分数列项

裂项求和

裂项求和与倒序相加、错位相减、分组求和等方法一样，是解决一些特殊数列的求和问题的常用方法.这些独具特点的方法,就单个而言,确实精巧, 例子：

求和：1/2+1/6+1/12+1/20

＝1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)

＝（1－1/2）+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5) ＝1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5 ＝1-1/5=4/5

在裂项求和中最常见的是已知an（数列）求和。一般在高二数学中存有，是一类规律性题目。

一、基本概念：

1、 数列的定义及表示方法： 2、 数列的项与项数：

3、 有穷数列与无穷数列：

4、 递增（减）、摆动、循环数列： 5、 数列{an}的通项公式an 6、 数列的前n项和公式Sn:

7、 等差数列、公差d、等差数列的结构： 8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：

二、基本公式：

9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= a1+a2+a3+?+an

10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

11、等差数列的前n项和公式：Sn= ：（a1+an）×n÷2 或Sn=na1+n(n-1)d÷2 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，Sn= Sn=

三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等差数列。

15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则 17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等比数列。

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18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。 19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{an bn}、 、 仍为等比数列。

20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的设法：a/q3,a/q,aq,aq3（公比为q2） 24、{an}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。

25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。 26. 在等差数列 中： （1）若项数为 ，则

（2）若数为 则， ， 27. 在等比数列 中： （1） 若项数为 ，则 （2）若数为 则，

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。

28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

31、倒序相加法求和：如an=

32、求数列{an}的最大、最小项的方法： ① an+1-an=?? 如an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=

33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)当 >0,d<0时，满足 的项数m使得 取最大值. (2)当 <0,d>0时，满足 的项数m使得 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

裂项

只要记住一个（a±b）/a×b=1/a ± 1/b

多做题掌握技巧即可，万变不离其踪，都是这个公式的拓展。 列项求和的推算

推荐答案 裂项法 裂项法求和

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这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) 例：

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] 例：

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] 例：

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b) 例：

（5） n?n!=(n+1)!-n! 例：

[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

解：设 an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）

则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和） ＝ 1-1/(n+1) ＝ n/(n+1)

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意： 余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的。 2余下的项前后的正负性是相反的。

一、基本概念

1、 数列的定义及表示方法：按一定次序排列成的一列数叫数列 2、 数列的项an与项数n

3、 按照数列的项数来分,分为有穷数列与无穷数列

4、 按照项的增减规律分为：递增数列,递减数列,摆动数列和常数列 5、 数列的通项公式an 6、 数列的前n项和公式Sn

7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：an=a1+(n-1)d 8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：an=a1?q^(n-1) 二、基本公式：

9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= Sn-Sn-1

10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。 11、等差数列的前n项和公式：Sn=a1?n+1/2?n?(n+1)?d

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当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

12、等比数列的通项公式： an= a1?q^(n-1) an= ak?q^(n-k) (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，Sn=a1?(q^n-1)/(q-1) 三、有关等差、等比数列的结论

14、等差数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。

15、等差数列中，若m+n=p+q，则 am+an=ap+aq 16、等比数列中，若m+n=p+q，则 am?an=ap?aq

17、等比数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。

18、两个等差数列与的和差的数列{an+bn}仍为等差数列。 19、两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列 {an?bn}、{an/bn} 、{1/(an?bn)} 仍为等比数列。

20、等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；

四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3

四、数列求和的常用方法：

公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构) 24、分组法求数列的和：如an=2n+3n 25、错位相减法求和：如an=n?2^n 26、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 27、倒序相加法求和：如an= n

28、求数列的最大、最小项的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)

29、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)当 a1>0,d<0时，满足的项数m使得Sm取最大值. (2)当 a1<0,d>0时，满足的项数m使得Sm取最小值. 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

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