全国各地中考数学真题分类汇编：直角三角形与勾股定理

证明

(3) 如图(14.1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是 (写出关系式,不必证明)

5. （2011四川乐山18，3分）如图，在直角△ABC中，∠C=90，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数。

【答案】 解：∵AD平分∠CAD ∴∠CAD=∠BAD

∵DE垂直平分AB ∴AD=BD,∠B=∠BAD ∴∠CAD=∠BAD=∠B ∵在RtΔABC中，∠C=90o ∴∠CAD+∠DAE+∠B=90o ∴∠B=30o

6. （2011山东枣庄，21，8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

（1）画线段AD∥BC且使AD =BC，连接CD；

（2）线段AC的长为 ，CD的长为 ，AD的长为 ； （3）△ACD为 三角形，四边形ABCD的面积为 ； （4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是 ．

A B

E C

解：（1）如图； ???????????1分

A B

E C

第21题图

D

（2）25，5，5； ??????4分

（3）直角，10； ????????6分 （4）

1． ???????????8分 22010年全国各地中考数学真题分类汇编

第24章 直角三角形与勾股定理

一、选择题

1．（2010 浙江台州市）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点， 则AP长不可能是(▲) ．．． A C P

（第3题）

B

A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A

2．（2010山东临沂）如图，?ABC和?DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为

ADBC（第13题图） E

（A）3（B）23（C）33（D）43 【答案】D

3．（2010 四川泸州）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C． 钝角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

4．（2010 广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm， 现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为 （A）4 cm （B）5 cm （C）6 cm （D）10 cm

CDABE第15题

【答案】B

5．（2010广西南宁）图1中，每个小正方形的边长为1，?ABC的三边a,b,c的大小关系式：

（A）a?c?b （B）a?b?c

（C）c?a?b （D）c?b?a 图1

【答案】C

6．（2010广东湛江）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6 【答案】C 二、填空题

1．（10湖南益阳）如图4，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC中点，则

DE＝ ．

【答案】4

2．（2010辽宁丹东市）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．

EDCBA第15题图

FG

【答案】(2)n

3．（2010 浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么APQR

的周长等于 ．

【答案】

4．（2010四川宜宾）已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= 2，AB= 3+1，则边BC的长为 ．

【答案】2

5．（2010湖北鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=62?66，则AB= ．

【答案】12

6．（2010河南）如图，Rt△ABC中，∠C=90, ∠ABC=30，AB=6.点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是 .

00

【答案】2≦ AD < 3

7．（2010四川乐山）如图（4），在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD=40°,则∠EBC=______.

全国各地中考数学真题分类汇编

第24章 直角三角形与勾股定理

一.选择题

1．（2012?广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ） A．

考点： 勾股定理；点到直线的距离；三角形的面积。 专题： 计算题。

分析： 根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，

利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离． 解答： 解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

B．

C． D．

在Rt△ABC中，AC=9，BC=12， 根据勾股定理得：AB=

=15，

过C作CD⊥AB，交AB于点D， 又S△ABC=AC?BC=AB?CD， ∴CD=

=

=

， ．

则点C到AB的距离是故选A

点评： 此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理

是解本题的关键．

2.（2012毕节）如图.在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E式垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（ ） A.23

B.2 C.43 D. 4

解析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB， 求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可． 解答：解：∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=180°-30°-90°=60°，

∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°-30°=30°， ∵BD=1，∴CD=2=AD，∴AB=1+2=3， 在△BCD中，由勾股定理得：CB=AC=

3，在△ABC中，由勾股定理得：

AB2?BC2=23，故选A．

点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．

3.（2012湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（ ） A.20 B.10 C.5 D.

5 2

11AB=×10=5. 22【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故CD=

【答案】选：C．

【点评】此题考查的是直角三角形的性质，属于基础题。

4.（2012安徽）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）

A.10 B.45 C. 10或45 D.10或217

解析：考虑两种情况．要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的.

2222解答：解：如下图，(2?2)?(4?4)?45，(2?3)?(4?4)45?10

故选C．

点评：在几何题没有给出图形时，有的同学会忽略掉其中一种情况，错选A或B；故解决本题最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解．

5. （2012?荆门）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）

A． B． C． =2

，

D．

解析：根据勾股定理，AB=BC=AC=

==

， ，

：2

所以△ABC的三边之比为A、三角形的三边分别为2，：3，故本选项错误；

：=

=1：2：，

， =3

，三边之比为2：

：3

=

：

B、三角形的三边分别为2，4，选项正确；

C、三角形的三边分别为2，3，D、三角形的三边分别为本选项错误． 故选B．

=

，

=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故本

=，三边之比为2：3：=

，4，三边之比为

，故本选项错误； ：

：4，故

6. ( 2012巴中)如图3，已知AD是△ABC的

BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是( ) A.AB=AC B.∠BAC=900 C.BD=AC D.∠B=450

B A D

C 【解析】由条件A,与直角三角形全等的判定“斜边、直角边” 可判定△ABD≌△ACD，其它条件均不能使

△ABD≌△ACD，故选A

【答案】A

【点评】本题考查直角三角形全等的判定“斜边、直角边”应用.

二.填空题

7.( 2012巴中)已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系c2-a2-b2 +|a-b|=0,则△ABC的形状为______

【解析】由关系c2-a2-b2 +|a-b|=0，得c2-a2-b2=0,即a2+b2= c2，且a-b=0即a=b,∴△ABCJ是

等腰直角三角形. 应填等腰直角三角形.

【答案】等腰直角三角形

【点评】本题考查非负数的一个性质: “两个非负数之和为零时,这两个非负数同时为零.”及勾

股定理逆定理的应用.

8（2012泸州）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm，则BC= . 解析：在直角三角形中，根据30°所对的直角边等于斜边 的一半，所以BC=答案：3cm.

点评：30°所对的直角边等于斜边的一半，是直角三角形性质， 要注意前提条件是直角三角形.

9.（2012青岛）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.

22【解析】将圆柱展开，AB=(18?2)?(12?4?4)?15．

11AB=×6=3（cm）. 22【答案】15

【点评】本题考查圆柱的侧面展开为矩形，关键是在矩形上找出A和B两点的位置，据“两点之间线段最短”得出结果．“化曲面为平面”，利用勾股定理解决．要注意展开后有一直角边长是9cm而不是18 cm.

10．（2012河北）如图7，AB，CD相交于点O，AC?CD于点C，若∠BOD=38?，则∠A等于 ． [答案] 52?

[考点] 对顶角相等，直角三角形两锐角互余

[解析] 观察图形得知∠BOD与∠AOC是对顶角，

??AOC=∠BOD=38?，又在Rt?ACO中，两锐角

互余，??A=90?-38??52?

11.（2012南州）如图1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）

A、（2，0） B、（5?0,1） C、（100,1?） D、（50,）

解析：在Rt?ABC中，AB?3，BC?1，所以AC?所以AM?AC?10，故M(10?1. ，0）答案：C.

AB2?BC2?32?1?10，

点评：本题考查矩形、勾股定理、圆弧及数轴知识，是一道综合性的题目，比较简单，难度

较小.

12．（2012临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．

考点：直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质。 解答：解：∵∠ACB=90°， ∴∠ECF+∠BCD=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B=90°， ∴∠ECF=∠B， 在△ABC和△FEC中，∴△ABC≌△FEC（ASA）， ∴AC=EF，

∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm， ∴AE=5﹣2=3cm． 故答案为：3．

13.（2012陕西）如图，从点A?0，2?发出的一束光，经x轴反射，过点B?4，3?，则这束光从点A到点B所经过路径的长为 ．

【解析】设这一束光与x轴交与点C，作点B关于x轴的对称点B'，过B'作B'D?y轴 于点D．由反射的性质，知A，C，B'这三点在同一条直线上．再由轴对称的性质知

，

B'C=BC．则AC+CB=AC?CB'?AB'．

由题意得AD=5，B'D=4，由勾股定理，得AB'=41．所以AC?CB=41．

【答案】41

【点评】本题从物理学角度综合考查了平面直角坐标系中点的坐标应用、

轴对称性质以及勾股定理等.难度中等

C D

B'

14．（2012?资阳）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 10或8 ．

考点： 三角形的外接圆与外心；勾股定理。 专题： 探究型。

分析： 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①16

为斜边长；②16和12为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．

解答： 解：由勾股定理可知：

①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8； ②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长=因此这个三角形的外接圆半径为10．

综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10． 故答案为：10或8．

点评： 本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜

边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．

15．（2012无锡） 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于 3 cm．

=20，

考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；平移的性质。

分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知AD=BD=CD=AB=4cm；然后由平移的性质推知GH∥CD；最后根据平行线截线段成比例列出比例式，即可求得GH的长度． 解答：解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点， ∴AD=BD=CD=AB=4cm；

又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1cm得到的， ∴GH∥CD，GD=1cm， ∴

=

，即

=

，

解得，GH=3cm； 故答案是：3．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线、平移的性质．运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得相关线段的长度是解答此题的关键．

16.(2012黔西南州)如图6，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为______________．

【解析】由于∠ACB=90°，DE⊥BC，所以AC∥DE．又CE∥AD，所以四边形ACED是平行四边形，所以DE=AC=2．

在Rt△CDE中，由勾股定理CD=CD2―DE2=23．又因为D是BC的中点，所以 BC=2CD=43．

在Rt△ABC中，由勾股定理AB=AC2+BC2=213．

因为D是BC的中点，DE⊥BC，所以EB=EC=4，所以四边形ACEB的周长=AC+CE+BE+BA=10+213． 【答案】10＋213．

【点评】本题是一个几何的综合计算题，尽管难度不大，但综合考查了平行四边形、垂直平分线的性质和判定，理清思路，找准图形中的相等线段，并不难解决．

三.解答题

17．（2012菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： （1）试证明三角形△ABC为直角三角形；

（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．

考点：作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定。 解答：解：（1）根据勾股定理，得AB=2显然有AB+AC=BC，

根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形； （2）△ABC和△DEF相似． 根据勾股定理，得AB=2DE=4=

=，DF=2=

，EF=2，

，AC=

．

，BC=5，

2

2

2

，AC=，BC=5；

∴△ABC∽△DEF．

（3）如图：连接P2P5，P2P4，P4P5，

∵P2P5=AB=2∴

，P2P4=，AC==

=

，P4P5=2

，

，BC=5，

=

，

∴，△ABC∽△P2P4 P5．

2011年全国各地中考数学真题分类汇编

第24章 直角三角形与勾股定理

一、选择题

1. （2011山东滨州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)（ ）

A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5 【答案】C

2. （2011山东烟台，7,4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）

A2m B.3m C.6m D.9m 【答案】C

3. （2011台湾全区，29）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，

再向东直走

80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？

A． 100 B． 180 C． 220 D． 260 【答案】Ｃ

4. （2011湖北黄石，7，3分）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的

纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为

A. 3cm B. 6cm C. 32cm D. 62cm

【答案】D

5. （2011贵州贵阳，7，3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是

（第7题图）

（A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）7 【答案】D

6. （2011河北，9，3分）如图3，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）

A．

1 2 B．2 C．3 D．4

BDCA'图3EA

【答案】B 7. 8. 二、填空题

1. （2011山东德州13,4分）下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写．

序号）

①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④如果三角形的三边长a，b，c满足a2?b2?c2，那么这个三角形是直角三角形． 【答案】① ④

2. （2011浙江温州，16，5分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2，

S3．

若S1，S2，S3＝10，则S2的值是 ．

【答案】

10 33. (2011重庆綦江，16，4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形

DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么

位置,即当AE＝ 米时,有DC＝AE＋BC.

【答案】：

14 34. （2011四川凉山州，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜

222边长为c，那么a?b?c”的逆命题改写成“如果??，那么??”的形式：

。 【答案】如果三角形三边长a，b，c，满足

a?b2?c2，那么这个三角形是直角三角形

25. （2011江苏无锡，16，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D、E、F分别是AB、

BC、CA的中点，若CD = 5cm，

则EF = _________cm．

C F E B

A

D （第16题）

【答案】5

6. （2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，则AB＝ ▲ ． 【答案】15

7. （2011贵州安顺，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是 ．

第16题图 【答案】6cm

2

8. （2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是________cm. A

2

C E

F 30° 45° B

D 【答案】9. 10．

49 2三、解答题

1. （2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直

角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角．．．．．．．．．形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长． ．

【答案】由题意可得，花圃的周长=8+8+82=16+82 2. （2011四川绵阳23，12）

王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米. (1)请用a表示第三条边长；

(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出a的取值范围；

(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.

【答案】(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a-（2a+2）=28-3a

(2)不可以是7，∵第一条边为7，第二条边为16，第三条边为7，不满足三边之间13

的关系，不可以构成三角形。＞a＞5

2

(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形

4. （2011四川乐山25，12分）如图,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.

(1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 证明:

(2) 如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是

【答案】140°

8．（2010四川乐山）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学

知识和人文价值．图（6）是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，?，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn．设第一个正方形的边长为1．

图（6）

请解答下列问题： （1）S1＝__________；

（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn＝__________． 【答案】1＋

333n -1

；(1＋)·()(n为整数) 884

?9．（2010 江苏镇江）如图，Rt?ABC中,?ACB?90，DE过点C，且DE//AB，若

?ACD?50?，则

∠A= ，∠B= .

【答案】50,40

10．（2010 广西玉林、防城港）两块完全一样的含30角的三角板重叠在一起，若绕长直

??角边中点M转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图6，∠A＝30?，AC＝10，则此时两直角顶点C、C?间的距离是 。

【答案】5

11．（2010 福建泉州南安）将一副三角板摆放成如图所示，图中?1? 度．

1 （第10题图） 【答案】120

12．（2010 广西钦州市）一个承重架的结构如图所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝_ ▲_°．

1第2题

2

【答案】65

13．（2010 山东淄博）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为5的线段__________条.

(第15题)

【答案】8

14．（2010年山西）在Rt?ABC中,?ACB?90?,D是AB的中点，CD=4cm，

则AB= cm。 【答案】8

15．（2010黑龙江绥化）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC

外部作等腰直角三角形 ACD ，则线段BD的长为 。 【答案】4或25或10

三、解答题

1．（2010浙江杭州） (本小题满分10分)

如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上. (1) 求证：△ABD∽△CAE；

(2) 如果AC =BD，AD =22BD，设BD = a，求BC的长.

【答案】

(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上， ∴ ?DBA = ?CAE, 又

--- 4分

(2) ∵AB = 3AC = 3BD，AD =22BD ，

∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2， ∴?D =90°,

∵

ABBD??3ACAE, ∴ △ABD∽△CAE.

由（1）得 ?E =?D = 90°, ∵ AE=

1122BD , AB = 3BD ， BD , EC =AD =

333∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2 = (3BD +

1108222BD )2 + (BD)2 = BD = 12a2 , 393 ∴ BC =23a . --- 6分

2．（2010 湖北孝感）（本题满分10分）

[问题情境]

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。 [定理表述]

请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；（3分）

[尝试证明]

以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a?b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；（4分） [知识拓展]

利用图2中的直角梯形，我们可以证明

a?b?2.其证明步骤如下： c?BC?a?b,AD= 。

又∵在直角梯形ABCD中有BC AD（填大小关系），即 ，

?a?b?2.（3分） c【答案】[定理表述]

如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2?b2?c2,

…………3分

说明：只有文字语言，没有符号语言给2分。

[尝试证明]

?Rt?ABE≌Rt?ECD,??AEB??EDC,

又?EDC??DEC?90,??AEB??DEC?90

????AED?90?. …………5分

?S梯形ABCD?SRt?ABE?SRt?DEC?SRt?AED,

1111?(a?b)(a?b)?ab?ab?c2. 2222222整理，得a?b?c.

…………7分

[知识拓展]

AD?2c,RC?AD,a?b?2c …………10分

3．（2010 山东荷泽）（本题满分8分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，

BD是∠ABC的平分线，CD＝5㎝，求AB的长．

B A 20题图

D

C

【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线

∴∠ABD＝∠CBD＝30° ∴AD＝DB

又∵Rt△CBD中，CD＝5㎝ ∴BD＝10㎝

∴BC＝53㎝，AC＝2BC＝103㎝

百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库全国各地中考数学真题分类汇编：直角三角形与勾股定理在线全文阅读。