11asinB1sinBsinC 代入三角形面积公式得S?absinC?a? ?sinC?a222sinA2sinAa2?b2?c22、（1）根据余弦定理的推论：cosC?

2ab1、根据正弦定理：

a2?b2?c22) 由同角三角函数之间的关系，sinC?1?cosC?1?(2ab21 代入S?absinC，得

21a2?b2?c S?ab1?(22ab22)

?12222 (2ab2)?(a?b?c)4第6页 共34页

122(2ab?a?b?2c)(2ab?2a?2b? 2)c41 ?(a?b?c)(a?b?)c(c?a?)b(c? a?)b41111记p?(a?b?c)，则可得到(b?c?a)?p?a，(c?a?b)?p?b，(a?b?c)?p?c

2222代入可证得公式

1 （2）三角形的面积S与三角形内切圆半径r之间有关系式S??2p?r?pr

2 ?S(p?a)(p?b)(p?c)1 其中p?(a?b?c)，所以r??

pp21 （3）根据三角形面积公式S??a?ha

22S22 所以，ha??p(p?a)(p?a)(p?a)，即ha?p(p?a)(p?a)(p?a)

aaa22 同理hb?p(p?a)(p?a)(p?a)，hc?p(p?a)(p?a)(p?a) bc第一章 复习参考题A组（P24）

?c?8.69 cm； 1、（1）B?21?9?,C?38?51,?c?11.4 cm；或B?138?11,?C?11?49?,c?2.46 cm （2）B?41?49?,C?108?11, （3）A?11?2?,B?38?58?,c?28.02 cm； （4）B?20?30?,C?14?30?,a?22.92 cm； （5）A?16?20?,C?11?40?,b?53.41 cm； （6）A?28?57?,B?46?34?,C?104?29?； 2、解法1：设海轮在B处望见小岛在北偏东75?，在C处望

见小岛在北偏东60?，从小岛A向海轮的航线BD作垂

线，垂线段AD的长度为x n mile，CD为y n mile.

?x?x?y?tan30??tan30??yxx???????8 则 ?xxtan30?tan15???tan15???y?8??y?8tan15???（第2题）

8tan15?tan30??4

tan30??tan15?所以，这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险. 3、根据余弦定理：AB2?a2?b2?2abcos?

x? 所以 AB?a2?b2?2abcos? 22a2?AB?bB? cos

2?a?AB ?a2?a2?b2?2abcos??b2?a?a?b?2abcos?222

第7页 共34页

?a?bcos?a?b?2abcos?22

从?B的余弦值可以确定它的大小.

类似地，可以得到下面的值，从而确定?A的大小. cosA?b?acos?a?b?2abcos?A22 B4、如图，C,D是两个观测点，C到D的距离是d，航船在时刻t1 在A处，以从A到B的航向航行，在此时测出?ACD和?CDA. 在时刻t2，航船航行到B处，此时，测出?CDB和?BCD. 根

CdD（第4题） 据正弦定理，在?BCD中，可以计算出BC的长，在?ACD中，

?ACB??ACD??BCD，CD，可以计算出AC的长. 在?ACB中，AC、BC已经算出，解?A

求出AB的长，即航船航行的距离，算出?CAB，这样就可以算出航船的航向和速度.

hsin(???)A5、河流宽度是. 6、47.7 m. Bsin?sin?7、如图，A,B是已知的两个小岛，航船在时刻t1在C处，以从C 到D的航向航行，测出?ACD和?BCD. 在时刻t2，航船航行

dC（第7题） D到D处，根据时间和航船的速度，可以计算出C到D的距离是d，在D处测出?CDB和 ?CDA. 根据正弦定理，在?BCD中，可以计算出BD的长，在?ACD中，可以计算出AD 的长. 在?ABD中，AD、BD已经算出，?ADB??CDB??CDA，根据余弦定理，就可 以求出AB的长，即两个海岛A,B的距离.

第一章 复习参考题B组（P25）

1、如图，A,B是两个底部不可到达的建筑物的尖顶，在地面某点E 处，测出图中?AEF，?AFE的大小，以及EF的距离. 利用正弦 定理，解?AEF，算出AE. 在?BEF中，测出?BEF和?BFE， 利用正弦定理，算出BE. 在?AEB中，测出?AEB，利用余弦定 理，算出AB的长. 本题有其他的测量方法. 2、关于三角形的面积公式，有以下的一些公式：

E111 （1）已知一边和这边上的高：S?aha,S?bhb,S?chc；

222111 （2）已知两边及其夹角：S?absinC,S?bcsinA,S?casinB；

222a?b?c （3）已知三边：S?p(p?a)(p?b)(p?c)，这里p?；

2ABDC（第1题） Fb2sinCsinAc2sinAsinBa2sinBsinC,S?,S? （4）已知两角及两角的共同边：S?；

2sin(C?A)2sin(A?B)2sin(B?C) （5）已知三边和外接圆半径R：S?abc. 4R第8页 共34页

3、设三角形三边长分别是n?1,n,n?1，三个角分别是?,??3?,2?.

n?1n?1n?1由正弦定理，，所以cos??. ?2(n?1)sin?sin2?由余弦定理，(n?1)2?(n?1)2?n2?2?(n?1)?n?cos?.

即(n?1)2?(n?1)2?n2?2?(n?1)?n?n?1，化简，得n2?5n?0 2(n?1)所以，n?0或n?5. n?0不合题意，舍去. 故n?5

所以，三角形的三边分别是4,5,6. 可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍. 另解：先考虑三角形所具有的第一个性质：三边是连续的三个自然数.

（1）三边的长不可能是1,2,3. 这是因为1?2?3，而三角形任何两边之和大于第三边. （2）如果三边分别是a?2,b?3,c?4.

b2?c2?a232?42?227?? 因为 cosA?2bc2?3?48717 cos2A?2cos2A?1?2?()2?1?

8322a2?b2?c22?3?2421s???? coC2ab2?2?34 在此三角形中，A是最小角，C是最大角，但是cos2A?cosC， 所以2A?C，边长为2,3,4的三角形不满足条件.

（3）如果三边分别是a?3,b?4,c?5，此三角形是直角三角形，最大角是90?，最小角

不等于45?. 此三角形不满足条件. （4）如果三边分别是a?4,b?5,c?6.

b2?c2?a252?62?423?? 此时，cosA?2bc2?5?6431 cos2A?2cos2A?1?2?()2?1?

482a2?b2?c24?5?2621s??? coC2ab2?4?58 此时，cos2A?cosC，而0?2A,C??，所以2A?C

所以，边长为4,5,6的三角形满足条件.

（5）当n?4，三角形的三边是a?n,b?n?1,c?n?2时，

三角形的最小角是A，最大角是C.

b2?c2?a2A? cos

2bc2(n?12)?n(?2?)n2 ?

2(n?1n)(?2)n2?6n?5 ?

2(n?1)(n?2)n?5

2(n?2)13 ??

22(n?2) ?第9页 共34页

a2?b2?c2s? coC

2ab2n2?(n?1)?(n? ?2n(n?1)22)

n2?2n?3 ?

2n(n?1)n?3 2n13 ??

22nA随n的增大而减小，A随之增大，cosC随n的增大而增大，C随之变小. cos 由于n?4时有C?2A，所以，n?4，不可能C?2A. 综上可知，只有边长分别是4,5,6的三角形满足条件.

?第10页 共34页

第二章 数列

2.1 数列的概念与简单表示法

练习（P31） 1、

n n 1 2 5 … … … 12

an 153 … … … 3(3?4n) 21 33 69

2、前5项分别是：1,0,?1,0,?1.

?1*?(n?2m,m?N)*???n?2(n?2m,m?N)3、例1（1）an??； （2）an?? *1??(n?2m?1,m?N*)?0(n?2m?1,m?N)??n 说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.

(?1)n11?(n?Z?)； （3）an?n?1(n?Z?) 4、（1）an?(n?Z)； （2）an?2n2n?122习题2.1 A组（P33）

1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；

（2）2,6,22,3,10,23,14,15,4,32； （3）1,1.7,1.73,1.732,…1.732050； 2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.

11112、（1）1,,,,； （2）2,?5,10,?17,26.

4916253、（1）（1），?4，9，（?16），25，（?36），49； an?(?1)n?1n2； （2）1，2，（3），2，5，（6），7； an?n.

11414、（1）,3,13,53,213； （2）?,5,,?,5.

24545、对应的答案分别是：（1）16,21；an?5n?4；（2）10,13；an?3n?2；（3）24,35；an?n2?2n. 6、15,21,28； an?an?1?n.

习题2.1 B组（P34）

1、前5项是1,9,73,585,4681.

第11页 共34页

8n?1该数列的递推公式是：an?1?1?8an,a1?1.通项公式是：an?.

72、a1?10?(1?0.72﹪)?10.072； a2?10?(1?0.﹪722?)3 a3?10?(1?0.﹪72?)； 451810.14； 5. 10.21 7an5?910?(1?0.﹪7n2358133、（1）1,2,3,5,8； （2）2,,,,.

23582.2 等差数列

练习（P39）

1、表格第一行依次应填：0.5，15.5，3.75；表格第二行依次应填：15，?11，?24. 2、an?15?2(n?1)?2n?13，a10?33. 3、cn?4n 4、（1）是，首项是am?1?a1?md，公差不变，仍为d；

（2）是，首项是a1，公差2d；（3）仍然是等差数列；首项是a7?a1?6d；公差为7d. 5、（1）因为a5?a3?a7?a5，所以2a5?a3?a7. 同理有2a5?a1?a9也成立； （2）2an?an?1?an?1(n?1)成立；2an?an?k?an?k(n?k?0)也成立.

习题2.2 A组（P40）

1、（1）an?29； （2）n?10； （3）d?3； （4）a1?10. 2、略. 3、60?. 4、2℃；?11℃；?37℃. 5、（1）s?9.8t； （2）588 cm，5 s.

习题2.2 B组（P40）

1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，a2010?a2002?8d?0.26?105 再加上原有的沙化面积9?105，答案为9.26?105； （2）2021年底，沙化面积开始小于8?105 hm2. 2、略.

2.3 等差数列的前n项和

练习（P45） 1、（1）?88； （2）604.5.

?59,n?1??122、an??

6n?5?,n?1??12第12页 共34页

3、元素个数是30，元素和为900.

习题2.3 A组（P46）

1、（1）n(n?1)； （2）n2； （3）180个，和为98550； （4）900个，和为494550.

n(a1?an)，并解得n?27； 217 将a1?20,an?54,n?27代入an?a1?(n?1)d，并解得d?.

131n(a1?an)（2）将d?,n?37,Sn?629代入an?a1?(n?1)d，Sn?，

322、（1）将a1?20,an?54,Sn?999代入Sn??an?a1?12?得?37(a1?an)；解这个方程组，得a1?11,an?23.

?629?2?51n(n?1)（3）将a1?,d??,Sn??5代入Sn?na1?d，并解得n?15；

662513将a1?,d??,n?15代入an?a1?(n?1)d，得an??.

662（4）将d?2,n?15,an??10代入an?a1?(n?1)d，并解得a1??38；

将a1??38,an??10,n?15代入Sn?3、4.55?104m. 4、4.

5、这些数的通项公式：7(n?1)?2，项数是14，和为665. 6、1472.

习题2.3 B组（P46）

n(a1?an)，得Sn??360. 21、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前n项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.

2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考. （1）由 S6?6a1?15d，S12?12a1?66d，S18?18a1?153d 可得S6?(S18?S12)?2(S12?S6). （2）S12?S6?(a1?a2? ?a7?a8??a12)?(a1?a2??a1 2?6a(? d6)?a6)

ad)? ?(a1?6d)?(2?6 ?(a1?a2? ?S6?36d

?a6)?36d

第13页 共34页

同样可得：S18?S12?S6?72d，因此S6?(S18?S12)?2(S12?S6).

3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；

所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.

（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n项和公式，这

4?1个车队所有车的行驶时间为S?23?15?85 h. 22乘以车速60 km/h，得行驶总路程为2550 km.

?1?111a???4、数列?的通项公式为 ?nn(n?1)nn?1n(n?1)??111111 所以Sn?(?)?(?)?(?)?122334111n ?(?)?1??nn?1n?1n?11111?(?)的数列的前n项和. 类似地，我们可以求出通项公式为an?n(n?k)knn?k2.4 等比数列

练习（P52） 1、

a1

2

50

a3 a5 a7 q 2或?2 4 2 8 0.08 16 0.0032 0.2 2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为a1?80，公比为q?20的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数a5为 a5?a1q4?80?204?1.28?107. 3、（1）将数列?an?中的前k项去掉，剩余的数列为ak?1,ak?2,ak?1,ak?2,. 令b?ak?i,i?1,2,，则数列

可视为b1,b2,.

是等比数列.

因为

bi?1ak?i?1??q(i≥1)，所以，?bn?是等比数列，即ak?1,ak?2,biak?i （2）?an?中的所有奇数列是a1,a3,a5, 所以，数列a1,a3,a5,，则

a3a5??a1a3?a2k?1?a2k?1?q2(k≥1).

是以a1为首项，q2为公比的等比数列.

，

（3）?an?中每隔10项取出一项组成的数列是a1,a12,a23,第14页 共34页

则

a12a23??a1a12?a11k?1?a11k?10?q11(k≥1)

所以，数列a1,a12,a23,是以a1为首项，q11为公比的等比数列.

猜想：在数列?an?中每隔m（m是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以a1为首项，qm?1为公比的等比数列.

24、（1）设?an?的公比为q，则a5?(a1q4)2?a12q8，而a3?a7?a1q2?a1q6?a12q8

22 所以a5?a3?a7，同理a5?a1?a9

2 （2）用上面的方法不难证明an?an?1?an?1(n?1). 由此得出，an是an?1和an?1的等比中项.

2 同理：可证明，an?an?k?an?k(n?k?0). 由此得出，an是an?k和an?k的等比中项(n?k?0).

5、（1）设n年后这辆车的价值为an，则an?13.5(1?10﹪)n.

（2）a4?13.5(1?10﹪)4?88573（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元.

习题2.4 A组（P53）

1、（1）可由a4?a1q3，得a1??1，a7?a1q6?(?1)?(?3)6??729. 也可由a7?a1q6，a4?a1q3，得a7?a4q3?27?(?3)3??729

?a1?27?a1??27????a1q?18 （2）由?3，解得?2，或?2

q?q??????a1q?833??4?3?a1q?4 （3）由?6，解得q2?，

2??a1q?63622 a9?a1q8?aq?q?aq?6??9 1722a762 还可由a5,a7,a9也成等比数列，即a?a5a9，得a9???9.

a54274??a1q?a1?15 （4）由?3??a1q?a1q?6①②

q2?151?，由此解得q?或q?2. ①的两边分别除以②的两边，得q22第15页 共34页

当q?1时，a1??16. 此时a3?a1q2??4. 当q?2时，a1?1. 此时a3?a1q2?4. 22、设n年后，需退耕an，则?an?是一个等比数列，其中a1?8(1?10﹪),q?0.1. 那么2005年需退耕a5?a1(1?q)5?8(1?10﹪)5?13（万公顷） 3、若?an?是各项均为正数的等比数列，则首项a1和公比q都是正数. 由an?a1qn?1，得an?a1qn?1?a1q12n?12?a1(q)12(n?1).

那么数列?an?是以a1为首项，q为公比的等比数列.

4、这张报纸的厚度为0.05 mm，对折一次后厚度为0.05×2 mm，再对折后厚度为0.05×22 mm，再对折后厚度为0.05×23 mm. 设a0?0.05，对折n次后报纸的厚度为an，则?an?是一个等比数列，公比q?2. 对折50次后，报纸的厚度为

5013 a50?a?250?5.6?310 ?mm?5.6 1310 m0q?0.05这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约3.84?108 m），所以能够在地球和月球之间建一座桥.

5、设年平均增长率为q,a1?105，n年后空气质量为良的天数为an，则?an?是一个等比数列. 由a3?240，得a3?a1(1?q)2?105(1?q)2?240，解得q?240?1?0.51 105a?ba?b?2ab(a?b)2a?b?ab??≥0 6、由已知条件知，A?,G?ab，且A?G?2222 所以有A≥G，等号成立的条件是a?b. 而a,b是互异正数，所以一定有A>G.

7、（1）?2； （2）?ab(a2?b2). 8、（1）27，81； （2）80，40，20，10.

习题2.4 B组（P54）

1、证明：由等比数列通项公式，得am?a1qm?1，an?a1qn?1，其中a1,q?0

ama1qm?1??qm?n 所以 n?1ana1q2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q，

n年后的残留量为an，则?an?是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730

则 an?a1q5730?q57301157301?0.999879 ?，解得q?()22 （2）设动物约在距今n年前死亡，由an?0.6，得an?a1q?0.999879n?0.6.

第16页 共34页

解得 n?4221，所以动物约在距今4221年前死亡. an3、在等差数列1，2，3，…中，

有a7?a10?17?a8?a9，a10?a40?50?a20?a30 由此可以猜想，在等差数列?an?中

若k?s?p?q(k,s,p,q?N*)，则ak?as?ap?aq. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个

asakOkpapqaqsnakas问题：由等差数列?an?的图象，可以看出k?，s?

appaqq（第3题）

根据等式的性质，有

ak?ask?s?，所以ak?as?ap?aq. ap?aqp?q猜想对于等比数列?an?，类似的性质为：若k?s?p?q(k,s,p,q?N*)，则ak?as?ap?aq.

2.5 等比数列的前n项和

练习（P58） 1、（1）S6?a1(1?q)3(1?2)a?aq??189. （2）Sn?1n?1?q1?21?q66?2.7?11(?)903??91. 1451?(?)32、设这个等比数列的公比为q 所以 S10?(a1?a2??a5)?(a6?a7??a10)?S5?q5S5?(1?q5)S5?50

同理 S15?S10?q10S5.

因为 S5?10，所以由①得 q5?S10?1?4?q10?16 S5代入②，得S15?S10?q10S5?50?16?10?210.

3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项a1?2000，公比q?1.1

2000(1?1.110)?31874.8（亿元） 设近10年的国内生产总值是S10，则S10?1?1.1习题2.5 A组（P61）

1、（1）由q3?a?aq?1?64?(?4)a464?51. ???64，解得q??4，所以S4?14?1?q1?(?4)a1?1第17页 共34页

（2）因为S3?a1?a2?a3?a3(q?2?q?1?1)，所以q?2?q?1?1?3，即2q2?q?1?0

131 解这个方程，得q?1或q??. 当q?1时，a1?；当q??时，a1?6.

2222、这5年的产值是一个以a1?138?1.1?151.8为首项，q?1.1为公比的等比数列

a1(1?q5)151.8?(1?1.15)??926.754（万元） 所以S5?1?q1?1.13、（1）第1个正方形的面积为4cm2，第2个正方形的面积为2cm2，…，

1这是一个以a1?4为首项，q?为公比的等比数列

21所以第10个正方形的面积为a10?a1q9?4?()9?2?7（cm2）

2 （2）这10个正方形的面积和为S10?a1?a10q?1?q4?2?7?1?1212?8?2?7（cm2）

4、（1）当a?1时，(a?1)?(a2?2)? 当a?1时，(a?1)?(a2?2)??(an?n)??1?2??(an?n)?(a?a2??(n?1)??(n?1)n 2?n)

?an)?(1?2?a(1?an)n(n?1)??

1?a2 （2）(2?3?5?1)?(4?3?5?2)?(n?3?5?n)?2(1?2??1n(n?1)5?(1?n5)3?n?3??nn(?1?)?(1 5 2?121??54?n)?3(5?1?5?2?)?5?n)

（3）设Sn?1?2x?3x2? 则 xSn?x?2x2??nxn?1……①

?(n?1)xn?1?nxn……②

?xn?1?nxn……③

①－②得，(1?x)Sn?1?x?x2? 当x?1时，Sn?1?2?3?1?xnnxnn(n?1)?；当x?1时，由③得，Sn? ?n?2(1?x)1?x25、（1）第10次着地时，经过的路程为100?2(50?25??100?2?9)

9?2?)?100?2?100(2?1?2?2?

2?1(1?2?9)?100?200??299.61 (m)1?2?12?1(1?2?(n?1)))?100?200??293.75

1?2?1 （2）设第n次着地时，经过的路程为293.75 m，

则100?2?100(2?2??1?2?2?(n?1)第18页 共34页

所以300?200?21?n?293.75，解得21?n?0.03125，所以1?n??5，则n?6 6、证明：因为S3,S9,S6成等差数列，所以公比q?1，且2S9?S3?S6

a1(1?q9)a1(1?q3)a1(1?q6)?? 即，2? 1?q1?q1?q 于是，2q9?q3?q6，即2q6?1?q3 上式两边同乘以a1q，得2a1q7?a1q?a1q4 即，2a8?a2?a5，故a2,a8,a5成等差数列

习题2.5 B组（P62）

1、证明：an?an?1b??bn?an(1?b?ab1?()n?1bnan?1?bn?1na ?())?a?baa?b1?a?a7)?q7S7

4?2a)?q1S7

72、证明：因为S14?S7?a8?a9??a14?q7(a1?a2?14 S21?S1??16?a?q2(a?a?4a?1a511 所以S7,S14?7,S21?14成等比数列

3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为a1?100，公比为q?1.2. 所以，2010年能回收的废旧物资为a9?100?1.28?430（t）

a1(1?q9)100(1?1.29)??2080（t） （2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为S9? 1?q1?1.2 可节约的土地为1650?4?8320（m2）

4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每

(a?na)n月固定存入a元，连续存n个月，计算利息的公式为?月利率.

2 因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪，月利率为0.21﹪

(50?50?36)?36 故到期3年时一次可支取本息共?0.21﹪?1800?1869.93（元）

2 若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略. （2）略.

（3）每月存50元，连续存3年

按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪，且需支付20﹪的利息税

所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元，比教育储蓄的方式少收益27.97元.

36(x?36x) （4）设每月应存入x元，由教育储蓄的计算公式得?0.21﹪?36x?10000

2 解得x?267.39（元），即每月应存入267.39（元）

第19页 共34页

（5）（6）（7）（8）略

5、设每年应存入x万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为x(1?2﹪)7，2005年初存

). 入的钱到2010年底利和为x(1?2﹪)6，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为x(1?2﹪根据题意，x(1?2﹪)7?x(1?2﹪)6??x(1?2﹪)?40

x(1?2﹪)(1?1.027)?40，解得x?52498（元） 根据等比数列前n项和公式，得

1?1.02故，每年大约应存入52498元

第二章 复习参考题A组（P67）

1、（1）B； （2）B； （3）B； （4）A.

(?1)n?1(2n?1)2n?12、（1）an?n； （2）an?1?； 2(2n)27 （3）an?(10n?1)； （4）an?1?(?1)n或an?1?cosn?. 93、

4、如果a,b,c成等差数列，则b?5；如果a,b,c成等比数列，则b?1，或?1.

5、an按顺序输出的值为：12，36，108，324，972. sum?86093436. 6、1381.9?(1?0.13﹪)8?1396.3（万）

7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.

n(n?1)13?12 d?10,a1?100. 由Sn?a1n?d得：S13?100?13??10?2080?2000.

22所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 8、因为a2?a8?a3?a7?a4?a6?2a5

5 所以a3?a4?a5??a6?a7?450?(a2?a8)，则a2?a8?180.

210?10n9、容易得到an?10n,Sn??10?1200，得n?15.

210、S2?an?1?an?2??a2n?(a1?nd)?(a2?nd)??(an?nd)

?(a1?a2?2?an)?n?nd?S?1nd

第20页 共34页

?4242?13??3、使函数f(x)?x2?3x?的值大于0的解集为?xx?3?,或x?3??.

22?24???4、设风暴中心坐标为(a,b)，则a?3002，所以(3002)2?b2?450，即?150?b?150 而3003002?15015?(22?1)?13.7（h），?15.

20220 所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.

3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

练习（P86）

1、B. 2、D. 3、B.

4、分析：把已知条件用下表表示： 工序所需时间/分钟 打磨 着色 上漆 10 6 6 桌子A 5 12 9 桌子B 450 480 450 工作最长时间 解：设家具厂每天生产A类桌子x张，B类桌子y张.

对于A类桌子，x张桌子需要打磨10xmin，着色6xmin，上漆6xmin 对于B类桌子，y张桌子需要打磨5ymin，着色12ymin，上漆9ymin 而打磨工人每天最长工作时间是450min，所以有10x?5y≤450. 类似地，6x?12y≤480，6x?9y≤450 在实际问题中，x≥0,y≥0；

?10x?5y≤450?6x?12y≤480?? 所以，题目中包含的限制条件为 ?6x?9y≤450

?x≥0???y≥0收益/元 40 30 练习（P91）

1、（1）目标函数为z?2x?y，可行域如图所示，作出直线y??2x?z，可知z要取最大值，即直线经过点C时，解方程组?

第26页 共34页

?x?y?1 得C(2,?1)，所以，zmax?2x?y?2?2?(?1)?3.

y??1?

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