2024-2025第一学期数学分析试题(A)卷答案

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A 卷广州大学 2010-2011 学年第一学期考试卷参考答案

课程数学分析1 考试形式（闭卷，考试）

学院数学与信息科学系专业数学与应用数学、信息与计算科学

班级学号姓名题次分数评分

一 10 二 15 三 36 四 8 五 31 总分 100 评卷人一、填空题（2分 / 题，共10分）

1、limn?(n?2?n?2)= 2 。

n???n?2、设S??xx?(?1)n,n?N??，则supS?1；infS??1。

n?1??ln(1?x2)3、设f(x)?2 ，则0 为可去间断点；而1为第二类间断点。

x(x?1)?1?cosx?4、设f(x)??x2??ax?0x?0 ，若f(x)在点x?0处连续，则a?1 。 2?3x?2?5、lim??x???3x?1??

2x?1＝e2 。

二、单项选择题（3分/题，共15分）

1、函数y?f(x)在点x?x0处的导数存在是y?f(x)在该点连续的（ A ）。 A．充分而非必要条件； B．必要而非充分条件； C．充分必要条件； D．既非充分也非必要条件；

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2、下面结论中，正确的是 ( B )。

A．数列?an?收敛的充要条件是其偶子列?a2k?与奇子列?a2k?1?均收敛； B．数列?an?与数列?an?k?(k为正整数）同敛散； C．数列?an?收敛的充要条件是数列?an?收敛； D．数列?an?与数列?can?(c为任意常数）同敛散；

3、当x?0时，f(x)?ex?1?x与x?为同阶无穷小，则??（ C ）。 A．0 B．1 C．2 D．3 4、设f(x)在U(x0)有定义，则下列叙述错误的是 ( B )。 A．若f(x0?0)、f(x0?0)均存在且相等，则f(x)在x0必有极限； B．若f(x0?0)、f(x0?0)均存在且相等，则f(x)在x0必连续； C．若f??(x0)、f??(x0)存在，则f(x)在x0必连续； D．若f??(x0)、f??(x0)存在且相等，则f(x)在x0必可导；

15、函数f(x)=x+?2在 ?1,2?上满足Lagrange（拉格朗日）中值定理的

x?= ( D )。

A． -1 B. 1 C. 三、计算题（6分/题，共36分）

11??11、求数列极限 lim? + + … + ??。 n??n?1n?2n?n??3 D. 2 2解：由

11?n?1 + + … + ?????n?2n?n?n?1n?n?n?1n又 limnn?nn???1 与limn?1

n??n?1第 2 页共 6 页

11??1由迫敛性:lim? + + … + ??1。 ?n??n?1n?2n?n???sinx?2、求函数极限：lim??x?0??x?

1sinxln()1?cosxx11?cosx。

e解：原式=lim?x?0= ex?0?1?cosxlim1ln(sinx)x

cosx1?1sinxlnsinx?lnxsinxx limln()=lim=lim??x?01?cosxx?0x?0?x1?cosxsinxxcosx?sinxxcosx?sinx?xsinx1limlim?=lim===

x?0?x?0?x?0?xsin2xx33x23 ?原式=e

?133、若limx????2x2?4x?1?ax?b?0，确定常数a、b。

解：这是???型待定式，化成分式。原式左端分子有理化得：

x???lim(2?a2)x2?(4?2ab)x?1?b22x?4x?1?ax?b2?0

由此知2?a2?0,4?2ab?0 （洛必达）故a?2,b?2（a??2,b??2不符合题意，舍去）

1?2xsin,x?0?4、设f(x)??，求f?(x)。 x?x?0?0,

111解：x?0时，f?(x)?(x2sin)?=2xsin?cos

xxxf(x)?f(0)1x?0时，f?(0)?lim ?limxsin?0

x?0x?0x?0x11??2xsin?cos,x?0 ?f?(x)??xx?x?0?0,第 3 页共 6 页

5、求函数解：lny?y?x?sinx?3?1x的微分dy

。

1ln?x3?sinx? x1?1???1? 两边对x求导得：y'???ln?x3?sinx????ln?x3?sinx?'

y?x??x?3x2?cosxln(x3?sinx)= ?32x(x?sinx)x?3x2?cosxln(x3?sinx)? ?y??(x?sinx)??? 32x(x?sinx)x??31x?3x2?cosxln(x3?sinx)? 从而dy?(x?sinx)??dx ?32x?x(x?sinx)?31x6、设函数f可导，y?x?f(x2)，求y??。

解：y??f(x2)?x?f?(x2)?2x?f(x2)?2x2?f?(x2)

2222222????????2x?f(x)?4x?f(x)?2x?f(x)?2x y????f(x)?2x?f(x)??23 ?6x?f?(x)?4x??? f(2x )

四、应用题（8分）

设曲线的参数方程为x?1?t2,y?t?t2，

(1)求该曲线在t??1对应点的切线方程与法线方程；

d2y(2)计算二阶导数2。

dx解：（1）当t??1时，x?0,y??2

dy1?2t?dxt??1?2ty?2??t??13 故所求的切线方程为：23x，即：3x?2y?4?0 ………………4分 22法线方程为：y?2??x，即：2x?3y?6?0

3第 4 页共 6 页

ddyd1?2t11d2y???3 。（2）2? ()?dxdxdt?2td4tdx(1?t2)dt 五、证明题（4小题，共31分）

x21、设x?0，证明不等式：x??ln(1?x)?x 。（8分）

2x2证明：令f(x)?ln(1?x)?x?

21x2?1?x??0 则x?0时：f?(x)?1?x1?x?f(x)在(0,??)严格递增，由f(x)在x?0处连续且f(0)?0知：

x?0时，f(x)?f(0)?0

1x??0 1?x1?x?g(x)在(0,??)严格递增，由g(x)在x?0处连续且g(0)?0知：

x?0时，g(x)?g(0)?0

故：x?0时，ln(1?x)?x

综上命题得证。

x2故：x?0时，x??ln(1?x)；

令g(x)?x?ln(1?x)，则x?0时，g?(x)?1?

2、证明方程x5?2x2?4x?6?0在(?1,1)内有且仅有一实根。（8分）

证明：设f(x)?x5?2x2?4x?6 则（1）f(x)?x5?2x2?4x?6在[?1,1]上连续（2）f(?1)??1?0,f(1)?9?0 由根的存在定理，至少存在一点??(?1,1)，使f(?)?0

当x?(?1,1)时，f?(x)?5x4?4x?4?5x4?4(1?x)?0

?f(x)在(?1,1)严格递增

故：仅有唯一一点??(?1,1)，使f(?)?0

综上得：方程x5?2x2?4x?6?0在(?1,1)内有且仅有一实根。

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3、证明：f(x)?证明：∵f(x)?x在[0,??)上一致连续。（8x有闭区间[0,1]上连续，

分）

∴在[0,1]上一致连续；

以下证f(x)?x在[1,??)上一致连续:

?x1,x2?[1,??),|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|?|x1?x2||x1?x2|

?2x1?x2????0,???2?,?x1,x2?[1,??),当|x1?x2|??|f(x1)?f(x2)|??时，有

故f(x)?即f(x)?

x在区间[1,??)上一致连续； x在区间[0,??)上一致连续。

4、叙述极限limf(x)?A的归结原则，并证明limsinx不存在。（7分）

x???x???解：归结原则：

设f在[a,??)上有定义，则limf(x)?A的充要条件是：

x???对任何含于[a,??)且趋于正无穷的数列{xn}，都有limf(xn)?A。由sinx在

n??[0,??)上有定义，

设

??2n?,xn???2n??xn?2(n?1,2,)n??，

n?? 显然

??0,limsinxn???1 ????,xn?????(n??) 而 limsinxnxn??limsinxn??以及归结原则知：limsinx不存在。由limsinxnn??n??x???

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