高等数学(一)试题库

高等数学上B（07）试题

一、

填空题：（共24分，每小题4分）

dy21．y?sin[sin(x)]，则dx?____________________________。

?2． 已知

3． 4．

????a1?x2dx??，a=__________。

?e1elnxdx?____________。

xy?e过原点的切线方程为_______________。

x5．已知

f(x)?e?，则

f'(lnx)xdx= 。

326．a? ，b? 时，点(1,3)是曲线y?ax?bx的拐点。 二、计算下列各题：（共36分，每小题6分）

cosxsinlnxdx1．求y?(sinx)的导数。 2．求?。

3．求

?x?5x?12dx。

x?0x?04．设

x??e,f(x)??k??x?1,在点(0,0)处可导，则k为何值？

2lim(1n?1225．求极限

n???1n?22???1n?n22)。

平行的平面

?x?2y?z?1?0?(2,2,0)6．求过点且与两直线?x?y?z?1?0?2x?y?z?0?和?x?y?z?0方程。

三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）

?x?Rcost?1．设?y?Rsintdy2，求dx。

22．求3．设

F(x)??x0t(t?1)dt在[?1,2]上的最大值和最小值。

22y?y(x)由方程x(1?y)?ln(x?2y)?0y?x2确定，求y'(0)。

4．求由与轴旋转所得的旋转体的体积。 四、证明题：(共12分，每小题6分)

1．证明过双曲线xy?1任何一点之切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为一常数。

2．设函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，证明：至少存在一点?使得

f(?)?by?x围成的图形绕y2?g(x)d?x?g(?)a?f(x)dx

高等数学上试题（07）

一、 单项选择题（每小题4分，共16分）

(???x???)是 。 1．

（A）奇函数； （B）周期函数；（C）有界函数； （D）单调函数

f(x)?xcosxe?|sinx|2．当x?03时，

f(x)?(1?cosx)ln(1?2x)与 是同阶无穷小量。

4522（A）x； （B）x； （C）x； （D）x

?x?2y?z?0?3．直线?x?y?2z?0与平面x?y?z?1的位置关系是 。

（A）直线在平面内；（B）平行； （C）垂直； （D）相交但不垂直。

???4．设有三非零向量a,b,c?????。若a?b?0, a?c?0??，则b?c? 。

（A）0； （B）-1； （C）1； （D）3

二、 填空题（每小题4分，共16分）

1．曲线y?lnx上一点P的切线经过原点(0,0)，点P的坐标为 。

limtanx?xx(e?1)2x2．

x?0? 。

y23．方程e?6xy?x?1?0确定隐函数y?y(x)，则y?(0)? 。 24．曲线y?x 、x?1与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为 。

三、 解答下列各题（每小题6分，共30分）

1．已知

f(x)?lim(t???t?sinxt2)t，求f?(x)。

]dx2．求不定积分3．计算定积分

?[ln(lnx)??1?11lnx4。

2x(2sinx1?x?1?x)dx。

dx?1?cosx4．求不定积分。

1?sinx5．已知f?(lnx)?x，且f(1)?e?1，求f(x)。

)(1?，四、 （8分）设f(x)对任意x有f(x?1)?2f(x)，且f0求f?(1)。

22五、 （8分）证明：当x?1时，(x?1)lnx?(x?1)。 六、 （8分）

f?(0)??12。

已知

F(x)??x022(x?t)f??(t)dt2，f??(x)连续，且当x?0时，F?(x)与x

为等价无穷小量。求f??(0)。

七、 （8分）

2设有曲线y?4x (0?x?1)和直线y?c (0?c?4)。记它们与y轴所围

图形的面积为A1，它们与直线x?1所围图形的面积为A2。问c为何值时，可使A?A1?A2最小？并求出A的最小值。

八、 （6分）

设f(x)在(a,b)内的点x0处取得最大值，且|f??(x)|?K (a?x?b)。

证明：|f?(a)|?|f?(b)|?K(b?a)

高等数学试卷

试卷号：B020002

校名___________ 系名___________ 专业___________ 姓名___________ 学号___________ 日期___________

（请考生注意：本试卷共 页）

大题 成绩 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

1、

设I??e?1e?1xxxxdx,则I?x(A)　ln(e?1)?c　　(B)　ln(e?1)?c;(C)　2ln(e?1)?x?c;(D)　x?2ln(e?1)?c. 2、

1n??2n?1nx

答( )

limen?en?e?e?2(A)1　(B)e　(C)e　(D)e　　　　　　　　　　答（　　） 3、 f(x)?1的n阶麦克劳林展开式的拉1?x1n?1格朗日型余项(?1)nn?1nn?1Rn(x)?(　　)(式中0???1)(A)　xn?1(n?1)(1??x)(C)　xn?2(1??x)1n?1　　　(B)　xn?1(n?1)(1??x)(?1)　　　　　(D)　　xn?2(1??x)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4、

　答　(　　)

设f(x)在x?0的某邻域内连续,且f(0)?0,limf(x)1?cosxx?0?2 , 则点x?0(A)　是f(x)的极大值点　　　　　(B)　是f(x)的极小值点(C)　不是f(x)的驻点　　　　　　(D)　是f(x)的驻点但不是极值点　　　　　　　　　　5、

　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　　)

曲线y?x?2x?4上点M0(0,4)处的切线M0T与曲线y图形的面积A?214913(A)　　　　(B)　　　(C)　　　(D)　4941222?2(x?1)所围成的平面

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)

设　y?ln1?tan(x?1x)，则y??＿＿＿＿答( )

1、2

用切线法求方程32

、

,选x0并相应求得下x?2x?5x?1?0在(?1，0)内的近似根时一个近似值x1 ? 则x0，x1分别为__________x?1________ ?

3、设空间两直线1?y?12?z?1?与x?1?y?1?z相交于一点，则??????? 。

a?___________ .?sinx?e2ax?1，当x?0?f(x)?? , 在x?0处连续，则x?a　　　　　，当x?0?4、

b

xdx?_________________，其中b是实数．5、? 0 三、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

???????????设平面?与两个向量a?3i?j和b?i?j?4k平行，证明：向量c?2i?6j?k与平面?垂直。

四、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )

讨论积分?1dxxp的敛散性．0五、解答下列各题 ( 本 大 题11分 )

导出计算积分In?

?dxxnx?12的递推公式,其中n为自然数。六、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

?x?2y?z?5?0l1:??z?10?0求过P0(4,2,?3)与平面?:x?y?z?10?0平行且与直线垂

直的直线方程。

七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

计算极限limx?0八、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

试求In?1?xsinx?cos2xxtanx

?e1(lnx)dx的递推公式(n为自然数)，并计算积分n?e1(lnx)dx．

3

九、解答下列各题 ( 本 大 题8分 ) 十、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

x?x0设f(x)在(a,b)内可微,但无界，试证明f?(x)在(a,b)内无界。

设lim?(x)?u0，limf(u)?f(u0) , 证明：limf??(x)??f(u0)u?u0x?x0。

十一、解答下列各题 ( 本 大 题4分 )

在半径为R的球内,求体积最大的内接圆柱十二、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

体的高

重量为p的重物用绳索挂在A,B两个钉子上，如图。设所受的拉力f1,f2。

cos??1213,cos??45，求A,BAOBp十三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

　　一质点,沿抛物线y?x(10?x)运动,其横坐标随着时间t的变化规律为x?tt(t的单位是秒,x的单位是米),求该质点的纵坐标在点M(8，6)处的变化速率．十四、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

设曲线x?y,x?2?y及y?0,围成一平面图形2

.(1)求这个平面图形的面积;(2)求此平面图形绕

x轴旋转而成的立体的体积.

高等数学试卷

试卷号：B020009

校名___________ 系名___________ 专业___________ 姓名___________ 学号___________ 日期___________

（请考生注意：本试卷共 页）

大题 成绩 一 二 三 四 五 六 七 八 九

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

x极限lim(1?)x?0a1、

bx　　(a?0，b?0)的值为b

bbe(A)1．　(B)ln　(C)ea．　(D)aa　　　　　　　　　　　　　　答（　　）2、

3

lim(1?cosx)cosx?x?0A．e　　B．8　　C．1　　D．?　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

3、

　　设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导记(Ⅰ)f(a)?f(b)(Ⅱ)在(a,b)内f?(x)?0则：(A)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充分但非必要条件(B)(Ⅰ)是(Ⅱ)的必要,但非充分条件(C)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充要条件(D)(Ⅰ)与(Ⅱ)既非充分也非必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　)34、

若?x0，f(x0)?为连续曲线,y?f(x)上的凹弧与凸弧分界点(A)　(x0，f(x0))必为曲线的拐点(B)　(x0，f(x0))必定为曲线的驻点(C)　x0为f(x)的极值点(D)　x0必定不是f(x)的极值点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答(　　)

,则(　　)5、

一长为Lcm的杆OA绕O点在水平面上作圆周运动.杆的线密度??r为杆上一点到O点的距离,角速度为?,则总动能??(A)　121r,?L　　(B)　2213?L　　(C)　2214?L　　(D)　2215?L22

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分3小题, 每小题3分, 共9分)

1、2、

答( )

?(3?x)dx?设f(x)?23_______________.

__________?x0t(t?1)dt，则f(x)的单调减少的区间是?

3、对于?的值，讨论级数n?1（1）当??????时，级数收敛 （2）当??????时，级数发散 三、解答下列各题

(本大题共3小题，总计13分) 1、(本小题4分)

?(nn??1)

验证f(x)?x在[2,4]上拉格朗日中值定理的22、(本小题4分)

级数

10 n?1是否收敛，是否绝对收敛？ 3、(本小题5分)

正确性

???1??n?n?1?2n10n??3??x???,?22??时，f?x??x。设f?x?是以2?为周期的函数，当又设S?x?是f?x?的

以2?为周期的Fourier级数之和函数。试写出S?x?在???,??内的表达式。

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计23分) 1、(本小题2分)

求极限　limx?2x?12x?162x?9x?12x?4

x3322、(本小题2分)

x3求?(e?1)edx.3、(本小题4分)

22

x?1求?dx． 1x

4、(本小题7分)

5、(本小题8分)

试将函数

y?1x2求?x dx.在点x0?0处展开成泰勒级数。

五、解答下列各题 ( 本 大 题5分 )

?如果幂级数n?0在x??2处条件收敛，那么该 级数的收敛半径是多少? 试证之. 六、解答下列各题

(本大题共2小题，总计16分) 1、(本小题7分)

如图要围成三间长都为问x,y各等于多少时 y , 宽都为 x 的长方形屋围 , 其墙的总长度为)a, , 所围成的总面积最大?(墙的厚度不计?anxn

2、(本小题9分)

求由曲线y?e2x

,x轴及该曲线过原点的切线所围成的平面图形的面积.

七、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

?chx，x?0，设　f(x)??,试讨论f(x)的可导性并在可导处求?ln(1?x)，x?0出f?(x)八、解答下列各题 ( 本 大 题6分 )

计算limx?0

?x0(a?b)dt，(a?0，b.?0)．ln(1?t)dttt?2x0九、解答下列各题

( 本 大 题12分 )

设函数f(x)在?a，b?上有连续导数b?2a?

(a?0)，又设x?rcos?，f(x)?rsin?．试证明：2?f(x)dx??r(?)d??bf(b)?af(a) ,其中??arctanf(a)a，??arctanf(b)b．

高等数学第一学期半期试题（06）

一、

一、 填空

1.

的连续点。 2．

???f(x)?????1. 设

cosxx?2a?a?xx,x?0(a?0),x?0当a= 时，x=0是f(x)

dydx＝ 。

设方程x?y?arctany?0确定了y?y(x),求lim1?acos2x?bcos4xxx43．

x?0

＝A，则a= ，b= ， A= 。

4．函数y?x2的极小值点为 。

5．设f (x) = x lnx在x0处可导，且f’(x0)=2,则 f (x0)= 。

6.设limf?x??f?0?x2x?0??1,则f(x)在x=0取得 （填极大值或极小值）。

x?0x?0 是否连续？是否可导？并求f(x)的导函数。

?1?x?1?函数f(x)??x?0,?二、

三、

lim三、 解下列各题

?1?2x?x22x?11．

x?0limx(3?3 2．x??21x?1x?2)；

dy2x?22?设曲线方程为??3．

x?t?2?sinty?t?cost,求此曲线在x=2 的点处的切线方程,及dx。

32

四、 四、 试确定a,b,c的值，使y=x+ax+bx+c在点(1,-1)处有拐点，且在

x=0处有极大值为1，并求此函数的极小值。

五、 五、 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角

形。 六、

六、 证明不等式：????,?e?????.

??2?f??.n???n? 七、 七、 y=f(x)与y=sin(x)在原点相切，求极限

八、 八、 设 f (x)在[0,1]上连续且在 (0,1 ) 内可导，且f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1. 证明：(1)至少有一点ξ∈(1/2,1)，使得f(ξ)= ξ; (2)???R ，存在??(0,?)，使得f’(?)-?[f(?)-?]=1

limn

高等数学第一学期半期试题（06）

二、

一、 填空

1.

的连续点。 2．

???f(x)?????1. 设

cosxx?2a?a?xx,x?0(a?0),x?0当a= 时，x=0是f(x)

dydx＝ 。

设方程x?y?arctany?0确定了y?y(x),求lim1?acos2x?bcos4xxx43．

x?0

＝A，则a= ，b= ， A= 。

4．函数y?x2的极小值点为 。

5．设f (x) = x lnx在x0处可导，且f’(x0)=2,则 f (x0)= 。

6.设limf?x??f?0?x2x?0??1,则f(x)在x=0取得 （填极大值或极小值）。

x?0x?0 是否连续？是否可导？并求f(x)的导函数。

?1?x?1?函数f(x)??x?0,?二、

九、

lim三、 解下列各题

?1?2x?x22x?11．

x?0limx(3?3 2．x??21x?1x?2)；

dy2x?22?设曲线方程为??3．

x?t?2?sinty?t?cost,求此曲线在x=2 的点处的切线方程,及dx。

32

十、 四、 试确定a,b,c的值，使y=x+ax+bx+c在点(1,-1)处有拐点，且在

x=0处有极大值为1，并求此函数的极小值。

十一、 五、 若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角

形。

十二、 六、 证明不等式：????,?e?????.

??2?f??.n???n? 十三、 七、 y=f(x)与y=sin(x)在原点相切，求极限

十四、 八、 设 f (x)在[0,1]上连续且在 (0,1 ) 内可导，且f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1. 证明：(1)至少有一点ξ∈(1/2,1)，使得f(ξ)= ξ; (2)???R ，存在??(0,?)，使得f’(?)-?[f(?)-?]=1

limn

高等数学I（05）

一、 一、 选择题（每题4分，共16分）

?1x1．

lim(1?x)?limxsin1x?0x??x?（ ）。

A、e； B、e?1； C、e?1； D、e?1?1

2．设f(x)?xlnx在x0处可导，且f?(x0)?2，则f(x0)?（ A、0； B、e； C、1； D、e2。 3．若sin2x是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?（ ）。

A、xsin2x?cos2x?C； B、xsin2x?cos2x?C；

C、

xsin2x?12cos2x?C； D、

xsin2x?12cos2x?C。

4．已知函数f(x)?x3?ax2?bx在x?1处取得极值?2，则（ ）。A、a??3,b?0且x?1为函数f(x)的极小值点； B、a?0,b??3且x?1为函数f(x)的极小值点； C、a??3,b?0且x?1为函数f(x)的极大值点； D、a?0,b??3且x?1为函数f(x)的极大值点。

二、填空题（每题5分，共20分） x1．

lime?e?x?0x?x 。

232．?x1?xdx? 。

?2(sinx1?cos3x)dx?3．

???2?x2 。

4．设?,?,?,?为向量，k为实数。若||?||?1,||?||?1，???，

??2???,??k???，???，则k? 。

三、计算下列各题（每题9分，共45分）

1．求极限limxxx?0?。

d2y2．函数

y?y(x)由方程ex?ey?xy?0确定，求dx2|x?0。

11?x23．求定积分

?22x2dx。

4．求过点(3,1,2)且与平面x?2z?1和y?3z?2平行的直线方程。

。 ）

5．设

?1?sinx, 0?x??f(x)??2?0, 其它?，求

?(x)??x0f(t)dt。

四、（7分）长为l的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问

这两段铁丝各为多长时，正方形的面积与圆的面积之和最小？

五、解答下列各题（每小题4分，共12分）

221．设曲线y?1?x (0?x?1)，x轴以及y轴所围区域被曲线y?ax(a?0)分成面积相等的两部分，求a。

2x??f(t)dt?102．设函数f(x)在[0,1]上连续，且0?f(x)?1。判断方程在

(0,1)内有几个实根？并证明你的结论。

1x3、设函数

2f(x)在[0,1]上可导，且f(1)?2?0xf(x)dx?0，求证在(0,1)内至少存

在一点?，使得

f?(?)??f(?)?。

高等数学第一学期半期试题（05）

一． 1．2．

一． 填空题：（共20分）

x?1?x?1?x?1x?1,(x?1)求dy设y?＝ 。

dydx设方程3x?y?arctany?0确定了y?y(x),求x?ax2＝ 。

3．设lim?x?4x?1x?1?A.。则a= , A=

4．函数y?x2x的极小值点为 。 5. 5.

?设f(x)???cosxx?2a?x,x?0,x?0a?x(a?0)当a＝ 时，x?0是f(x)的连续

点？

二． 二． （10分）若y?f(x)是奇函数且x=0在可导,

是什么类型的间断点？说明理由。

三． 三． （共20分）求下列极限

limx21(3xF(x)?f(x)x在x=0

1．x??3．四．

?3?1x?2)lim(1?2x)x22x?1； 2.x?0；

dy2设曲线方程为???x?t?2?sinty?t?cost2求此曲线在x=2 的点处的切线方程,及dx。

22四． （10分）证明：当x?0时，(x?1)lnx??x?1?。

x22?yb22?1五． 五． （10分）求内接于椭圆a三角形之面积的最大值。 六．

limxnx唯一的实根n(n>2)，并求n??，且底边与x轴平行的等腰

nn?12??x?x?1在（0，1）上必有六． （10分）证明：方程x?x。

1?acos2x?bcos4xx4x?0七． 七． （10分）确定常数a、b,使极限lim存在，

并求出其值。

八． 八． （10分）设f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，且 f (a) = f (b) =0,

证明：对???R,?c??a,b?，使得f??c???f?c?。

高等数学试卷（04）

一、

一、 填空题（将正确答案填在横线上）( 本 大 题 28分 )

321.曲线y?x?6x2.?16的拐点坐标是dx?_____________________,拐点的曲率K?_______.

??11(sinx?cosx)21?x

dx,I2?3.设I1??01sinxx?01sinx?1x?1dx,比较I1与I2的大小;I1___I2_______________

2??x?1?t4.求曲线?在t?2处的切线方程3??y?t

____5.求函数y?31?x(x?1)(x?2)2的间断点__________

?A，则有a?_______,A?______6.设limx?1x?ax?x?4x?1

7.已知向量a?mi?j?2k,b?2i?mj?3k,a?b; 则m =_______________

二、计算下列各题( 本 大 题12分 ) 1. ； 2. 三、(本 大 题6分 )

设函数y?y(x)由方程ln(y23?0??e?xsinxdxlim(x?01ln(1?x)?1)x。

?x)?xy?sinx确定，求dydxx?0.四、 ( 本 大 题8分 )

??k?ln(1?x)，x?0试讨论f(x)??的可导性,并在可导处求出sinx?　，x?0?en

f?(x)．

求极限limn??五、( 本 大 题6分 )

六、解答下列各题( 本 大 题12分 ) 1.

七、( 本 大 题 6 分 ) 求与两直线的平面方程。

八、( 本 大 题6分 )

设x??1,求1???（1xk?1n?n2?k2

2t）dt； 2.

x?11??x2?xdx.

l1:x?1,y?t?1,z?t?2及l2:y?12?z?11都平行且过原点

给定函数g(x),x?[0,1],且图(1)中的三条曲线分别是：y1?g(x),y2?g?(x),y3?那么其中C1为________,?1xg(x)dx在区间[0,0.8]上的图形，C2为______,C3为______.九 ( 本 大 题10分 )

设曲线段y?ex2

y轴所围成(0?x?1)和直线段y?a(1?a?e),记它们与的平面图形的面积为A1,与直线x?1所围成的平面图形的面A?A1?A2达到最小?积为A2,如图2。（1）求面积A?A1?A2的表达式；（2） a取何值时,可使面积十、 ( 本 大 题6分 )

设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且

f(a)?f(b)?0， g(x)?0,则在区间(a,b)内存在一点c，使得f?(c)g(c)?f(c)g?(c).

高等数学第一学期半期试题（04）

九． 1．

一． 试解下列各题：

x?1?x?1?x?1x?1,(x?1)求dy设y?。

2．设y?x?1设曲线方程为?2?3?x?2?2x6,求y?t?costy?。

3．4．

设方程???x?t?2?sintdy2,求此曲线在x=2 的点处的切线方程,及dx。

2x?y?arctany?0确定了y?y(x),求dydx。

F(x)?f(x)x十． 二． 若y?f(x)是奇函数且x=0在可导,

型的间断点？说明理由。

在x=0是什么类

?cosx,x?0?x?2f(x)??(a?0)a?a?x,x?0?x?十一． 三． 设

（1） （1） 当a为何值时，x?0是的连续点？ （2） （2） 当a为何值时，x?0是的间断点？

十二． 四． 求下列极限 1．x??limx21(3x?3n?1x?2)lim(1?2x)x22x?1； 2.x?0?2004；

??lim3．设n??n??(n?1)，求?，?。

22十三． 五． 证明：当x?0时，(x?1)lnx??x?1?。

x22?yb22?1十四． 六． 求内接于椭圆a面积的最大值。

limxnn??，且底边与x轴平行的等腰三角形之

nn?12??x?x?1在（0，1）上必有唯一的实十五． 七． 证明：方程x?x根xn(n>2)，并求

。

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