2024年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编

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2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编

专题6：由运动产生的线段和差问题

4. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

【答案】解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，

??1?b+c=0?b=2，解得。∴抛物线的函数关系式为y??x2?2x?3。 ???4+2b+c=3c=3??设直线AC的函数关系式为y=kx+n，

由直线AC过点A（﹣1，0）及C（2，3）得

??k+n=0?k=1，解得。 ??2k+n=3n=1??∴直线AC的函数关系式为y=x+1。 （2）作N点关于直线x=3的对称点N′， 令x=0，得y=3，即N（0，3）。

∴N′（6， 3）

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由y??x2?2x?3=??x?1?+4得

D（1，4）。

设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，则

1?s=???6s+t=3?5，解得。 ???s+t=4?t=21?5?2∴故直线DN′的函数关系式为y??x?51215。 根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，

∴m???3?51215=185。

185∴使MN+MD的值最小时m的值为。 （3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）， ①当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。 ②当BD为平行四边形边时，

∵点E在直线AC上，∴设E（x，x+1），则F（x，?x2?2x?3）。 又∵BD=2 ∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。 ∴?x2?2x?3??x?1?=2，即?x2?x?2=2。

若?x2?x?2=2，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。 若?x2?x?2=?2，解得，x=1?217，∴E??1+173+17， ?22??或???E????1?172， 3?17?。 ??2??1+173+17， 综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、??2??1?173?17， ??22??。 ???- 2 -

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（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，

设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）。 ∴PQ?（?x2?2x?3）?（x?1）??x2?x?2。 ∴S?APC?S?APQ+S?CPQ?12PQ?AG

1312272。 ?（?x?x?2）?3??（x?）?2228 ∵?32<0， 12∴当x=时，△APC的面积取得最大值，最大值为278。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值。 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。 （2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′，当M

（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小。 （3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。 （4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，

x+1），则P（x，﹣x2+2x+3），求得线段PQ=﹣x2+x+2。由图示以及三角形的面积公式知

S?APC?S?APQ+S?CPQ，由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值。

5. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:y??相交于点B、 C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．

1m?x?2?(x?m)?m?0?与x 轴

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

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【答案】解：（1）∵抛物线C1过点M(2，2)，∴2??（2）由（1）得y???x?2?(x?4)。

411m?2?2?(2?m)，解得m=4。

令x=0，得y?2。∴E（0，2），OE=2。

令y=0，得0???x?2?(x?4)，解得x1=－2，x=4。

41∴B（－2，，0），C（4，0），BC=6。 ∴△BCE的面积=

1214?6?2?6。

（3）由（2）可得y???x?2?(x?4)的对称轴为x=1。 连接CE，交对称轴于点H，由轴对称的性质和两点之

间线段最短的性质，知此时BH+EH最小。 设直线CE的解析式为y?kx+b，则

1?1?4k+b=0?k=? ?，解得?2。∴直线CE的解析式为y??x+2。

2?b=2?b=2? 当x=1时，y?32。∴H（1，

32）。

（4）存在。分两种情形讨论：

①当△BEC∽△BCF时，如图所示。 则BEBC?BCBF，∴BC2=BE?BF。

由（2）知B（－2，0），E（0，2），即OB=OE， ∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。 作FT⊥x轴于点F，则BT=TF。 ∴令F（x，－x－2）（x＞0）， 又点F在抛物线上，∴－x－2=?1m?x?2?(x?m)，

∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=2m，F（2m，－2m－2）。

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此

BF?(2m?2)?(?2m?2)22时

?22（m?1），BE?22，BC?m?2，

（m?1），解得m=2±22。 又BC2=BE?BF，∴（m+2）2= 22 ?22∵m＞0，∴m=22+2。

②当△BEC∽△FCB时，如图所示。 则

BCBF?ECBC，∴BC2=EC?BF。 同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE， ∴

TFBT?OEOC?2 m2 m。

（x+2））（x＞0）， 2 m∴令F（x，－

又点F在抛物线上，∴－∵x+2＞0（∵x＞0），

（x+2）=?1m?x?2?(x?m)。 ∴x=m+2。∴F（m+2，－2 mC?m（m+4）），E4?2，BC=m+2。

4?m+4?m22又BC2=EC?BF，∴（m+2）2= 整理得：0=16，显然不成立。

m?4?2?m+2+2?2+ .

综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为

顶点的三角形与△BCE相似，m=22+2。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。

（2）求出B、C、E点的坐标，从而求得△BCE的面积。

（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对

称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。

（4）分两种情况进行讨论：

①当△BEC∽△BCF时，如图所示，此时可求得22+2。

②当△BEC∽△FCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存

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在。

6. （2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线y?ax2?bx?c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式及对称轴．

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标． （3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线y?ax2?bx?c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点，

3?a???8?16a?4b?c?0?3??∴ ?4a?2b?c?3，解得?b? 。

4?? c?3??c?3??∴抛物线的解析式为：y?? x2?8334 x?3，其对称轴为：x??b2a?1。

（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、

C是关于对称轴x=1的对称点。

如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接

MB，则MA＋MB=MA＋MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MA＋MB的值最小。

设直线AC的解析式为y=kx＋b，

3??4k?b?0?k??∵A（4，0），C（0，3），∴ ? ，解得? 4。

? b?3?b?3?- 6 - 中考资源网期待您的投稿！zkzyw@163.com

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∴直线AC的解析式为：y=?34x＋3。

令x=1，得y=

9。

4 。∴M点坐标为（1，9）4（3）结论：存在。

如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意： ①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1。

由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x轴，则x轴与

抛物线的另一个交点P1即为所求。

在y??3 x2?384 x?3中令y=0，解得x1=-2，x2=4。

∴P1（－2，0）。

∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC。 ∴四边形ABCP1为梯形。

②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2。 设CP2与x轴交于点N，

∵BC∥x轴，AB∥CP2，∴四边形ABCN为平行四边形。∴AN=BC=2。

∴N（2，0）。 ?3设直线CN的解析式为y=k?2k1?b1?0?k??1x+b1，则有： ??b，解得?2。1?3 ??b?3∴直线CN的解析式为：y=?32x+3。

∵点P2既在直线CN：y=?3x+3上，又在抛物线：y??3 x2328?4 x?3上，∴?32x+3=?3 x23?3，化简得：x2

8?4 x－6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。∴点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为－6。∴P（26，－6）。∵ABCN，∴AB=CN，而CP2≠CN，∴CP2≠AB。∴四边形ABCP2为梯

形。

综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构

成的四边形为梯形，点P的坐标为（－2，0）或（6，－6）。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，

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线段最短的性质，梯形的判定。

【分析】（1）已知抛物线上三点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式x??b2a求出对称轴。

（2）如图1所示，连接AC，则AC与对称轴的交点即为所求之M点；已知点A、

C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而求出点M的坐标。

（3）根据梯形定义确定点P，如图2所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此

时P1为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．此时P2位于第四象限，先确定CP2与x轴交点N的坐标，然后求出直线CN的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标。

7. （2012四川自贡14分）如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1． （1）求l1的解析式；

（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；

（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．

【答案】解：（1）如图1，设经翻折后，点A．B的对应点分别为A1、B1，

依题意，由翻折变换的性质可知A1（3，0），B1（﹣1，

0），C点坐标不变，

∴抛物线l1经过A1（3，0），B1（﹣1，0），C（0，﹣3）

三点，

设抛物线l1的解析式为y=ax+bx+c，则

2

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?9a+3b+c=0?a=1???a?b+c=0，解得?b=?2。 ?c=?3?c=?3??∴抛物线l1的解析式为：y=x2﹣2x﹣3。 （2）抛物线l1的对称轴为：x=?b2a=??22=1，

如图2，连接B1C并延长，与对称轴x=1交

于点P，则点P即为所求。

此时，|PA1﹣PC|=|PB1﹣PC|=B1C。 设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一点， 则有：|P′A﹣P′C|=|P′B1﹣P′C|＜B1C（三角形两边之差小于第三边）， ∴|P′A﹣P′C|＜|PA1﹣PC|，即|PA1﹣PC|最大。 设直线B1C的解析式为y=kx+b，则 ??k+b=0，解得k=b=﹣3。∴直线B1C的解析式为：y=﹣3x﹣3。 ?b=?3?令x=1，得y=﹣6。∴P（1，﹣6）。 （3）依题意画出图形，如图3，有两种情况： ①当圆位于x轴上方时，设圆心为D，半径为r， 由抛物线及圆的对称性可知，点D位于对称轴x=1上，则D（1，r），F（1+r，r）。 ∵点F（1+r，r）在抛物线y=x2﹣2x﹣3上， ∴r=（1+r）﹣2（1+r）﹣3，化简得：r﹣r﹣4=0 解得r1=1+17222，r2=1?217（舍去）。 ∴此圆的半径为1+172；

?1+172②当圆位于x轴上方时，同理可求得圆的半径为综上所述，此圆的半径为1+172。

或?1+172。

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【考点】二次函数综合题，翻折变换的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的轴对称性质，三角形三边关系，直线和圆的位置关系，解一元二次方程和二元一次方程组。

【分析】（1）根据翻折变换的性质，求得A1和B1的坐标，用待定系数法即可求得抛物线l1的解析式，

（2）根据三角形两边之差小于第三边的性质即可知，B1C的延长线与对称轴x=1

的交点P，即为所求。求出B1C的解析式即可求得点P的坐标。

（3）设圆心为D，半径为r，根据直线与圆相切的性质知D（1，r），F（1+r，r）。

由于点F在抛物线l1上，代入即可求得r。分圆位于x轴上方和下方两种情况讨论即可。

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