电磁场与微波技术答案 李媛 李久生第三章

重庆大学光电学院

电磁场与微波技术答案李媛李久生第三章

3-3电荷均匀分布于两平行的圆柱面间的区域中，体密度为?，两圆柱半径分别为a和b，轴线相距c，a＋c? b，如图题2－4所示。求空间各区域的电场强度。 解

设D1和D2分别为半径a的均匀带电圆柱和半径b的均匀带电

barr'PCba圆柱对P点产生的电通量密度，则总电通量密度D?D1?D2。设P点距两圆柱轴心分别为r和r'。 r?b时，由高斯定理

?b2?b2r?0E12?r???b?E1??E1?

2?0r2?0r22??a2??a2r'' ?0E2?r????a?E??E1?2?0r''2?0r'2'1'2'1?b2r?a2r' ??E?E1?E?2'22?0r2?0r'1r?b,r'?a时，由高斯定理

?0E22?r???r2?E2??r?r ?E2?2?02?0??a2??a2r''?0E2?r????a?E??E2?''2?0r2?0r'2

'2'2'2?r?a2r'E?E2?E??2?02?0r'2

'2r,?a时，由高斯定理

?0E32?r???r2?E3?''?0E32?r'????r'2?E3??r?r ?E3?2?02?0??r'??r'?E'3?2?02?0

E?E3?E'3??r??r'???C 2?02?02?03-4题

3-5两个无限长的同轴圆柱半径分别为r?a和r?b(b?a)，圆柱表面分别带有密度为?1和?2的面电荷。（1）计算各处的电位移D0；（2）欲使r?b区域内D0?0，则?1和

?2应具有什么关系？

解（1）由高斯定理

??D?dS?q，当r?a时，有D0S01?0

当a?r?b时，有2?rD02?2?a?1，则D02?era?1 ra?1?b?2 r当b?r??时，有2?rD03?2?a?1?2?b?2，则D03?er?1ba?1?b?2???0，则得到 （2）令D03?er?2ar

3-13平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度(0~d)2用介电常数为?的电介质填充，如题4.3图所示。

(1) (1) 板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；

(2) (2) 若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷； (3) (3) 求电容器的电容量。

解（1）设介质中的电场为E?ezE，空气中的电场为E0?ezE0。由D?D0，有

z 又由于Ed2d2?E??0E0

dd?E0??U0 22 U0

? 题4.3图

由以上两式解得

E??2?0U02?U0E?? ，0(???0)d(???0)d2?0?U0

(???0)d故下极板的自由电荷面密度为

?下??E??2?0?U0

(???0)d2?0(???0)U0P?(???)E??e 电介质中的极化强度0z(???0)d2?0(???0)U0???e?P? 故下表面上的束缚电荷面密度为p下z(???0)d2?0(???0)U0??e?P?? 上表面上的束缚电荷面密度为p上z(???0)d2?0?UQ??? （2）由

ab(???0)d(???0)dQU? 得到

2?0?ab(???0)Q 故?p下??ab上极板的自由电荷面密度为?上???0E0??p上??(???0)Q?ab

四章习题解答

4.1真空中直线长电流I的磁场中有一等边三角形回路，如题5.1图所示，求三角形回路内的磁通。

解根据安培环路定理，得到长直导线的电流I产生的磁场

zB?e?0I ?2?r 穿过三角形回路面积的磁通为

I b ???B?dS??d?3b2zd?3b20I2x?0xd0??zxdx d x

S2??[?dz]d?IddS 由题5.1图可知，z?(x?d)tan??d6?x3，故得到 d?3b2题 5.1 图

???0I3??x?d?Ibddxdx?0?[2?3ln(1?3b2d)] 4.2通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题5.2图

所示。计算各部分的磁感应强度B，并证明腔内的磁场是均匀的。

解将空腔中视为同时存在J和?J的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内，另一个电流密度为?J、均匀分布在半径为a的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。

由安培环路定律

??B?dl??0I，可得到电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内

C???0的电流产生的磁场为B??2J?rbrb?bb? ??0b2J?rbJrbra?22rb?b a?rbod b o a 电流密度为?J、均匀分布在半径为a的圆柱内的电流产生的磁场为

b 题5.2图

??0??2J?rara?a?Ba?? 2?aJ?ra??0ra?a2?2ra?这里ra和rb分别是点oa和ob到场点P的位置矢量。

将Ba和Bb叠加，可得到空间各区域的磁场为

?b2a2?J??2rb?2ra?(rb?b) 圆柱外：B?2ra??rb??0a2?J??rb?2ra?(rb?b,ra?a) 圆柱内的空腔外：B?2ra???0?J??rb?ra??0J?d(ra?a) 空腔内：B?22式中d是点和ob到点oa的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。

4.3下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量J。 (1) H?erar,B??0H（圆柱坐标） (2) H?ex(?ay)?eyax,B??0H

?0(3) H?exax?eyay,B??0H (4) H?e?ar,B??0H（球坐标系）

解根据恒定磁场的基本性质，满足??B?0的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则，不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量，则可由J???H求出源分布。

（1）在圆柱坐标中??B?该矢量不是磁场的场矢量。 （2）??B?1?1?(rBr)?(ar2)?2a?0 r?rr?r??(?ay)?(ax)?0 ?x?yex?该矢量是磁场的矢量，其源分布为J???H??x?ay????B?(ax)?(?ay)?0 （3）

?x?yex该矢量是磁场的场矢量，其源分布为J???H?ey??yaxez??ez2a ?z0eyez????0

?x?y?zax?ay01?B?1??(ar)?0 （4）在球坐标系中??B?rsin???rsin???该矢量是磁场的场矢量，其源分布为

er1?J???H?2rsin??r04.4

re????0rsin?e???eractag??e?2a ??ar2sin?

5．5如题5.12图所示，一环形螺线管的平均半径r0?15cm，其圆形截面的半径a?2cm，鉄芯的相对磁导率?r?1400，环上绕N?1000匝线圈，通过电流I?0.7A。

（1）计算螺旋管的电感； （2）在鉄芯上开一个l0?0.1cm的空气隙，再计算电感。（假设开口后鉄芯的?r不变） （3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。

解（1）由于a??r0，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。由安培环路定律，可得螺旋管内的磁场为H?与螺线管铰链的磁链为??NS?H?故螺线管的电感为

NI 2?r0?a2N2I2r0

a o l0 r0 L??I??a2N22r01400?4??10?7?0.022?10002??2.346H

2?0.15（2）当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘效应，则在空气隙与鉄芯的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件，有B0?B??B，但空气隙中的磁场强度H0与铁芯中的磁场强度H?不同。根据安培环路定律，有

I 题5.12图

H0l0?H?(2?r0?l0)?NI

又由于B0??0H0、B???0?rH?及B0?B??B，于是可得B??0?rNI

?rl0?(2?r0?l0)??0?ra2N2I 所以螺线管得磁链为??NSB??rl0?(2?r0?l0)故螺线管得电感为

??0?ra2N24?2?10?7?1400?0.022?10002L????0.944H

I?rl0?(2?r0?l0)1400?0.001?2???0.15?0.001?（3）空气隙中的磁场能量为Wm0?鉄芯中的磁场能量为Wm??1?0H02Sl0 2Wm0故Wm?

12?0?rH?S(2?r0?l0) 2?rl01400?0.001???1.487 2?r0?l02??0.15?0.001

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