最新2024年春人教版部编版九年级数学上册全册教案

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【新课标人教版】 九年级数学上册全册教案

第二十一章 二次根式

教材内容

1．本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标

1．知识与技能

（1）理解二次根式的概念．

（2）理解a（a≥0）是一个非负数，（a）2=a（a≥0），a2=a（a≥0）． （3）掌握a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b；

aaaa=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．

bbbb （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．

2．过程与方法

（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．

（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．

（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．

（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点

1．二次根式a（a≥0）的内涵．a（a≥0）是一个非负数；（a）2＝a（a≥0）；a2=a（a≥0）?及其运用．

2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点

1．对a（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（a）2＝a（a≥0）及a2=a（a≥0）的理解及应用．

2．二次根式的乘法、除法的条件限制．

3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键

1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神． 单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式 3课时 21．2 二次根式的乘法 3课时 21．3 二次根式的加减 3课时 教学活动、习题课、小结 2课时

21．1 二次根式

第一课时

教学内容

二次根式的概念及其运用 教学目标

理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键

1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=

3，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是___________． x问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．

A

问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=3，所以所求点的坐标（3，3）．

问题2：由勾股定理得AB=10 BC 问题3：由方差的概念得S= 二、探索新知 很明显3、10、4. 64，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我6”称为二

们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫做二次根式，“次根号．

（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，a有意义吗？ 老师点评:（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1、x（x>0）、0、42、x-2、

1、x?y（x≥0，y?≥0）． x?y”；第二，被开方数是正数或0．

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“

解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、x?y（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：33、141、2、． xx?y 例2．当x是多少时，3x?1在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?3x?1才能有意义．

解：由3x-1≥0，得：x≥

1 3 当x≥时，3x?1在实数范围内有意义． 三、巩固练习

教材P练习1、2、3． 四、应用拓展

例3．当x是多少时，2x?3+131在实数范围内有意义？ x?1 分析：要使2x?3+≠0．

解：依题意，得?11在实数范围内有意义，必须同时满足2x?3中的≥0和中的x+1x?1x?1?2x?3?0

?x?1?0 由①得：x≥-

3 2 由②得：x≠-1 当x≥-

31且x≠-1时，2x?3+在实数范围内有意义． 2x?1x的值．(答案:2) y 例4(1)已知y=2?x+x?2+5，求

(2)若a?1+b?1=0，求a2004+b2004的值．(答案:

2) 5 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：

1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业

1．教材P8复习巩固1、综合应用5．

2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》

第一课时作业设计 一、选择题

1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．-7 B．37 C．x D．x

2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）

A．4 B．16 C．8 D．1x

3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A．5 B．5 C．

15 D．以上皆不对 二、填空题

1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题

1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，试问底面边长应是多少？ 2．当x是多少时，2x?3x+x2

在实数范围内有意义？ 3．若3?x+x?3有意义，则x?2=_______．

4.使式子?(x?5)2有意义的未知数x有（ ）个．

A．0 B．1 C．2 D．无数

5.已知a、b为实数，且a?5+210?2a=b+4，求a、b的值．

第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B

二、1．a（a≥0） 2．a 3．没有

三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=5．

底面应做成正方形，?

3??2x?3?0?x?? 2．依题意得：?，?2

x?0???x?0∴当x>-

32x?3且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义． 2x3.

4．B

5．a=5，b=-4

1321.1 二次根式(2)

第二课时

教学内容

1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）． 教学目标

理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键

1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．

2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导出（a）

2

=a（a≥0）． 教学过程

一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？ 老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）

a（a≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

a（a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：

（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；

（1272

）=______；（）=_______；（0）2=_______． 32 老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．

同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（121727）=，（）=，（0）2=0，所以

3232（a）2=a（a≥0） 例1 计算 1．（72 3252

） 2．（35）2 3．（） 4．（）226 分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题．

解：（323） =，（35）2 =32·（5）2=32·5=45，

2272(7)27525?． （）=，（）=262426 三、巩固练习

计算下列各式的值：

（18）2 （922272

） （） （0）2 （4）438(35)2?(53)2

四、应用拓展

例2 计算

1．（x?1）2（x≥0） 2．（a2）2 3．（a2?2a?1）2 4．（4x2?12x?9）2

分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 （x?1）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（a2）2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2

又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴a2?2a?1=a2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴（4x2?12x?9）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3

分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：

1．a（a≥0）是一个非负数；

2．（a）2

=a（a≥0）;反之:a=（a）2

（a≥0）．

六、布置作业

1．教材P8 复习巩固2．（1）、（2） P9 7．

2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题

1．下列各式中15、3a、b2?1、a2?b2、m2?20、?144，二次根式的个数是（ A．4 B．3 C．2 D．1

2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0 二、填空题

1．（-3）2=________．

2．已知x?1有意义，那么是一个_______数． 三、综合提高题 1．计算

（1）（9）2 （2）-（3）2 （3）（126）2 （4）

（-322

3） (5) (23?32)(23?32)

． ） 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）

1 （4）x（x≥0） 63．已知x?y?1+x?3=0，求xy的值．

4．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5

第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C

二、1．3 2．非负数

三、1．（1）（9）2=9 （2）-（3）2=-3 （3）（

12136）2=×6=

42（4）（-3222

）=9×=6 (5)-6

332．（1）5=（5）2 （2）3.4=（3.4）2

（3）

112

=（） （4）x=（x）2（x≥0） 66 3．??x?y?1?0?x?3y4

x=3=81 ??x?3?0?y?44.（1）x2-2=（x+2）（x-2）

（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+3）（x-3） (3)略

21.1 二次根式(3)

第三课时

教学内容

a2＝a（a≥0）

教学目标

理解a2=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．

通过具体数据的解答，探究a2=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键

1．重点：a2＝a（a≥0）． 2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a≥0时，a2＝a才成立． 教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容； 1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式； 2．a（a≥0）是一个非负数； 3．(a)2＝a（a≥0）．

那么，我们猜想当a≥0时，a2=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知

（学生活动）填空：

122=_______；0.012=_______；()2=______；

1023()2=________；02=________；()2=_______． 37

（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

12312322=2；0.012=0.01；()2=；()2=；02=0；()2=．

10371037 因此，一般地：a2=a（a≥0） 例1 化简

22 （1）9 （2）(?4) （3）25 （4）(?3) 分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，

（4）（-3）2=32，所以都可运用a2=a（a≥0）?去化简．

22解：（1）9=32=3 （2）(?4)=4=4

2（3）25=52=5 （4）(?3)=32=3 三、巩固练习 教材P7练习2． 四、应用拓展

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