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轻松学习班一次函数综合讲义

一、知识要点

1.函数概念的理解

(1)函数的定义中包括三个要素： ①自变量的取值范围；

②两个变量之间的对应关系；

③后一个变量被唯一确定而形成的变化范围．

(2)函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，必须是“对于x的每个值，y都有唯一的值与之对应”.

(3)自变量与函数都用什么字母表示无关紧要，自变量可用x表示，也可用t，u，p，…中的任何一个字母表示，函数可用y表示，也可用s，v，q，…中的任何一个表示.

唯一性是指对x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，这时才说y是x的函数.如：图11-1-1(甲)中反映的两个变量中y是x的函数，图11-1-1(乙)中反映的两个变量中y不是x的函数.

甲 乙

图11-1-1

2.判断两个函数是否为同一函数. 由函数的定义考虑两个方面： 一是看自变量的取值范围；

二看两变量之间的对应方式是否都相同.既要求函数自变量的取值范围相同，又要求相同自变量时，所对应的函数值也相同，即两个变量的对应方式相同.

3.观察函数的图象，获取相关信息. （1）最值； （2）增减性；

（3）点的坐标实际意义.

由图象中的最高点或最低点的坐标，可说明当自变量取何值时,函数值最大或最小.

从左向右观察函数的图象升降情况，可看出函数值随自变量的值增大时的增减情况.

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二、例题精讲

例1 选择题

(1)(2005安徽中考)函数y=2?3x自变量的取值范围是( )

222A.x≤-3 B.x≥-3 C.x≥3

2D.x≤3

x?3(2)(2005山西太原中考)函数y=x?4,自变量的取值范围是( )

A.x≥-3 B.x≠4

C.x≥-3或x≠4 D.x≥-3且x≠4 分析：①整式函数的自变量取值范围是全体实数；②分式函数的分母不能为0；③偶次根式函数中被开方数为非负数，奇次根式函数中自变量取值为全体实数;④零次幂、负整数幂函数中底数不能为0. 复合函数自变量取值范围是同时满足各基本条件函数式自变量取值范围.

解：(1)依题意，2-3x≥0，选D.

?x?3?0?(2)x应满足?x?4?0，选D.

解题关键 求函数自变量的取值范围的过程，实质上是解不等式（组）的过程.讨论函数自变量取值范围时，要抓住使基本函数式有意义的条件，实际问题的函数式还必须考虑不能使实际问题失去意义. 提高训练 (经典回放)小强在劳动技术课中要制作一个周长为80 cm的等腰三角形，请你写出底边长y(cm)与一腰长x(cm)的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.

分析：腰长x、底边长y要大于0，同时还要注意两腰之和2x大于底边长y.

解：y=80-2x ∵x+x=2x>y， ∴0

∴自变量x的取值范围是20

例2 (经典回放)某市的出租车的收费标准如下：3千米以内的收费6元；3千米到10千米部分每千米加收1.3元；10千米以上的部分每千米加收1.9元.那么出租车收费y(元)与行驶的路程x(千米)之间的函数关系用图象表示为( )

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解：图A中图象与题意中3千米以内收费6元不符，故A不对； 图C中图象与题意中10千米以上的部分每千米加收1.9元不符，故C不对；

图D中图象反映出10千米以上车费保持不变，与题意10千米以上的部分加收1.9元不符，故D也不对；只有B图象与题意相符，所以选B.

提高训练 出租车的收费标准是：2.5千米内收费4元；超过2.5千米后，每增加1千米加收1元（不足1千米的按1千米收费）.设某乘客乘车x千米，付费y元.在平面坐标系中画出函数的大致图象. 解：图象由一些线组成.

例3 (2005陕西中考)图11-1-2中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)汽车共行驶了___________ km；

(2)汽车在行驶途中停留了___________ h；

(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________ km/h； (4)汽车自出发后3 h至4.5 h之间行驶的方向是___________.

图11-1-2

分析：读懂图象所表达的信息，弄懂并熟悉图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程中时间和汽车位臵的变化过程，横轴代表行驶时间，纵轴代表汽车的位臵.

图象上的最高点就是汽车离出发点最远的距离.

汽车来回一次，共行驶了120×2=240(千米)，整个过程用时4.5小

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160时，平均速度为240÷4.5=3(千米/时)，行驶途中1.5时—2时之

间汽车没有行驶.

160答案：(1)240； (2)0.5； (3)3； (4)从目的地返回出发点.

解题关键：这类题是课本例题的变式，来源于生活，贴近实际，是中考中常见题型，应注意行驶路程与两地之间的距离之间的区别.本题图象上点的纵坐标表示的是汽车离出发地的距离，横坐标表示汽车的行驶时间.

提高训练 (2005辽宁沈阳中考)图11-1-3是某地一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答：

图11-1-3

在这一天中.

（1）什么时间气温最高?什么时间气温最低?最高气温和最低气温各是多少度?

（2）20时的气温是多少? （3）什么时间气温为6 ℃? (4)哪段时间内气温不断下降? 解：（1）16时气温最高，4时间气温最低，最高气温和最低气温分别是10 ℃和-4 ℃.

（2）20时的气温是8 ℃.

（3）10时和22时的气温都为6 ℃.

（4）2—4时、16—24时内气温不断下降. 三、自我训练 达标训练

1.下列变量之间的关系不是函数关系的是( ) A.长方形的宽一定，其长与面积 B.正方形的周长与面积 C.等腰三角形的底边与面积 D.球的体积与球的半径

2.(2005山西中考)图11-1-4中，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系，则它们行进的速度关系是( )

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图11-1-4

A.甲比乙快 B.乙比甲快 C.甲、乙同速 D.不一定

3.(2005广东佛山中考)图11-1-5中表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90 km的过程中，行驶的路程y km与经过的时间x h之间的函数关系．请根据图象填空：

图11-1-5

__________出发得早，早了__________小时，__________先到达，先到__________小时，电动自行车的速度为__________km/h，汽车的速度为__________km/h．

4.若点P(a+b,3)和点Q(1,a-b)都在函数y=2x-7的图象上,则P、Q点的坐标是( )

A.P(3,1)，Q(5,3) B.P(5,3)，Q(1,-5) C.P(5,-5)，Q(1,3) D.P(5,3)，Q(1,-3)

5.函数y=x?1?3?x的自变量范围在数轴上可以表示为( )

6.求下列函数自变量的取值范围.

1(1)y=2x+2； (2)y=x?1； (3)y=

2x?1；

2x?4(4)y=1?|x|.

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7.(经典回放)某居民小区以分期付款的形式福利售房，政府给予一定的补贴，小明家购得一套现价为120 000元的房子，购房时首期(第一年)付款30 000元，从第二年起，以后每年应付房款5 000元与上一年剩余欠款利息的和，设剩余欠款年利率为0.4%.

（1）若第x(x≥2)年小明家交付房款y元，求年付房款y（元）与x（年）的函数关系式；

（2）将第三年、第十年应付房款填入下列表格中： 年份 交房款30 000 （元）

8.(经典回放)某物体从上午7时至下午4时的温度M（ ℃）是时间t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为_________ ℃．

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一年 二年 5 360 三年 …… …… 十年 见缝插针修补知识漏洞 触类旁通提高学习能力

9.(2005江苏南京中考)某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图11-1-6中所示：

图11-1-6

根据图象解答下列问题：

（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？

（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升. ①求排水时y与x之间的关系式；

②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量.

10.某市对电话费作了调整，原市话费为每3分钟0.2元（不足3分钟按3分钟计算）.调整后，前3分钟为0.2元，以后每分钟加收0.1元（不足1分钟按1分钟计算）.设通话时间x分钟时，调整前的话费为y1元，调整后的话费为y2元.

（1）填写下表，并指出x取何值时，y1≤y2. x y1 y2 4 4.2 5.8 6.3 7.1 11 （2）当通话时间在10分钟以上时，请你设计较合算通话方案(可以分几次拨打).

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家庭作业

1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为__________，数值始终不变的量为__________.

2.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对x的每一个确定的值，y都有__________确定的值与其对应，那么我们就说y是__________的函数，其中x是__________.

3.对于自变量在取值范围内的一个确定的值x=a，函数y=b与之相对应，那么b叫做当自变量的值为a时的__________. 4.画函数的图象

(1)对于一个函数,如果把__________与__________的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

(2)用描点法作函数的图象一般经过三个步骤，它们依次是__________、__________、__________. 5.函数的表示方法:

函数的表示方法有三种,分别为__________、__________、__________.

Ⅰ.用表格列出自变量与函数的对应值，表示函数两个变量之间的关系，这种表示函数的方法叫做__________.

Ⅱ.用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做__________．

Ⅲ.用自变量x的各种数学运算构成的式子表示函数y的方法叫做____________．

在实际问题中，我们通常把具体的数值看作常量.

在列表时注意计算的准确性和找自变量取值的对称性；在描点时，纵、横坐标要找准确，特别是要描准确；在连线时要用平滑的曲线连结各点，要做到不重不漏，大多数图象在两端点处要延伸.

函数的三种表示方法，各有优点.列表比较直观，图象比较形象，解析式比较准确和简便.表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用.另外，函数的三种表示方法之间是可以相互转化的.

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待定系数法求函数解析式强化训练

1.已知直线y=kx+b经过点A（0，－1）、B（2，1）、C（5，a），求 （1）此直线解析式 ， （2）点C的坐标.

2.已知一次函数y=kx+b的图象经过点（－1，1）和点（1，－5），求当x=5时函数y的值.

3.一次函数y=kx+b的图象平行于正比例函数y=0.5x的图像，且过点（4，7），求一次函数的解析式以及与坐标轴的交点坐标.

4.已知一次函数y =kx+b在x =－4时,y =15,并且它的图象经过点( 6 , 5 ),求k、b的值

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5.已知 y =kx+b的图象过点P(2 , 1),且与直线y =-2x-3没有交点,

求这个一次函数解析式.

6.判断三点A（1，3）、B（ －2，0）、C（2，4）是否在同一条直线上

7.直线y=kx+b过点A（－1，5）且平行于直线y=－x. （1）求这条直线的解析式；（2）若点B（m，－5）在这条直线上，求m及ΔAOB的面积.

8. 如果一次函数y =kx +b的自变量x的取值范围是－2≤x≤6,相应的函数值范围是－11≤y≤9,求此函数的解析式.

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9.已知y－b 与x－a成正比例,当x =1时y = －2 ;当x = 3时y =2. 求y与x的解析式

10.直线L与直线y =2x+1的交点的横坐标为2，与直线y=－x+2的交点的纵坐标为1，求直线L的函数关系式.

11. 已知两条直线y = 0.5x+ 2.5和 y =－x+1分别与x轴交于A、B

两点,这两条直线的交点为P. (1)求P点的坐标;

(2)求ΔABP的面积 .

12.一次函数的图象过A（2，4），B（0，2）两点，且与x轴交于点C. （1）求这个一次函数的解析式 （2）求ΔAOC的面积

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13.一次函数图象与x轴正半轴交于点A,与y轴负半轴交于点B,与正比例函数y =x的图象交于点C, 若OB =4,C点横坐标为6.

23 (1)求一次函数解析式 ;

(2)求ΔABO的面积; (3)求原点O到直线AB的距离.

14.求直线y = 2x - 5与x轴和y轴所围成的三角形的面积.

15.已知直线L1： y = - 4x +3和直线L2 ：y = x – 6 求 直线 L1、L2和y轴所围成的三角形的面积 .

16.已知一条直线过点A（0，4）和点B（2，0），将这条直线向左平

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移与x轴负半轴，y轴负半轴交于C、D两点，使DB =DC，求直线CD的解析式.

17．.已知直线y = －x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，另一直线y=kx+b（b≠0）经过点B交x轴于点C，且把ΔAOB分成面积相等的两部分，求k和b的值.

18.如图一次函数y=k1x+b与正比例函数y=k2x的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于点B（0，－4），且AO=AB，ΔAOB的面积为6，求两函数的解析式.

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19.ΔABC的两个顶点分别为B（0 ，0）、C（4 ，0），第三个顶点A在直线y = -x+2上，

（1）当ΔABC是以BC为底的等腰三角形时，求A点的坐标； （2）当 ΔABC面积为2时，求A点的坐标.（3）当∠BAC=900时求点A的坐标.

20.画出函数y =| x－1| 的图像

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