大学数学习题二答案

习题二

1． 设s?ds12gt，求

dt2.

t?2解：

dsds?2g. ?gt，故

dtt?2dt1，求f?(x0)x02．(1) 设f(x)?(x0?0);

解：f?(x0)?f?(x)x?x??1. 2x0(2) 设f(x)?x(x?1)(x?2)???(x?n),求f?(0).

解：

f?(0)?limf(x)?f(0)?lim(x?1)(x?2)???(x?n)x?0x?0 x?0?(?1)nn!3. 试求过点(3，8)且与曲线y?x2相切的直线方程.

解：曲线上任意一点(x,y)处的切线斜率为k?2x.因此过(3，8)且与曲线相切的直线方程

为：y?8?2x(x?3)，且与曲线的交点可由方程组解得?为(2，4)，(4，16)即为切点. 故切线方程为：y?4?4(x?2),?y?8?2x(x?3) 2y?x?y?16?8(x?4).

4．下列各题中均假定f?(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么.

f(x0??x)?f(x0)?A;

?x?0?xf(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)??lim??f?(x0) 解：?lim?x?0?x?0?x??x(1) lim故A??f?(x0) (2) f(x0)?0,limx?x0f(x)?A; x0?x 30

解：limf(x)xx??limf(x)x?xx??f?(x00)

0?x?x00?x故A??f?(x0) (3) limf(x0?h)?f(x0?h)h?0h?A.

解：

limf(x0?h)?f(x0?h)?f(x0?h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)?h?0h?limh?0??h?h???limf(x0?h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)h?0h?limh?0?h?f?(x0)?f?(x0)?2f?(x0)故A?2f?(x0). 5．求下列函数的导数: (1) y?x;

解：y??12x

(2) y?13x2;

???2?5解：y3x3

2(3) y?x?3x2x5; 1解：y?x2?253?2?x6

??16x?5y6.

6．讨论函数y?3x在x?0点处的连续性和可导性. 解：lim3x?0x?0?f(0),故函数在x?0处连续.

3又limx?0?2x?0x?0?limx?0x3??,故函数在x?0处不可导. 7. 如果f(x)为偶函数，且f?(0)存在，证明：f?(0)?0.

31

证明：

f?(0)??limf(?x)?f(0)x?0?x??limf(??x)?f(0)x?0?x

???limf(??x)?f(0)x?0??x??f?(0),故f?(0)?0.

8．求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导. (1) y???sinx,x?0,?x3,x?0,x0?0;

证明：ff(x)?f(0)??(0)?xlim?0?x?0?xlimsinx?0?x?1, ff(x)?f(0)x3??(0)?limx?0?x?0?xlim?0?x?0,

因f??(0)?f??(0)，故函数在x0?0处不可导.

?(2) y??x?1?e1,x?0,xx?0?0;

?0,x?0,证明：ff(x)?f(0)??(0)?xlim?0?x?0?lim1?0?1?e1?0, xxff(x)?f(0)??(0)?limx?0?x?0?lim11?e1?1, x?0?x因f??(0)?f??(0)，故函数在x0?0处不可导.

(3) y????x,x?1,??x2,x?1,x0?1.

证明：ff(x)?f(1)??(1)?limx?1?x?1?limx?1x?1?x?1?12, ?limf(x)?f(1)x?1?limx2f?1??(1)?1x?1?2, x?1?x?因f??(1)?f??(1)，故函数在x0?1处不可导.

32

9．已知f(x)???sinx,?x,x?0,求f?(x). x?0,解：当x?0时，f?(x)?cosx,

当x?0时，f?(x)?1, sinx?0x?0当x?0时，f??(0)?limx?0?x?0?1, f??(0)?xlim?0?x?0?1,

故f?(0)?1.

综上所述知f?(x)???cosx,x?0,?1,x?0.

)???x210．设函数f(x,x?1,?ax?b,x?1.

为了使函数f(x)在x?1点处连续且可导，a,b应取什么值？

解：因lim2x?1?f(x)?limx?1?x?1?f(1) xlim?1?f(x)?lim(x?1?ax?b)?a?b 要使f(x)在x?1处连续，则有a?b?1,

又ff(x)?f(1)??(1)?limx?1?x?1?limx2?1x?1?x?1?2, fax?b?1ax?a??(1)?limx?1?x?1?limx?1?x?1?a, 要使f(x)在x?1处可导，则必须f??(1)?f??(1)，

即a?2.故当a?2,b??1时，f(x)在x?1处连续且可导. 11. 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性: (1) y?sinx,x?0;

解：因为limx?0y?0?yx?0,所以此函数在x?0处连续.

又ff(x)?f(0)??(0)?lim0?x?0?lim?sinxx?0?x??1,

x?ff(x)?f(0)sinx??(0)?xlim?0?x?0?xlim?0?x?1, f??(0)?f??(0)，故此函数在x?0处不可导.

33

1?2xsin,x?0,?(2) y?? x?0; x? x?0,?0,1?0?y(0),故函数在x?0处连续.

x?0x1x2sinf(x)?f(0)x?0, 又y?(0)?lim?limx?0x?0x?0x故函数在x?0处可导.

解：因为limxsin2(3) y??解：因为

x?1,?x, x?1.

2?x,x?1,?limf(x)?lim(2?x)?1?x?1x?1x?1?x?1?limf(x)?limx?1?x?1

x?1?limf(x)?limf(x)?f(1)?1,故函数在x=1处连续. ?又f??(1)?lim?f(x)?f(1)x?1?lim?1

x?1x?1?x?1x?1f(x)?f(1)2?x?1f??(1)?lim?lim??1 ?x?1?x?1x?1x?1f??(1)?f??(1)，故函数在x=1处不可导.

12. 证明：双曲线xy?a上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a.

证明：在双曲线上任取一点M(x0,y0),

22a2a2则y?, y???2, y?xxx?0a2??2，

x0a2则过M点的切线方程为：y?y0??2(x?x0)

x02x0y0x0a2令y?0?x?2?x0?2?x0?2x0

aa得切线与x轴的交点为(2x0,0)，

xya2令x?0?y??y0?00?y0?2y0

x0x0得切线与y轴的交点为(0,2y0)，

34

故 S??12x02y0?2x0y0?2a2. 212gt(m),求： 213. 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为：h(t)?10t?⑴ 物体从t=1(s)到t=1.2(s)的平均速度：

1112?g?1.44?10?gh(1.2)?h(1)22??0.78 (m?s?1) 解：v??1.2?10.2⑵ 速度函数v(t)； 解：v(t)?h?(t)?10?gt. ⑶ 物体何时到达最高. 解：令h?(t)?10?gt?0,得t?10 (s), g即物体到达最高点的时刻为t?10 s. g???(t).14. 设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0,t]内，转过角度?，从而转角?是t的函数：

如果旋转是匀速的，那么称??定该物体在时刻t0的角速度？

解：设此角速度值为?,则

?t为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确

??lim?(t0??t)??(t0)?t?t?0???(t0).

?15. 设Q?Q(T)表示重1单位的金属从0C加热到T?C所吸收的热量，当金属从T?C升温到(T??T)?C时，所需热量为?Q?Q(T??T)?Q(T),?Q与?T之比称为T到

T??T的平均比热，试解答如下问题：

⑴ 如何定义在TC时，金属的比热； 解：??lim?Q(T??T)?Q(T)?Q?(T)

?T?0?T2⑵ 当Q(T)?aT?bT(其中a, b均为常数)时，求比热. 解：??Q?(T)?a?2bT. 16. 已知f(x)在x?x0点可导，证明： limh?0f(x0??h)?f(x0??h)?(???)f?(x0).

h35

证明： limf(x0??h)?f(x0??h)h?0h

??limf(x0?ah)?f(x)0f(x?0?h)?f(xh?0?h??lim)h 0h?0?? ??f?(x0)??f?(x0)?(???)f?(x

0).17. 求下列函数的导数： ⑴ S?3lnt?sinπ7; 解：S??3t ⑵ y?xlnx;

解：y??12xlnx?x?1x?12x(lnx?2) ⑶ y?(1?x2)?sinx?(1?sinx); 解：

y??2xsinx(1?sinx)?(1?x2)cosx(1?sinx)?(1?x2)sinx(?cosx) ?2xsin2x?2xsinx?cosx?x2cosx?sin2x?x2sin2x⑷ y?1?sinx1?cosx;

解：y???cosx(1?cosx)?(1?sinx)sinx1?(1?cosx)2?sinx?cosx(1?cosx)2 ⑸ y?tanx?eπ; 解：y??sec2x

⑹ y?secxx?3secx; 解：y??xsecxtanx?secxx2?3secxtanx ⑺ y?lnx?2lgx?3log2x;

解：y??1x?211123ln10?x?3?ln2?x?x(1?ln10?1n2) ⑻ y?11?x?x2.

36

解：y???(1?2x) 22(1?x?x)18. 求下列函数在给定点处的导数： ⑴ y?xsinx?1dycosx,求2dx；

πx?4解：y??sinx?xcosx?11sinx?sinx?xcosx 221πππ2πy?x?π?sin?cos?(1?)

24444243x2?,求f?(0)和f?(2)； ⑵ f(x)?5?x5解：f?(x)?32?x

(5?x)25317 f?(2)? 2515 f?(0)?⑶ f(x)???5x?4, x?1,?4x?3x, x?1,2求f?(1).

2f(x)?f(1)4x?3x?1?lim?5 解：f??(1)?lim?x?1?x?1x?1x?1 f??(1)?lim?x?1f(x)?f(1)5x?4?1?lim?5 x?1?x?1x?1 故f?(1)?5.

19. 设p(x)?f1(x)f2(x)?fn(x)?0，且所有的函数都可导，证明：

fn?(x)p?(x)f1?(x)f2?(x)????? p(x)f1(x)f2(x)fn(x)证明：

p?(x)1?2)?fn(x)???f(x)1??[f1?(x)f(f(x)?2x)?fn(x)?f(x1)f(x2fn(x)]p(x)p(x) ?f1?(x)f1(x)?f2?(x)f2(x)???fn?(x)fn(x).

20. 求下列函数的导数：

⑴ y?e; ⑵ y?arctanx;

3x2 37

⑶ y?e2x+1; ⑷ y?(1?x2)?ln(x?1?x2);

⑸ y?x2?sin1x2； ⑹ y?cos2ax3（a为常数）； ⑺ y?arccos1x； ⑻ y?(arcsinx22)；

⑼ y?1?ln2x; ⑽ y?sinnx?cosnx； ⑾ y?1?x?1?x1?x?1?x; ⑿ y?arcsin1?x1?x；

⒀ y?lncosarctan(sinhx)；

⒁ y?x2a22a?x2?2arcsinxa (a?0为常数）. 解：⑴ y??3e3x;

⑵ y??2x1?x4; ⑶ y??e2x+1?112x+122x?1?2?2x?1e;

⑷ y??2x?ln(x?1?x2)?(1?x2)?1xx?1?x2?(1?221?x2)

?2xln(x?1?x2)?1?x2; ⑸ y??2xsin1x2?x2cos12x2?(?x3) ?2xsin121x2?xcosx2；

⑹ y??2cosax3?(?sinax3)?3ax2??3ax2sin2ax3；

⑺ y??1?(?1x?1?(1)2x2)?x2； x2?1x2arcsinx⑻ y??2arcsinx12??122?；

1?(x4?x22)2 38

⑼ y??121?ln2x?2lnx?1lnx; ?2xx1?lnx⑽ y??nsinn?1x?cosxcosnx?sinnx(?sinnx)?n?nsinn?1x?cos(n?1)x； ⑾

111?1?)(1?x?1?x)?(1?x?1?x)(?)21?x21?xy??21?x21?x( (1?x?1?x)2 ?11?x2?1?x2;⑿ y??1?1??(1?x)?(1?x)?11?1?x1?x(1?x)2?(1?x)2x(1?; 1?x2x)1?x⒀ y??1cosarctan(sinhx)?[?sinarctan(sinhx)]?11?(sinhx)2?coshx??tanhx；⒁ y??12a2?x2?x2?12a2?x2?(?2x)?a2112??a2?x2 .

1?(x)2aa21. y?arccosx?33?26?xx,求y?x?3.

解： y???1?1?1?x?(6?x)1?(x?32?236x2 3)2?xx y?x?3?13 22. 试求曲线y?e?x?3x?1在点（0，1）及点（－1，0）处的切线方程和法线方程.

解：y???e?x?3x?1?e?x?1(x?1)?233

y?x?0??23. y?x??1??

故在点（0，1）处的切线方程为：

y?1??23(x?0)，即2x?3y?3?0 法线方程为：y?1?23(x?0)，即3x?2y?2?0

39

在点（－1，0）处的切线方程为：x??1

法线方程为：y?0

23. 设f(x)可导，求下列函数y的导数

dydx： ⑴ y?f(x2) 解：y??2xf?(x2)

⑵ y?f(sin2x)?f(cos2x)

解：y??2sinxcosxf?(sin2x)?2cosx(?sinx)f?(cos2x) ?sin2x[f?(sin2x)?f?(cos2x)] 24. 求下列隐函数的导数：

⑴ x3?y3?3axy?0； ⑵ x?yln(xy)；

⑶ xey?yex?10； ⑷ ln(x2?y2)?2arctanyx；⑸ xy?ex?y

解：⑴ 两边求导，得：

3x2?3y2?y??3ay?3axy??0

y??ay?x2解得y2?ax.

⑵ 两边求导，得：

1?y?ln(xy)?y?1xy(y?xy?) 解得 y??x?yx(lnx?lny?1).

⑶ 两边求导，得：

ey?xey?y??y?ex?yex?0

y?=?ey?yex解得 xey?ex. ⑷ 两边求导，得：

40

1x2?y2?(2x?2yy?)?2?1y?x?y1?(y?2x2 x) 解得 y?=x?yx?y. ⑸ 两边求导，得：

y?xy??ex?y(1?y?)

解得 y?=ex?y?yx?ex?y.

25. 用对数求导法求下列函数的导数： ⑴ y?x?2?(3?x)4(x?1)5;

解：y??y?(lny)??y?[12ln(x?2)?4ln(3?x)?5ln(x?1)]?

?x?2?(3?x)4(x?1)5[12(x?2)?43?x?5x?1]⑵ y?(sinx)cosx; 解：

y??y(lny)??y?(cosxlnsinx)? ?y[(?sinx)lnsinx?cosx?1sinx?cosx] 2 ?(sinx)cosx(cosxsinx?sinxlnsinx)⑶ y?e2x(x?3)(x?5)(x?4).

解：

y??y(lny)??y[2x?ln(x?3)?112ln(x?5)?2ln(x?4)]? ?e2x(x?3)

(x?5)(x?4)[2?1x?3?12(x?5)?12(x?4)].26. 求下列参数方程所确定的函数的导数

dydx： ⑴ ??x?acosbt?bsinat, (a,b为常数)

?y?asinbt?bcosat,

41

解：

dydydtabcosbt?absinat??dxdx?absinbt?abcosat

dtcosbt?sinat ?cosat?sinbt⑵ ?解：

?x??(1?sin?),

?y??cos?.dydyd?cos???sin?cos???sin? ???dxdx1?sin???(?cos?)1?sin???cos?d??x?etsint,πdy?t?27. 已知?求当时的值. tdx3??y?ecost,解：

dydydtetcost?etsintcost?sint ??t?tdxdxesint?ecostsint?costdtππcos?sindy33?3?2.

π?dxt?3sinπ?cosπ3328. 设f(x)?x?a?(x),其中a为常数，?(x)为连续函数，讨论f(x)在x?a处的可导性.

解：

f(x)?f(a)(x?a)?(x)?lim???(a)x?ax?ax?ax?a.

f(x)?f(a)(a?x)?(x)f??(a)?lim??lim????(a)x?ax?ax?ax?af??(a)?lim?故当?(a)?0时，f(x)在x?a处可导，且f?(a)?0 当?(a)?0时，f(x)在x?a处不可导.

229. 已知f(x)?max{x,3}，求f?(x).

42

)??解：f(x??3, x?3 ??x2

, x?3 当x?3 时，f?(x)?0, 当x?3 时，f?(x)?2x,

fx2?3??(?3)?lim?x?3?lim?(x?3)??23x??3x??3f3?3

??(?3)?lim??3?x?3?0,x故f?(?3)不存在.

flim3?3??(3)???0,又 x?3x?3flimx2?3??(3)???3?lim?(x?3)?23,x?3xx?3故f?(3)不存在. 综上所述知

f?(x)????0, x?3. ??2x, x?3130. 若f(1x)?ex?x，求f?(x).

解：令

1x?t，则 11f(t)?et?t,即f(x)?ex?x

1f?(x)?ex?x(1?1x2). 31. 若f?(π3)?1,y?f(arccos1)，求

dyxdxx?2.

解：

dy1dx?f?(arccos1x)(?)?(?11?(1)2x2)x

dydxx?2?f?(π3)411213?4?4?3?23.

43

32. 求函数y?解：

11?xln的反函数x??(y)的导数. 21?x1y?[ln(1?x)?ln(1?x)]2

dy1111?(?)?dx21?x1?x1?x2故反函数的导数为：

dx1??1?x2. dydydx33. 已知y?f(x)的导数f?(x)?2x?1，且f(?1)?1，求y?f(x)的反函数22(1?x?x)x??(y)的导数??(1).

解：?y?1时x??1,

1(1?x?x2)2故??(y)?, ?f?(x)2x?1[1?(?1)?(?1)2]2从而??(1)???1.

2?(?1)?134. 在括号内填入适当的函数，使等式成立：

⑴ d( )?costdt； ⑵ d( )?sin?xdx; ⑶ d( )?⑸ d( )?1dx； ⑷ d( )?e?2xdx; 1?x1dx; ⑹ d( )?sec23xdx； x1xlnxdx; ⑻ d( )?dx.

2x1?x⑺ d( )?解：

⑴ ?(sint)??cost ?d(sint?C)?costdt. ⑵ ?(?1?cos?x)???1??(?sin?x)?sin?x

44

?d(?1?cos?x?C)?sin?xdx.

⑶ ?[ln(1?x)]??11?x ?d[ln(1?x)?C]?11?xdx. ⑷ ?(?1e?2x)???1?(?2)e?2x=e?2x22 ?d(?12e?2x?C)?e?2xdx.

⑸ ?(2x)??2?12x=1x ?d(2x?C)?1xdx. ⑹ ?(1tan3x)??133?sec23x?3?sec23x ?d(1tan3x?C)?sec233xdx. ⑺ ?(12ln2x)??1112?2lnx?x?xlnx

?d(12ln2x?C)?1xlnxdx.

⑻ ?(?1?x2)???121?x2?(?2x)?x1?x2

?d(?1?x2?C)?x1?x2dx.

35. 根据下面所给的值，求函数y?x2?1的?y,dy及?y?dy：

⑴ 当x?1,?x?0.1时； 解：

?y?(x??x)2?1?(x2?1)?2x?x??x2?2?1?0.1?0.12?0.21dy?2x??x?2?1?0.1?0.2. ?y?dy?0.21?0.2?0.01.⑵ 当x?1,?x?0.01时. 解：

45

?y?2x?x??x2?2?1?0.01?0.012?0.0201dy?2x??x?2?1?0.01?0.02 ?y?dy?0.0201?0.02?0.0001.36. 求下列函数的微分：

⑴ y?xex； ⑵ y?lnxx； ⑶ y?cosx； ⑷ y?5lntanx；

⑸ y?8xx?6e2x； ⑹ y?arcsinx?(arctanx)2. 解：

⑴ dy?(xex)?dx?ex(1?x)dx；

1⑵ dy?(lnxx)?dx?(x?x?lnxx2)dx?1?lnxx2dx； ⑶ dy?(cosx)?dx?(?sinx)?12xdx??12xsinxdx；

⑷ dy?(5lntanx)?dx?(ln5?5lntanx?1tanx?sec2x)dx ?2ln5?5lntanx?1sin2xdx； ⑸ dy?(8xx?6e2x)?dx?[8xx(1?lnx)?12e2x]dx； ⑹

dy?[arcsinx?(arctanx)2]?dx?[12arcsinx?11?x2?2arctanx?11?x2]dx.；37. 求由下列方程确定的隐函数y?y(x)的微分dy：

⑴ y?1?xey； ⑵ x2y2a2?b2?1；

⑶ y?x?12siny； ⑷ y2?x?arccosy. 解：⑴ 对等式两端微分，得 dy?eydx?xd(ey) 即dy?eydx?xeydy

于是dy?ey1?xeydx.

46

⑵ 对等式两端微分，得

1a2?2xdx?1b2?2ydy?0 得dy??b2xa2ydx.

⑶ 对等式两端微分，得 dy?dx?12cosydy 解得dy?22?cosydx.

⑷ 对等式两端微分，得

2ydy?dx??11?y2dy

2解得dy?1?y1?2y1?y2dx.

38. 利用微分求下列函数的近似值：

⑴

38.1； ⑵ ln0.99；

⑶ arctan1.02.

解：⑴ 利用近似公式31?x?1?13x，有 38.1?38(1?11180)?231?80?2?(1?3?180)?2.0083. ⑵ 利用近似公式ln(1?x)?x，有

ln0.99?ln(1?0.01)??0.0100.

⑶ 取f(x)?arctanx，令x0?1,?x?0.02， 而f?(x)?11?x2，则 arctan1.02?arctan1?11?12?0.02 =0.7954.39. 设a?0，且b与an相比是很小的量，证明：

nan?b?a?bnan?1. 47

证明：利用近似公式n1?x?1?1nx，有 nan?b?an1?ban?a(1?1n?bban)?a?nan?1. 40. 利用一阶微分形式的不变性，求下列函数的微分，其中f和?均为可微函数：

⑴ y?f[x3??(x4)]； ⑵ y?f(1?2x)?3sinf(x). 解：⑴ dy?f?[x3??(x4)]d[x3??(x4)] =f?[x3??(x4)][3x2?4x3??(x4)]dx ⑵ dy?df(1?2x)?3dsinf(x)

=f?(1?2x)d(1?2x)?3cosf(x)df(x) ?f?(1?2x)(?2)dx?3cosf(x)f?(x)dx

?[?2f?(1?2x)?3cosf(x)f?(x)]dx.41. 求下列函数的高阶微分：

⑴ y?1?x2，求d2y； ⑵ y?xx，求d2y； ⑶ y?x?cos2x，求d10y； ⑷ y?x3?lnx，求dny； ⑸ r2?cos3??a2sin3??0(a为常数)，求d2r. 解：⑴ dy?(1?x2)?dx?x1?x2dx,

3 d2y?(x2)?21?x2)?dx?(1?xdx2.

⑵ y??y(lny)??y(xlnx)??xx(1?lnx). y???xx[(1?lnx)2?1x],

故 d2y?xx[(1?lnx)2?1]dx2x (x?0). ⑶ 由莱布尼兹公式，得

d10y?(xcos2x)(10)dx1010?[?Ci(i)10xcos(10?i)2x]dx10i?0

?[210xcos(2x?10π2)?10?29?cos(2x?92π)]dx10 ??1024(xcos2x?5sin2x)dx10.

48

⑷ 由莱布尼兹公式，得

3(n?1)3(n?2)???dny?[x3?(lnx)(n)?C1?C2n(x)?(lnx)n(x)?(lnx)3(n?3)??? ?C3]dxnn(x)?(lnx)

(n?1)!n(n?1)2n?2(n?2)!n?3(n?3)!?n?3x?(?1)???6x?(?1) nn?1n?2?[x3?(?1)n?1?xx2x +n(n?1)(n?2)6?6?(?1)n?4(n?4)!xn?3]dxn?[(?1)n?6?(n?4)!x3?n]dxn.⑸ r2?a2tan3?

两端求导，得2rr??3a2tan2??sec2??r??32atan?sec2? 等式两端再求导得

2r?2?2r?r??32a(2?ta?n2?s?ec3?4?t 2?ansec) 解得r???311?4sin2?4a?tan??cos4? 故d2r?34a?11?4sin2?2tan??cos4?d?. 42. 求自由落体运动s(t)?12gt2的加速度. 解：s?(t)?gt

s??(t)?[s?(t)]??g即为加速度. 43. 求n次多项式y?ann?10x?a1x???an?1x?an的n阶导数.

解： y(n)?(a0xn)(n)?(an?11x)(n)???(a(n)n?1x)?(an)(n)=a0(xn)(n)=a0?n!

44. 设f(x)?ln(1?x)，求f(n)(x).

解：?(lnx)(n)?(?1)n?1?(n?1)!xn ?f(n)(x)?[ln(1?x)](n)?(?1)n?1?(n?1)!(1?x)n.

45. 验证函数y?exsinx满足关系式y???2y??2y?0

证明：y??ex(sinx?cosx)

y???ex(sinx?cosx)?ex(cosx?sinx)?2cosx?ex

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1x?limxsin1?0, 又limx?0sinxx?0xx2sin 故不能使用洛必达法则.

x?sinx1?cosx?lim不存在,

x??x?sinxx??1?cosxsinx1?x?sinxx?1. 而lim?limx??x?sinxx??sinx1?x⑶ ∵lim 故不能使用洛必达法则.

ex?e?xex?e?xex?e?x?limx?x?limx?x ⑷ ∵limxx???e?e?xx???e?ex???e?e 利用洛必达法则无法求得其极限.

ex?e?x1?e?2x?lim?1. 而limxx???e?e?xx???1?e?2x故答案选（2）.

x2?mx?n?5,求常数m, n的值. 76. 设limx?1x?1x2?mx?n?5成立，则lim(x2?mx?n)?0,即1?m?n?0 解：要使limx?1x?1x?1x2?mx?n2x?m?lim?2?m?5 又limx?1x?1x?11得m?3,n??4 77. 设f(x)二阶可导，求limh?0f(x?h)?2f(x)?f(x?h). 2h解：

limf(x?h)?2f(x)?f(x?h)f?(x?h)?f?(x?h)?limh?0h?0h22h1f?(x?h)?f?(x)f?(x?h)?f?(x) ?lim[?]h?02h?h1f?(x?h)?f?(x)f?(x?h)?f?(x) ?[lim?lim]

h?0h?02h?h1 ?[f??(x)?f??(x)]2 ?f??(x). 65

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