2024高考数学总复习专题系列——三角函数.板块三.三角恒等变换.

板块三.三角恒等变换

典例分析

题型一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式

【例1】 cos79cos34?sin79sin34?（ ）。

A

1 2 B 1 C

2 2D

3 24??【例2】 已知cos???，??(,?)，则cos(??)?（ ）。

524A

2 10 B ?2 10 C ?72 10 D

72 10【例3】 在平面直角坐标系中，已知两点A?(cos80,sin80)，B?(cos20,sin20)，则

|AB|的值是（ ）

A

1 2B

2 2C

3 2D 1

【例4】 若sin??sin??1?31，cos??cos???，则cos(???)?（ ） 22A

1 2

1B ?

2 C ?3 2 D

3 23【例5】 已知sin(30??)?，60???150，则cos??（ ）

5A

3?43 10B

3?43 10C

4?33 10D

4?33 10【例6】 sin15?cos15?（ ）。

A

1 2 B

2 2 C

3 2D

6 21

【例7】 若?，?为锐角，且满足cos??43，cos(???)?，则sin?的值是（ ）。 55 A 17325 B

5 C

725 D

15

【例8】 已知sin???14，??(?,3?3?2)，??(2,2?)，则???是（ ）

A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角

D 第四象限角

【例9】 已知向量a?(cos75,sin75)，b?(cos15,sin15)，那么|a?b|的值为（ A

12 B

22 C

32 D 1

【例10】 已知????3?4，则(1?tan?)(1?tan?)?（ ） A 2

B ?2 C 1 D ?1

【例11】

sin163sin223?sin253sin313?（ ）。 A ?12

B

132 C ?32 D

2

【例12】 已知

1?tan?1?tan??4?5，则tan(?4??)?（ ）。

A 4?5 B 4?5 C ?4?5 D ?4?5

【例13】 已知tan(???)?25，tan(???4)?14，那么tan(???4)?（ ） A

1318 B 1322 C

322 D

16

【例14】 已知sin??cos??33，(0????2)，则sin??cos??（ ）

2

）A

15 3B

2 3C

1 3 D 1

【例15】 在ABC中，sinA?cosA的取值范围是（ ）

A (?1,

2] B (?22,] 22C (?2,2] 2 D (?1,1]

a?sin70sin30?cos70cos30，b?cos71cos30?sin71sin30，【例16】 则a,b的大小

关系是 。

【例17】 若cos??cos??cos??0，sin??sin??sin??0，则cos(???)? 。

3?tan15? 。 【例18】 1?3tan15

3cosx?4sinx?5cos(x??)，则sin?? ；cos?? 。 【例19】

sin7?cos15sin8【例20】 的值为 。

cos7?sin15sin8

【例21】 函数y?cosx?cos(x?)的最大值是 。

3?

【例22】 已知??(0,?2)，且sin??3?，求2cos(??)的值。 54

【例23】 证明：cos(3???)??sin? 2

【例24】 若?,?为锐角，且满足cos??43，cos(???)?，求cos?的值。 55

3

【例25】 设cos??cos??11，sin??sin??，求cos(???)的值。 23111，cos(???)??，求cos?的值。 714

【例26】 已知?,?都是锐角，cos??

【例27】 若sinx?siny?34，cosx?cosy?，求cos(x?y)的值。 55

【例28】 定义

cos(?1??0)?cos(?2??0)?n?cos(?n??0)为集合{?1,?2,,?n}相对于常

数?0的“余弦平均数”，求集合{?

2?2? ,0,}相对于于常数?0的“余弦平均数”。

334??【例29】 已知cos???，??(,?)，求sin(??)的值。

523

【例30】 已知tan(??)?3，求tan?的值。 4?

【例31】 已知

?2?????3?123，cos(???)?，sin(???)??，求sin2?的值。 4135

【例32】 已知?,??(0,?)且tan(???)?11，tan???，求2???的值。 27

【例33】 已知sin(???)?tan?23，sin(???)?，求的值。

tan?34

【例34】 已知函数y?3sinx?cosx，x?R（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的

集合；（2）该函数的图像可由y?sinx(x?R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

4

【例35】 函数f(x)?2acosxsin(x??)?2asin2xsin??2asinxcosxcos?的定义域是R，值

域是[?2,2]，在区间[?5??且a?0，??[0,2?]。（1）,]上是单调递减函数，

1212求f(x)的周期；（2）求常数a和角?的值。

【例36】 已知?,?都是锐角，且sin??510，sin??，求???。 510

【例37】 求tan(??)?tan(??)?3tan(??)tan(??)的值。

6666????

cos2x?5?【例38】 已知sin(?x)?，0?x?，求的值。

?4134cos(?x)4

【例39】 求证：tan(x?y)tan(y?z)tan(z?x)?tan(x?y)?tan(y?z)?tan(z?x)。

?3?【例40】 已知sin(??)?sin??，????0，求cos?的值。

352

【例41】 已知tan?与tan?是方程x2?3x?3?0的两根，

求sin2(???)?3sin(???)cos(???)?3cos2(???)的值。

【例42】 已知向量a?(mcos?,?3)，b?(1,n?sin?)，且a?b（1）若m?n?1，

??求sin(??)的值；（2）若m??3，且??(0,)，求实数n的取值范围。

62

题型二：二倍角的正弦、余弦、正切公式

5

【例43】 下列各式中，值为

1的是（ ）。 2A sin15cos15 C

【例44】 已知x?(?1?cos30 2

B 2cos215?1 D

tan22.5

1?tan222.5

?2,0)，cosx?4，则tan2x?（ ）。 5A

7 24B ?7 24C

24 7D ?24 7cos275?sin275?cos75cos15的值为（ ） 【例45】

A

6 2 B

3 2 C

5 4 D 1?3 4【例46】 函数y?2sinx(sinx?cosx)的最大值为（ ）

A 1?2

【例47】 若 B 2?1 C 2 D 2

31是二次方程x2?(tan??)x?1?0的一个根，tan??1，则tan2??3tan?（ ） A ?3

【例48】 函数f(x)?sin2x?3cos2x的最小正周期是（ ）。

B 3 C ?3 3 D

3 3A ?

B

? 2 C

? 4 D

? 8?3?【例49】 已知sin(?x)?，则cos(?2x)的值为（ ）。

452A

1【例50】 若tan??2，则sin2??（ ）

219 25 B

16 25 C

14 25 D

7 25A

1 2 B

2 3 C

2 5 D 1

【例51】 如果sin2??

1??且??(,)，那么cos??sin??（ ） 4426

A ?

3 2

3B ?

4 C

3 4 D

3 22sin2【例52】 若f(?)??2?1?2tan?，则f()?（ ）

??8sincos22?A 0

B 2 C ?2 D ?4

??1【例53】 已知cos(??)cos(??)?，则sin4??cos4?的值等于_______。

444

sin??cos?1【例54】 ?，则tan2??_________。

2cos??sin?3

【例55】 化简cos275的值是_______。

?3sin?cos?【例56】 已知tan(??)??，则tan??_________；?_________。

353cos2??2sin2?

【例57】 已知sinxcosx?3??，求4sin(?x)sin(?x)的值 1044

1?tan2x2tanx【例58】 求证：（1）sin2x?；（2）cos2x?。 221?tanx1?tanx

23?【例59】 已知cos??，cos??且?,??(0,)，求tan2(???)的值。

252

【例60】 求sin220?cos250?sin20cos50的值。

【例61】 已知sin??cos??sin?cos?，求sin2?的值。

7

【例62】 已知f(x)?cos4x?2sinxcosx?sin4x。（1）求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在

?区间[0,]上的最大值和最小值。

2

【例63】 设sin22??sin2?cos??cos2??1,??(0,?2)。求sin?,tan?的值。

?3?3??【例64】 已知cos(??)?(???)，求cos(2??)的值。

45224

【例65】 已知sin??cos??2(0????)，求cos2?的值。 2

【例66】 求函数y?sin6x?cos6x的最小正周期。

?7?【例67】 求f(x)?53cos2x?3sin2x?4sinxcosx(≤x≤)的最小值，并求出取得最

424小值时x的值。

12。 【例68】 化简

??2tan(?x)sin2(?x)442cos4x?2cos2x?

sinx?2sin2x4【例69】 若cos(45?x)??(225?x?315)，求的值。

51?tanx

【例70】 已知矩形ABCD的长AB?a，宽AD?b，试求其外接矩形EFGH面积的最大值

与对角线长的最大值.

HDEACGBF

8

题型三：简单的三角恒等变换

【例71】 化简2?cos2?sin21的结果是（ ）。

A ?cos1

【例72】 tan B cos1 C 3cos1 D ?3cos1

?8?cot?8的值是（ ）

B ?2

C 1

D 2

A ?1

【例73】 若sin2??24?，则2cos(??)的值为（ ） 254A

1 5 B

7 51C ?

5

7D ?

51?sin??3?1【例74】 设?在第二象限，且sin(?)?，则的值为（ ）

??222cos?sin22A 1

B ?1 C ?1或1 D 不能确定

2sin2??1?【例75】 若f(?)?，则f()?_______。

12sin4?

【例76】 等腰三角形的顶角的正弦值为

5，则它的底角的余弦值为_________。 13

【例77】 已知A是△ABC的内角，且sinA?cosA?1，求tanA的值。 5

【例78】 求证

(sin??cos??1)(sin??cos??1)??tan。

sin2?2【例79】 已知函数y?3sin2x?3cos2x。

（1）求函数的增区间；（2）说出此函数与y?sinx之间的关系。

【例80】 2002年8月，在北京召开了国际数学大会，大会会标如图所示，它是由四个相

同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小

9

的锐角为?，大正方形的面积是 1，小正方形的面积是值.

1，求sin2??cos2?的25

【例81】 求证：

1?2sin?cos???tan(??)。 22cos??sin?4

【例82】 已知函数f(x)??3sin2x?sinxcosx。

（1）求f(

?1325?，求sin?。 )的值；（2）设??(0,?)，f()??2426【例83】 如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形

ABCD辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另两点B,C落在半圆的圆周

上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A,D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？ CBDOA

【例84】 已知tan??11?3?，tan??，0???，????，求???的值。 2322

【例85】 已知f(?)?2tan??? ，求f()

??12sincos2222sin2??1

10

【例86】 已知函数f(x)?2asin2x?23asinxcosx?a?b(a?0)的定义域为[0,?2]，值域

为[?5,1]，求常数a,b的值。

【例87】 已知半径为1，圆心角为

?的扇形，求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大3面积.

?π?【例88】 已知?为锐角，且tan?????2．

?4?⑴求tan?的值；

⑵求

sin2?cos??sin?的值．

cos2? 11

【例86】 已知函数f(x)?2asin2x?23asinxcosx?a?b(a?0)的定义域为[0,?2]，值域

为[?5,1]，求常数a,b的值。

【例87】 已知半径为1，圆心角为

?的扇形，求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大3面积.

?π?【例88】 已知?为锐角，且tan?????2．

?4?⑴求tan?的值；

⑵求

sin2?cos??sin?的值．

cos2? 11

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