我希望你能,不负此生。 莫可2014.10
整数问题:
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整数相乘、相除、相加、相减均为整数 从1开始的连续自然数的平均数就是中间数 倍数问题同余数问题一起考虑
小华在练习自然数求和,从1开始,数着数着他发现自己重复数了一个数。在这种情况下,他将所数的全部数求平均,结果为7.4,请问他重复的那个数是?
A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 答案:B ? 从1-100中,取两个不同的数,使其和是9的倍数,有多少种不同的取法? A. 539 B. 550 C. 561 D. 572 答案:C
等式转化问题:
? X+Y〉2xy ? |x-y|>(h1-h2) ? 平地上有100棵树,高度从最低3米到最高10米不等,且任意两棵树之间的距离都不
超过它们高度差的50倍。现在要用篱笆将它们全部围起来,在不知道树木位置的情况下,至少要准备多少米的篱笆才能确保完成任务? A. 350 B. 650 C. 700 D. 1300 答案:C ? 某市的信息结业考试分为笔试题和上机题两部分,每部分题目各准备若干份不同的试题.
每人考试时随机抽取相应的试题。某人考完后与自己前后左右以及斜向相邻的同学对答案.发现任意两人所答题目都不尽相同,则该市考试办至少准备了多少份不同的试题? A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:C
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至多至少问题:
? 找准至多至少究竟意味着什么,有些情况下可以从反面入手。
? 共有100个人参加某公司的招聘考试,考试内容为5道题1-5题分别有80人,92人,
86人,78人,74人答对,答对了3道题和3道题以上的人员能通过考试,请问至少有多少人能通过考试? A. 30 B. 55 C. 70 D. 74 答案:C
“牛吃草”问题:
? 核心公式:草场草量=(牛数*吃草量-每天长草量)×天数 ? 一个水库在年降水量不变的情况下,能维持全市12万人20年的用水量。在该市新迁入
3万人之后,该水库只能够维持15年的用水量。市政府号召节约用水,希望能将水库的使用寿命提高到30年。那么,该市市民平均需要节约多少比例的水才能实现政府制定的目标?() A、2/5 B、2/7 C、1/3 D、1/4 答案:A
排列组合问题:
? 环形的排列公式
? 甲乙两个科室各有4名职员,且都是男女各半。现从两个科室中选出4人参加培训,要
求女职员比重不得低于一半,且每个科室至少选一人,问有多少种不同的选法? A. 51 B. 53 C. 63 D. 67 答案:A
? 有5对夫妇参加一场婚宴,他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐,但是婚礼操办者
并不知道他们彼此之间的关系,随机安排座位,问5对夫妻恰好相邻而坐的概率是多少? A.千分之一到千分之五之间 B.千分之五到百分之一 C.超过百分之一
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D.不超过千分之一 答案:B
分组问题:从1,2,3??,n中。任取57个数,使这57个数必有两个数的差为13,则n的最大值为( ) A. 106 B. 107 C. 108 D. 109 答案:C
最小公倍数问题:
? 陷阱在于究竟是哪些数的最小公倍数?
? 甲乙丙丁四人去图书馆借书,甲每隔5天去一次,乙每隔11天去一次,丙每隔17天
去一次,丁每隔29天去一次,如果5月18日他们四人在图书馆相遇,问下一次四人在图书馆相遇是几月几号? A. 10月18日 B. 10月14日 C. 11月18日 D. 11月14日 答案:D
数量关系
? 所有题目都不要用方程法,所有题目都有比方程法更简单的办法。 ? 利用选项和数字特征(奇偶特性、倍数特性 )。
统筹问题:
用一只平底锅煎饼,每次能同时放两个饼,如果煎1个饼需要2分钟(假定正反面各需1分钟),问煎1993个饼至少需要几分钟?
A. 1993 B. 1994 C. 1995 D. 3986
答案:A. 统筹问题,充分利用人力、物力达到最优化。 1张饼2分钟
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2张饼2分钟
3张饼3分钟(永远不要让锅上只有一张饼) 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别各称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13,已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油? A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 答案:D
行程问题:
多次相遇问题“三个一比二” 第一次相遇 路程 时间 路程-甲 路程-乙 s t S甲 S乙 第一次-第二次相遇 2s 2t 2S甲 2S乙 第二次-第三次相遇 2s 2t 2S甲 2S乙 甲、乙两人在长30米的泳池内,甲每分钟游37.5米,乙每分钟游52.5米。两人同时分别从泳池的两端出发,触壁后原路返回,如是往返。如果不计算转向的时间,则从出发开始计算的1分钟50秒内两人共相遇了多少次?
A. 5 B. 2 C. 4 D. 3
答案:D,第一次相遇用时:30/(37.5+52.5)=20秒,第二次相遇用时:40秒,第三次相遇用时:40秒,第四次相遇用时:40秒。110=20+40+40+10,所以相遇3次。
倒推问题:
? 有甲乙丙三堆糖共98个,小张先从甲堆里取出一部分给乙、丙堆,使两堆糖的个数各
增加1倍;再从乙堆里取出一部分给甲、丙堆,使两堆糖的个数各增加1倍;最后从丙堆里取出一部分给甲、乙堆,也使两堆糖的个数各增加1倍。结果丙堆糖的个数是甲堆糖的个数的1.25倍 ,是乙堆糖的个数的15/22。那么三堆糖中原来最多的一堆有( )个 A. 44 B. 52 C. 60
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D. 64 答案:B
浓度问题:
十字交叉法:在浓度问题中,不同浓度的两种溶液混合得到的混合溶液的浓度,实质上是计算加权平均数。例如,有浓度为a%的盐水x克,与浓度为b%的盐水y克,混合之后的浓度为c%。x/y=(c-b)/(a-c).这里的平均值可以是浓度、产量、价格、利润、增长率、速度等等。涉及到两个平均数的加权平均数都可以采用十字交叉法。
容斥问题:
加大圈-减中圈-小圈加减看前面+圈外
十个男人七个傻八个呆九个坏,既傻又呆又坏的男人最多有多少?最少有多少? 最多:7
既傻又呆:5 7+8-x+y=10 x最小=5 既傻又呆又坏: 5+9-x+y=10 x最小=4 三者容斥:三者相加-2*总数=最少的情况 四者容斥:四者相加-3*总数=最少的情况
计算问题:
充分利用数字特性:整数特性(出现分数和百分数的方程都要考虑数字的整数特性)/奇偶特性/质和特性/尾数特性/枚举法
整数特性:
某公司去年有员工830人,今年男员工人数比去年减少60%,女员工人数比去年增加5%,员工总数比去年增加3人。问今年男员工有多少人?
A. 329 B. 350 C. 371 D. 504
答案:A。列方程: x+y=830,94/100*x+105/100*y=833,所以x一定是47的倍数。
质数特性:
某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师,培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人平均地分给各个老师带领,刚好能够分完,且每位老师所带的学生数量都是质数,后来由于学生人数减少,培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师,但每名
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教师所带的学生数量不变,那么目前培训中心还剩下学员多少人?
A. 36 B. 37 C. 39 D. 41
答案:D。列方程:5x+6y=76,4x+3y=? 因为76为偶数,6x必然为偶数,所以5x也必须为偶数,所以x必须为偶数;根据题目x必须是质数,所以x=2
尾数特性:
超市将99个苹果装进两种包装盒,大包装盒每个装12个苹果,小包装盒每个装5个苹果,共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?
A. 3 B. 4 C. 7 D. 13
答案:D。列方程:12x+5y=99,x+y〉10,5y的尾数必然为5或者0,所以12x的尾数必然为4或者9,因为12x的尾数不可能为9,所以12x的尾数为4,所以x=2
倍数特性:
某汽车厂离生产甲、乙、丙三种车型,其中乙型产量的3倍与丙型产量的6倍之和等于甲型产量的4倍,甲型产量与乙型的2倍之和等于丙型产量的7倍。则甲、乙、丙三型产量之比为:
A. 5:4:3 B. 4:3:2 C. 4:2;1 D. 3:2:1
答案:D 列方程:3y+6z=4x,2(x+y)=7z,根据第一个方程,3(y+2z)=4x,所以x一定是3的倍数,所以选D
一个图书馆里有科技术和文学书两种类型,首先拿走25本科技书,剩下的文学书占剩下书的4/7,又拿走42本文学书,剩下的科技书占所剩书的5/7,问:最开始文学书占总共书的几分之几?
A. 3/7 B. 6/13 C. 1/3 D. 2/7 答案:B,抓住不变的科技书的比例变化:第一次科技书占3/7,第二次占5/7,前后两次比例为3:5,而这2份的变化则是拿走42本文学书导致的,所以每份是21本书。所以第一次剩下的文学书为21*5=105本,最开始则有105+25=130本,所以分母一定是130约数。
化归思想:
有一楼梯共10级,如规定每次只能跨上一两级,要登上第10级,共有多少种不同走法?
A. 89 B. 55 C. 34
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D. 78
答案:1级1种,2级2种,3级3级,4级5种。1,2,3,5,和数列。 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89
到达第十级只能通过第9级或者第8级,所以是前两者的方法数之和。
遇到大数,先从小数看起;遇到复杂问题,先从简单问题看起,再依次找到规律。 常用的数学思想:数学归纳,数形结合,猜证结合,化归转化。
同属分堆问题:隔板法
某单位订阅了6份学习材料发放给3个部门,每个部门至少发放一份材料。问一共有多少种不同的发放方法?
A. 7 B. 9 C. 10 D. 12 答案:C.五个空插板两个=10
某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门,每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法?
A. 7 B. 9 C. 10 D. 12
答案:先给每个部门发8份材料,还剩6份材料分给每个部门,和上面一题一样。
总结分析问题:
小赵、小钱、小孙一起打羽毛球,每局两人比赛,另一人休息。三人约定每一局的输方下一局休息。结束时计算了一下,小赵休息了2局,小钱共打了8局,小孙共打了5局,则参加第9局比赛的是:
A. 小赵和小钱 B. 小赵和小孙 C. 小钱和小孙 D. 以上皆有可能 答案:A
小赵休息了两局,则说明小钱和小孙共打了2局。 小钱和小孙 2(小赵休息2局)
小赵和小钱 6(小孙休息6局,8-2) 小赵和小孙 3(小钱休息3局,5-2)
一共打了6+3+2=11局。其中小孙休息了6局,但是不能连续两次休息,所以他的休息次数必然为1,3,5,7,9,11.所以第11局休息的是小孙。
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