个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？ 七、课后练习
1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则
A三边长分别为 ，此三角形的形状
为 。
2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，
BC为什么？
D3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了DC一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13
B米，DA=12米，又已知∠B=90°。
A八、参考答案：
课堂练习：
1．向正南或正北。
2222222222
2．能，因为BC=BD+CD=20，AC=AD+CD=5，AB=25，所以BC+AC= AB；
3．由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°，航向为北偏东50°。 课后练习：
1．6米，8米，10米，直角三角形；
2．△ABC、△ABD是直角三角形，AB和地面垂直。
222222
3．提示：连结AC。AC=AB+BC=25，AC+AD=CD，因此∠CAB=90°， S四边形=S△ADC+S△ABC=36平方米。 课后反思：
17．2 勾股定理的逆定理（三）
教案总序号：15 时间：2016年3月6日 星期四 一、教学目的
1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。 2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。
3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点
1．重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。 2．难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。 三、例题的意图分析
46
例1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。
例2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添臵辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离。
例3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。 四、课堂引入
勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。 五、例习题分析
例1（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足222
a+b+c+338=10a+24b+26c。 试判断△ABC的形状。
DA分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，
则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。
例2（补充）已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，
BCCD=5，AD=3。 E求：四边形ABCD的面积。
分析：⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）； ⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三C角形的面积。
例3（补充）已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且2
CD=AD〃BD。
BAD求证：△ABC是直角三角形。
222222
分析：∵AC=AD+CD，BC=CD+BD
22222
∴AC+BC=AD+2CD+BD
22 =AD+2AD〃BD+BD
22
=（AD+BD）=AB
六、课堂练习
222
1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a＋b－c）=0，则△ABC是（ ） A．等腰三角形； B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形； D．等腰直角三角形。 2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：2，试判断△ABC的形状。
D3133．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥
44BC。
求：四边形ABCD的面积。
2
4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD=AD〃BD。
求证：△ABC中是直角三角形。 七、课后练习，
47
ABCAEBDC1．若△ABC的三边a、b、c满足a+b+c+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。 2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。 求证：△ABC是等腰三角形。
222
3．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC=AE+CE。
求证：AB=AE+CE。4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=14，试判
2
2
2
222
定△ABC的形状。 八、参考答案： 课堂练习： 1．C；
2．△ABC是等腰直角三角形； 3．
9 42
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4．提示：∵AC=AD+CD，BC=CD+BD，∴AC+BC=AD+2CD+BD= 2222
AD+2AD〃BD+BD=（AD+BD）=AB，∴∠ACB=90°。 课后练习： 1．6；
222
2．提示：因为AD+BD=AB，所以AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC。
222
3．提示：有AC=AE+CE得∠E=90°；由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°，
222
根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC，则AB=AE+CE。
22222
4．提示：直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b）=16，a+2ab+b=16，ab=1，所以a+b=14。
2222
又因为c=14，所以a+b=c。 课后反思：
19.1.1 平行四边形及其性质(一)
教案总序号：16 时间：2016年3月7日 星期五 一、教学目的：
1． 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
2． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、重点、难点
1． 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2． 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、例题的意图分析
例1是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提
48
高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证．
四、课堂引入
1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？
平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“
”来表示．
形读
ABCD”，
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ 作“平行四边形ABCD”．
①∵AB//DC ,AD//BC ， ∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）．
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）
2．?探究?平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．
让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？
（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．
（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）
（2）猜想 平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性．
已知：如图ABCD，
求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．
分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．
49
（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）
证明：连接AC， ∵ AB∥CD，AD∥BC， ∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4． 又 AC＝CA，
∴ △ABC≌△CDA （ASA）． ∴ AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D． 又 ∠1＋∠4＝∠2＋∠3， ∴ ∠BAD＝∠BCD． 由此得到：
平行四边形性质1 平行四边形的对边相等． 平行四边形性质2 平行四边形的对角相等． 五、例习题分析
例1（见教材例1）
例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，
求证：AF=CE．
分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD
是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．
证明略． 六、随堂练习 1．填空：
（1）在ABCD中，∠A=50?，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．
（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度． （3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．
2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF． 七、课后练习
1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）． （A）对角相等 （B）对角互补 （C）邻角互补 （D）内角和是360?
2．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（ ）．
（A）4个 （B）5个 （C）8个 （D）9个
3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．
50
16．1.1 二次根式
教案序号：1 时间：2016年2月15日 教学内容
二次根式的概念及其运用 教学目标
理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键
1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题： 二、探索新知
很明显3、10、4，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根6的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，a有意义吗？ 老师点评:（略）
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1、x（x>0）、x0、42、-2、1、x?y（x≥0，y?≥0）． x?y”；第二，被开方数是正数或 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“0．
解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、x?y（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：33、141、2、． xx?y 例2．当x是多少时，3x?1在实数范围内有意义？
1
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?3x?1才能有意义．
解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥
1 31时，3x?1在实数范围内有意义． 3 三、巩固练习
教材P5练习1、2、3． 四、应用拓展
例3．当x是多少时，2x?3+ 分析：要使2x?3+中的x+1≠0． 解：依题意，得? 由①得：x≥-
1在实数范围内有意义？ x?111在实数范围内有意义，必须同时满足2x?3中的≥0和x?1x?1?2x?3?0
?x?1?03 2 由②得：x≠-1 当x≥-
31且x≠-1时，2x?3+在实数范围内有意义． 2x?1例4(1)已知y=2?x+x?2+5，求
x的值．(答案:2) y2) 5(2)若a?1+b?1=0，求a2004+b2004的值．(答案:
五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：
1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业
1．教材P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计．
第一课时作业设计 一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．-7 B．37 C．x D．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
2
A．4 B．16 C．8 D．
1x 3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A．5 B．5 C．
15 D．以上皆不对 二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当x是多少时，2x?3x+x2
在实数范围内有意义？ 3．若3?x+x?3有意义，则x?2=_______．
4.使式子?(x?5)2有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
5.已知a、b为实数，且a?5+210?2a=b+4，求a、b的值．
第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B
二、1．a（a≥0） 2．a 3．没有
三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=5．
2．依题意得：??2x?3?0?，?x??3?x?0?2
??x?0∴当x>-
32且x≠0时，2x?3x＋x2在实数范围内没有意义． 3.
13 4．B
5．a=5，b=-4
16.1.2 二次根式(2)
教案序号：2 时间：2016年2月16日 星期一
3
底面应做?教学内容
1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）． 教学目标
理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简． 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键
1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．
2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导出（a）2=a（a≥0）． 教学过程
一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？ 老师点评（略）． 二、探究新知
议一议：（学生分组讨论，提问解答）
a（a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
a（a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：
（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；
（1272）=______；（）=_______；（0）2=_______． 32 老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．
4
同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（2
121727）=，（）=，（0）3232=0，所以
（a）2=a（a≥0） 例1 计算 1．（325272
） 2．（35）2 3．（） 4．（）
226 分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题．
解：（323） =，（35）2 =322（5）2=3225=45，
2252572(7)27（）=，（）=?．
622426 三、巩固练习
计算下列各式的值：
（18）2 （2272 92） （） （0）2 （4）438(35)2?(53)2
四、应用拓展
例2 计算
1．（x?1）2（x≥0） 2．（a2）2 3．（a2?2a?1）2 4．（4x2?12x?9）2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-222x23+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 （x?1）2=x+1
（2）∵a2≥0，∴（a2）2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴a2?2a?1=a2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-222x23+32=（2x-3）2
5
AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。
解：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE=AE-AB=8-4=48，BE=48=43。
2
2
2
2
2
∵DE= CE-CD=4-2=12，∴DE=12=23。
2
2
2
2
2
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=
11AB〃BE-CD〃DE=63 22小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形
的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。 例4（教材探究3）
分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
变式训练：在数轴上画出表示3?1,2?2的点。
六、课堂练习
1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S△ABC= 。
2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=23cm，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S△ABC= 。
3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=23，CD⊥AB于D，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S△ABC= 。
4．已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17， 求S△ABC。 七、课后练习
ABC1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=3，AB= 。 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，S△ABC=30，c=13，且a＜b，则a= ，b= 。 3．已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22，
求（1）AB的长；（2）S△ABC。
4．在数轴上画出表示－5,2?5的点。 八、参考答案： 课堂练习：
2
1．30cm，300cm；
2．90，60，30，4，23；
41
ABC3．2，3，3，1，23；
4．作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=17-x，25-x=26-（17-x），x=7，BD=24， S△ABC=
2
2
2
2
1AC〃BD=254； 2课后练习： 1．4； 2．5，12；
3．提示：作AD⊥BC于D，AD=CD=2，AB=4，BD=23，BC=2+23，S△ABC= =2+23； 4．略。 课后反思：
17．2 勾股定理的逆定理（一）
教案总序号：13 时间：2016年3月4日 星期二 一、教学目的
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 二、重点、难点
1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。 2．难点：勾股定理的逆定理的证明。 三、例题的意图分析
例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。
例2通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。
例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般
222222
步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a+b和c的值。③判断a+b和c是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 四、课堂引入
创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？
⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。
五、例习题分析
例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴同旁内角互补，两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。 ⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 ⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设
42
和结论，并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。 解略。
222
例2证明：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。 AA1分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。
c⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道bb若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题
aa转化为如何判断一个角是直角。 BCC1B1⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。
⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。
⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。 证明略。
2
例3（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n－1，b=2n，2
c=n＋1（n＞1）
求证：∠C=90°。
分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判
222222
断那条边最大。②分别用代数方法计算出a+b和c的值。③判断a+b和c是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只
222
要证明a+b=c即可。
222224222242222
⑶由于a+b= （n－1）＋（2n）=n＋2n＋1，c=（n＋1）= n＋2n＋1，从而a+b=c，故命题获证。 六、课堂练习 1．判断题。
⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。 ⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。
⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
⑷△ABC的三边之比是1：1：2，则△ABC是直角三角形。
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
222
B．如果c= b—a，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
2
C．如果（c＋a）（c－a）=b，则△ABC是直角三角形。 D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。 3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）
43
A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a=5，b=3，c=2
D．a：b：c=2：3：4
4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a=3，b=22，c=5； ⑵a=5，b=7，c=9； ⑶a=2，b=3，c=7； ⑷a=5，b=26，c=1。
七、课后练习，
1．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。
32
⑴如果a＞0，那么a＞0；
⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形； ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。 2．填空题。
⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。 ⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。
222
⑶在△ABC中，若a=b－c，则△ABC是 三角形， 是直角；
222
若a＜b－c，则∠B是 。
2222
⑷若在△ABC中，a=m－n，b=2mn，c= m＋n，则△ABC是 三角形。 3．若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵,2
2
111,； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41； 345⑸（m＋n）－1，2（m＋n），（m＋n）＋1；则构成的是直角三角形的有（ ） A．2个 B．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个
4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6；
⑶a=2，b=23，c=4； ⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。
八、参考答案： 课堂练习：
1．对，错，错，对； 2．D；
3．D； 4．⑴是，∠B；⑵不是；⑶是，∠C；⑷是，∠A。 课后练习：
23
1．⑴如果a＞0，那么a＞0；假命题。
⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题。
⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题。 ⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题。
2．⑴逆命题，逆定理；⑵内错角相等，两直线平行；⑶直角，∠B，钝角；⑷直角。 3．B 4．⑴是，∠B；⑵不是，；⑶是，∠C；⑷是，∠C。 课后反思：
44
17．2 勾股定理的逆定理（二）
教案总序号：14 时间：2016年3月5日 星期三 一、教学目的
1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点
1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 三、例题的意图分析
例1（见教材例题）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。
例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 四、课堂引入 N创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位臵，从而使用一RS些数学知识和数学方法。
Q五、例习题分析
E例1（见教材） P分析：⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；
222222
⑷因为24+18=30，PQ+PR=QR，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。 分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；
222
⑶根据勾股定理的逆定理，由5+12=13，知三角形为直角三角形。 解略。 六、课堂练习 C1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。
2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得BAD它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两
ANCEB45
（2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2 =10-7=3
三、巩固练习 课本练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知
x?ax?b=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0， ba化简x?1?xx?1?x+，并求值．
x?1?xx?1?xx）（x?1-x）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有
分析：由于（x?1+理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．
(x?1?x)2(x?1?x)2解：原式=+
(x?1?x)(x?1?x)(x?1?x)(x?1?x)(x?1?x)2(x?1?x)2=+
(x?1)?x(x?1)?x =（x+1）+x-2x(x?1)+x+2x(x?1) =4x+2 ∵
x?ax?b=2- ba ∴b（x-b）=2ab-a（x-a）
∴bx-b2=2ab-ax+a2
∴（a+b）x=a2+2ab+b2 ∴（a+b）x=（a+b）2 ∵a+b≠0 ∴x=a+b
∴原式=4x+2=4（a+b）+2 五、归纳小结
本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 六、布置作业
1．习题16．3 1、8、9． 2．选用课时作业设计．
作业设计 一、选择题
1．（24-315+222）32的值是（ ）． 331
A．
2033-330 B．330-23233 C．230-3 D．
2033-30 2．计算（x+x?1）（x-x?1）的值是（ ）． A．2 B．3 C．4 D．1 二、填空题 1．（-
132+）的计算结果（用最简根式表示）是________． 222．（1-23）（1+23）-（23-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______． 3．若x=2-1，则x2+2x+1=________．
4．已知a=3+22，b=3-22，则a2b-ab2=_________． 三、综合提高题 1．化简5?7
10?14?15?211x?1?x2?xx?1?x2?x 2．当x=时，求+的值．（结果用最简二次根式
222?1x?1?x?xx?1?x?x表示）
课外知识
1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，?这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式． 练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A．2x与2y B．834958ab与ab 92C．mn与n D．m?n与m?n 2．互为有理化因式：?互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-x+1+x2?2x就是互为有理化因式；x2?2x与
x与1也是互为有理化因式． x 练习：2+3的有理化因式是________； x-32
y的有理化因式是_________．
-x?1-x?1的有理化因式是_______．
3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、?分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的． 练习：把下列各式的分母有理化 （1）11233?42； （2）； （3）； （4）． 5?11?236?233?42 4．其它材料：如果n是任意正整数，那么n?nn=n n2?1n2?1nnn3?n?nn3 理由：n?2==n ?n2?1n?1n2?1n2?1 练习：填空2
答案:
一、1．A 2．D 二、1．1-
234=_______；3=________；4=_______．
81533 2．43-24 3．2 4．42 2三、1．原式＝5?7 25?27?35?3715?7=
2?32(5?7)?3(5?7)==-（2-3）=3-2 2．原式＝(x?1?x2?x)2?(x?1?x2?x)2(x?1)?(x?x)222
2(x?1)2?(x2?x)?22(x?1)(x?1?x)=== 2（2x+1）
x?1x?1 ∵x=
17．1 勾股定理（一）
33
1=2+1 原式＝2（22+3）=42+6. 2?1教案总序号：10 时间：2016年2月26日 星期三 一、教学目的
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点
1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、例题的意图分析
例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
222222222222
你是否发现3+4与5的关系，5+12和13的关系，即3+4=5，5+12=13，那么就有勾222
+股=弦。
CD对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析
例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
222
求证：a＋b=c。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，ab让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
cAB⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正 4×
122
ab＋（b－a）=c，化简可证。 2⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边baba为a、b、c。
ca222
a求证：a＋b=c。 acbc分析：左右两边的正方形边长相
34
bccaabbcbab等，则两个正方形的面积相等。 左边S=4×
12
ab＋c 22
右边S=（a+b）
左边和右边面积相等，即 4×
122
ab＋c=（a+b） 2化简可证。 六、课堂练习
1．勾股定理的具体内容是： 。 2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
A⑴两锐角之间的关系： ；
⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ；
D⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： 。
222
3．△ABC的三边a、b、c，若满足b= a＋c，则 =90°； 若
C222222
满足b＞c＋a，则∠B是 角； 若满足b＜c＋a，则∠B是 ADa角。
4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。 bc七、课后练习
E1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
ca⑴c= 。（已知a、b，求c）
B⑵a= 。（已知b、c，求a） Cb⑶b= 。（已知a、c，求b）
2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。
3、4、5 5、12、13 7、24、25 9、40、41 …… 19，b、c 3+4=5 5+12=13 7+24=25 9+40=41 …… 19+b=c 222222222222222B3．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=103cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。
4．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。
22
求证：⑴AD－AB=BD〃CD
⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。
八、参考答案
课堂练习 1．略；
2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=
A11AB；⑶AC=AB；⑷22DBC35
AC+BC=AB。
3．∠B，钝角，锐角；
4．提示：因为S梯形ABCD = S△ABE+ S△BCE+ S△EDA，又因为S梯形ACDG=S△BCE= S△EDA=课后练习
1．⑴c=b2?a2；⑵a=b2?c2；⑶b=c2?a2
222
12
（a+b）， 211211122
ab，S△ABE=c, （a+b）=2× ab＋c。 22222?a2?b2?c2a2?1a2?12．? ；则b=，c=；当a=19时，b=180，c=181。
22?c?b?13．5秒或10秒。
4．提示：过A作AE⊥BC于E。 课后反思：
17．1 勾股定理（二）
教案总序号：11 时间：2016年2月27日 星期四 一、教学目的
1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。 二、重点、难点
1．重点：勾股定理的简单计算。 2．难点：勾股定理的灵活运用。 三、例题的意图分析
例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。
例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。 例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。 四、课堂引入
复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。 五、例习题分析
例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2, 求b。 ⑶已知c=17,b=8, 求a。
⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。 ⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。
分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的
36
便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。
例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三 C 边。
分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
例3（补充）已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。
B A D ⑴求等边△ABC的高。 ⑵求S△ABC。
分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高CD，可将其臵身于Rt△ADC或Rt△BDC中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=
1AB=3cm，则此题可解。 2六、课堂练习 1．填空题
⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。 ⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。 ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。 ⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。 A2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=43，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。 3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。 C七、课后练习 1．填空题
在Rt△ABC，∠C=90°，
⑴如果a=7，c=25，则b= 。 ⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。 ⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。 ⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。
⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c= 。 ⑹如果b=8，a：c=3：5，则c= 。
2．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC， AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。
B八、参考答案
课堂练习
DBADC1．17； 7； 6，8； 6，8，10； 4或34； 3，3；
37
2．8； 3．48。 课后练习
1．24； 43； 32； 6； 12； 10； 2．课后反思：
17．1 勾股定理（三）
教案总序号：12 时间：2016年2月28日 星期五 一、教学目的
1．会用勾股定理解决简单的实际问题。 2．树立数形结合的思想。 二、重点、难点
1．重点：勾股定理的应用。
2．难点：实际问题向数学问题的转化。 三、例题的意图分析
例1（教材探究1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。
例2（教材探究2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形
DC三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。
四、课堂引入
勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。 五、例习题分析
AB例1（教材探究1）
分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。
例2（教材探究2）
分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。 A⑵ 在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。
C则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。
⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算
DOBBD。
六、课堂练习
1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是
38
23 3 米，水平距离是 米。
B
C
A30CBA
2题图 3题图 4题图
3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，ABC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？ 七、课后练习
1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米， BC∠B=60°，则江面的宽度为 。
2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖R住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。
3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘
PQ米。 A4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。 （精确到1米）
CFBED八、参考答案： 课堂练习：
1．2502； 2．6， 23； 3．18米； 4．11600； 课后练习
1．503米； 2．
2； 23．20； 4．83米，48米，32米； 课后反思：
17．1 勾股定理（四）
教案总序号：12 时间：2016年3月3日 星期一 一、教学目的
39
1．会用勾股定理解决较综合的问题。 2．树立数形结合的思想。 二、重点、难点
1．重点：勾股定理的综合应用。 2．难点：勾股定理的综合应用。 三、例题的意图分析
例1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角
2222
形，三个勾股定理及推导式BC-BD=AC-AD，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
例2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已知角。
例3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。
例4（教材P76页探究3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。 四、课堂引入
复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。 五、例习题分析
例1（补充）1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=3， 求线段AB的长。
分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式C2222
BC-BD=AC-AD，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。
要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，BAD求出BD=3和AD=1。或欲求AB，可由AB?AC2?BC2，分别
在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。
例2（补充）已知：如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°。在学生充分思考和讨论后，发现添臵AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC。让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？
A小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作辅助线？ 解略。
例3（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，A40
CDBDECB
百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库2024最新人教版 八年级下册数学教案在线全文阅读。
相关推荐：
