电大工程数学形成性考核册作业【1-4】答案参考小抄

电大工程数学作业（一）答案（满分100分）

第2章 矩阵

（一）单项选择题（每小题2分，共20分） ⒈设，则（D ）．

A. 4 B. －4 C. 6 D. －6 ⒉若，则（A ）．

A. B. －1 C. D. 1 ⒊乘积矩阵中元素（C ）．

A. 1 B. 7 C. 10 D. 8 ⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B）． A. B. C. D.

⒌设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D ）． A. B.

C. D.

⒍下列结论正确的是（ A）．

A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵 B. 若均为阶对称矩阵，则也是对称矩阵 C. 若均为阶非零矩阵，则也是非零矩阵 D. 若均为阶非零矩阵，则 ⒎矩阵的伴随矩阵为（ C）． A. B. C. D.

⒏方阵可逆的充分必要条件是（B ）． A. B. C. D.

⒐设均为阶可逆矩阵，则（D ）． A. B. C. D.

⒑设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）． A. B. C. D.

（二）填空题（每小题2分，共20分） ⒈ 7 ．

⒉是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ． ⒊若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 5×4 矩阵．

?15?

⒋二阶矩阵??．

01??

?06?3? ⒌设，则??

5?18??⒍设均为3阶矩阵，且，则 72 ．

⒎设均为3阶矩阵，且，则 －3 ． ⒏若为正交矩阵，则 0 ． ⒐矩阵的秩为 2 ．

?A1?1 ⒑设是两个可逆矩阵，则??OO?． ?1?A2?（三）解答题（每小题8分，共48分） ⒈设，求⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．

答案：A?B???03??18?? A?C???66??04?? 2A?3C???1716??37??

A?5B???2622??120?? AB???77???5621??2312?? (AB)C???15180??

⒉设，求．

解：AC?BC?(A?B)C???024???201???114???3?21???6?410? ????002????2210?? ⒊已知，求满足方程中的．

解：?

??8?432?1?? ? X?11?3?2?2(3A?B)?2??252??5??????7115????121? ?7115????222?? ⒋写出4阶行列式

中元素的代数余子式，并求其值．

020120答案：a41?(?1)4?1436?0 a4?242?(?1)?136?45

2?530?53 ⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：

⑴ ； ⑵ ； ⑶ ． 解：

（

1

?122100?22100?2?r2?0?2?12?A|I????21?2010??2r?r?21????2r11???r3???0?3?6?210?3r1?1?????2r2???r3???0?3?6?3230??10???2?21001????0?6?3?201????0092?21???????120???122??13r20?233??2r9?1?13?r1009??9?r3??122?10????2r?13???r2??0119?2??002?0013231????00199?9???2?9?299????9?21?99???122???99?A?1??219?2??99? ?2??9?219???99??）

（2）A?100?22?6?2617??1??175??1120?13?0?1???(过程略) (3) A????1?0?1102?1????4?1?530?1???00?0?? 0??1? ⒍求矩阵的秩．

011011??r?r?112?0?r1?r3101100??2r?r14?????????0012101??113201??0解：

?1011011??01?101?1?1??r3?r4???????00011?10????0000000??1?1??1??21??1?01?101?1?1??r?r24???????00011?10???1?112?2?1??0011011?1?101?1?1??0011?10??0011?10?01101? R(A)?3

（四）证明题（每小题4分，共12分） ⒎对任意方阵，试证是对称矩阵．

证明：(A?A')'?A'?(A')'?A'?A?A?A'

? 是对称矩阵

⒏若是阶方阵，且，试证或． 证明：? 是阶方阵，且

? AA??AA??A?I?1 ? 或A??1

⒐若是正交矩阵，试证也是正交矩阵． 证明：? 是正交矩阵

? A?1?A?

2? (A?)?1?(A?1)?1?A?(A?)?

即是正交矩阵

工程数学作业（第二次）(满分100分)

第3章 线性方程组

（一）单项选择题(每小题2分，共16分) ⒈用消元法得的解为（C ）． A. B. C. D. ⒉线性方程组（B ）．

A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解 ⒊向量组的秩为（ A）．

A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 ⒋设向量组为，则（B ）是极大无关组． A. B. C. D.

⒌与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）． A. 秩秩 B. 秩秩 C. 秩秩 D. 秩秩

⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．

A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解

⒏若向量组线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量

9．设A，Ｂ为n阶矩阵，?既是Ａ又是Ｂ的特征值，x既是Ａ又是Ｂ的属于?的特征向量，则结论（ ）成立． Ａ．?是AB的特征值 Ｂ．?是A+B的特征值

Ｃ．?是A－B的特征值 Ｄ．x是A+B的属于?的特征向量

10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似． Ａ．AB?BA Ｂ．(AB)??AB Ｃ．PAP?1?B Ｄ．PAP??B

（二）填空题(每小题2分，共16分)

⒈当 １ 时，齐次线性方程组有非零解． ⒉向量组线性 相关 ． ⒊向量组的秩是 ３ ．

⒋设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量是线性 相关 的． ⒌向量组的极大线性无关组是?1,?2．

⒍向量组的秩与矩阵的秩 相同 ．

⒎设线性方程组中有5个未知量，且秩，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个． ⒏设线性方程组有解，是它的一个特解，且的基础解系为，则的通解为X0?k1X1?k2X2． 9．若?是Ａ的特征值，则?是方程?I?A?0 的根． 10．若矩阵Ａ满足A?1?A? ，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．用消元法解线性方程组 解

??1?3?2?16??3r?r?1?3?2?16?3r?r?101923?48?A??3?8150?2121rr1?r3?1?r40178?18?5?r2r2?r3?1?r0178?18????21?41?12?????????0?5?8?10????4??02739?90????14?1?32?????01?3?48????0?00?10?1226??3r4?r??101923?48??01923?48?0042?124????13???0178?18??19r3?r1?12r4178?18?1015?46???003?312?????3?r3?11??0?001?14???75rr3?r23??????r?4??0?001?14???0056?13????0056?13????00011?33?? ：

?11?0r411??????0??00100042?124??42r?r?141??0?15r4?r2015?46?r4?r3???????01?14???01?3??00100001002??x1?2?0?1?? ?方程组解为?x2??1

?01??x3?1??1?3??x4??3

２．设有线性方程组

为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?

解：

?11??2??r?r?11???111?12?????r??r1?r31?r3A??1?1????1?1???????0??11??????2??111??01??1??2??11????????1?1????2?r3?r????0??11???(1??)?2??00(2??)(1??)(1??)(1??)??2?2?????2?1??3??］

? 当??1且???2时，R(A)?R(A)?3，方程组有唯一解

当??1时，R(A)?R(A)?1，方程组有无穷多解

３．判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式．其中

解：向量能否由向量组?1,?2,?3线性表出，当且仅当方程组?1x1??2x2??3x3??有解

??23?5?8??1?7?5?6?3??0????????????这里 A???1,?2,?3,?????1?0037?????3?21?10??0037?1?341?? 010?117??00571?R(A)?R(A)

? 方程组无解

? 不能由向量?1,?2,?3线性表出

４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关

3?11??1?1??1?7?39??0?????????????0解：??1,?2,?3,?4???2806?????39?33???0???413?36???03?1100010001?2??18? ?0?0???该向量组线性相关

５．求齐次线性方程组

的一个基础解系．

解：

??1?31?2?5?2??35?1?rr?r?1?31?A???51?23?12?13?rr3??0?143?7?14r2?r?1?10????1??r4?????rr2?r3142?27? ??1?112?5??0?143?7?????r4????0?143?0000???3504????014?310????0003???051??1r?1?1?r3?r1?1050??2?14?1???0514??r?143??r4??12?214?01?312??112??3??r3??1?32???1?2r3???r2???01?30?? ?000143?01?????00014???000141???0000????0000????0000????x1??5x3?5??14??14?? 方程组的一般解为??x3?3?2?x3 令x3?1，得基础解系 ???? ?14?14??0??x4?0????1?? ６．求下列线性方程组的全部解．

解

??1?52?311?3r?r?1?52?311??591A???31?42?5?r121?r3??728?r2?r?1????14r?107??1?90????5r1???r4??0?142?2?r2?r32??r4????0?142?27?417??0?142?728??0000?536?1?1????028?414?56????0000??1097?11??7??1??14?r2??12?01?12?2??x?1??x3?1x4?1 ?方程组一般解为???92?000700????x1

2??x?1x?2?0000??340?72?令x3?k1，x4?k2，这里k1，k2为任意常数，得方程组通解

???7k?1??7??1??x1??1k2?1????x?2???929??2??1???1k1??1??1???2?1?k2?2??k?x1???k2??????

3??72??7??2???x??k??1??0??0?4??1?k2????0????1???0??７．试证：任一４维向量???a?1,a2,a3,a4?都可由向量组

??1??1??1??1??1??0????1??1??1??0?，?2????0?，?3???，?4??? ?0????0????1??0????1??1??线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．

1??28?0??0?? ：

?1??0??0??0??0??1??0??0???????证明：?1? ?2??1? ?3??2? ?4??3??? ?0??0??1??0?????????000???????1?任一４维向量可唯一表示为

?a1??1??0??0??0??a??0??1??0??0?2?????a1???a2???a3???a4???a1?1?a2(?2??1)?a3(?3??2)?a4(?4??3)?a3??0??0??1??0????????????0??0??0??1??a4??(a1?a2)?1?(a2?a3)?2?(a3?a4)?3?a4?4

⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解．

证明：设AX?B为含n个未知量的线性方程组 该方程组有解，即R(A)?R(A)?n

从而AX?B有唯一解当且仅当R(A)?n

而相应齐次线性方程组AX?0只有零解的充分必要条件是R(A)?n

? AX?B有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX?0只有零解

19．设?是可逆矩阵Ａ的特征值，且??0，试证：是矩阵A?1的特征值．

?证明：??是可逆矩阵Ａ的特征值

? 存在向量?，使A????

?

I??(A?1A)??A?1(A?)?A?1(??)??A?1???

?A?1??即

1??

1是矩阵A?1的特征值 ?222210．用配方法将二次型f?x1?x2?x3?x4?2x1x2?2x2x4?2x2x3?2x3x4化为标准型．

解：

2222f?(x1?x2)2?x3?x4?2x2x4?2x2x3?2x3x4?(x1?x2)2?x3?2x3(?x2?x4)?x4?2x2x4 2 ?(x1?x2)2?(x3?x2?x4)2?x2? 令y1?x1?x2，y2?x3?x2?x4，y3?x2，x4?y4 ?x1?y1?y3??x2?y3即?

x?y?y?y234?3??x4?y4222则将二次型化为标准型 f?y1 ?y2?y3工程数学作业（第三次）(满分100分)

第4章 随机事件与概率

（一）单项选择题

⒈为两个事件，则（ B）成立． A. B. C. D.

⒉如果（ C）成立，则事件与互为对立事件． A. B.

C. 且 D. 与互为对立事件

⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D ）． A. B. C. D.

4. 对于事件，命题（C ）是正确的． A. 如果互不相容，则互不相容 B. 如果，则

C. 如果对立，则对立 D. 如果相容，则相容

⒌某随机试验的成功率为p(0?p?1),则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D ）． A.(1?p)3 B. 1?p3 C. 3(1?p) D. (1?p)3?p(1?p)2?p2(1?p) 6.设随机变量，且，则参数与分别是（A ）．

A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.2 7.设为连续型随机变量的密度函数，则对任意的，（A ）． A. B. C. D.

8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）． A. B. C. D.

9.设连续型随机变量的密度函数为，分布函数为，则对任意的区间，则P(a?X?b)?（ D）． A. B. C. D. 10.设为随机变量，，当（C ）时，有． A. B. C. D. （二）填空题

⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为2.已知，则当事件互不相容时， 0.8 ， 0.3 ． 3.为两个事件，且，则P?A?． 4. 已知，则1?P．

5. 若事件相互独立，且，则p?q?pq．

6. 已知，则当事件相互独立时， 0.65 ， 0.3 ．

2． 5x?0?0?7.设随机变量，则的分布函数?x0?x?1．

?1x?1?8.若，则 6 ． 9.若，则2?(3)．

10.称为二维随机变量的 协方差 ． （三）解答题

1.设为三个事件，试用的运算分别表示下列事件： ⑴ 中至少有一个发生； ⑵ 中只有一个发生； ⑶ 中至多有一个发生； ⑷ 中至少有两个发生； ⑸ 中不多于两个发生； ⑹ 中只有发生．

解:(1)A?B?C (2)ABC?ABC?ABC (3) ABC?ABC?ABC?ABC (4)AB?AC?BC (5)A?B?C (6)ABC

2. 袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率： ⑴ 2球恰好同色；

⑵ 2球中至少有1红球． 解:设A=“2球恰好同色”，B=“2球中至少有1红球”

P(A)?22C3?C22C5112C3C2?C33?126?39?? P(B)??? 21051010C53. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道

工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率． 解：设Ai?“第i道工序出正品”（i=1,2）

P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?(1?0.02)(1?0.03)?0.9506

4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．

解：设A1?\产品由甲厂生产\ A2?\产品由乙厂生产\ A3?\产品由丙厂生产\

B?\产品合格\

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)

?0.5?0.9?0.3?0.85?0.2?0.80?0.865

5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是，求所需设计次数的概率分布． 解：P(X?1)?P

P(X?2)?(1?P)P

P(X?3)?(1?P)2P

…………

P(X?k)?(1?P)k?1P

…………

故X的概率分布是

23??k????1?p(1?p)p(1?p)2p??(1?p)k?1p??? ??6.设随机变量的概率分布为

试求．

解：

P(X?4)?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?P(X?4)?0.1?0.15?0.2?0.3?0.12?0.87 P(2?X?5)?P(X?2)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)?0.2?0.3?0.12?0.1?0.72 P(X?3)?1?P(X?3)?1?0.3?0.7 7.设随机变量具有概率密度

试求．

12??120122x01解：P(X?)?2?f(x)dx??2xdx??1 41P(?X?2)?48. 设，求． 解：E(X)??214f(x)dx??1142xdx?x2114?15 16?????xf(x)dx?x?2xdx?0???123x310?2 32411x0?

??042121D(X)?E(X2)?[E(x)]2??()2?

2318E(X2)??x2f(x)dx??1x2?2xdx?9. 设X~N(1,0.62)，计算⑴；⑵． 解：

P(0.2?X?1.8)?P(?1.33?P(X?0)?P(X?1?1.33)??(1.33)??(?1.33)?2?(1.33)?1?2?0.9082?1?0.8164 0.2X?1?1.67)?1??(1.67)?1?0.9525?0.0475 0.6n10.设是独立同分布的随机变量，已知，设，求．

1解：E(X)?E(n ??i?1Xi)?11E(X1?X2????Xn)?[E(X1)?E(X2)????E(Xn)] nn1n??? nn1D(X)?D(n ??i?1Xi)?1n2D(X1?X2????Xn)?1n2[D(X1)?D(X2)????D(Xn)]

1122?n??? 2nn

工程数学作业（第四次）

第6章 统计推断

（一）单项选择题

⒈设是来自正态总体（均未知）的样本，则（A）是统计量． A. B. C. D.

⒉设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（D）不是的无偏估计． A. B.

C. D.

（二）填空题

1．统计量就是 不含未知参数的样本函数 ．

2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法．

3．比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ．

4．设是来自正态总体（已知）的样本值，按给定的显著性水平检验，需选取统计量U? 5．假设检验中的显著性水平为事件|x??0|?u（u为临界值）发生的概率．

（三）解答题

1．设对总体得到一个容量为10的样本值

4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0 试分别计算样本均值和样本方差．

x??0?/n．

1101解： x?x??36?3.6 ?i10i?110

11012 s? (x?x)??25.9?2.878?i10?1i?192

2．设总体的概率密度函数为

试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数． 解：提示教材第214页例3

2x?11??1n矩估计：E(X)??x(??1)xdx? ?x??xi,???01?x2??ni?11?最大似然估计：

L(x1,x2,?,xn;?)??(??1)xi??(1??)n(x1x2?xn)?

i?1nndlnLnlnL?nln(??1)???lnxi,???lnxi?0，????d???1i?1i?1nn?lnxi?1n?1

i 3．测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m）：

108.5 109.0 110.0 110.5 112.0

测量值可以认为是服从正态分布的，求与的估计值．并在⑴；⑵未知的情况下，分别求的置信度为0.95的置信区间．

151522??x??xi?110 ???s?解： ??(xi?x)?1.875

5i?15?1i?1 （1）当时，由1－α＝0.95，?(?)?1??2?0.975 查表得：??1.96

故所求置信区间为：[x???n,x???n]?[108.6,111.4]

222 （2）当?未知时，用s替代?，查t (4, 0.05 ) ，得 ??2.776

故所求置信区间为：[x??sn,x??sn]?[108.3,111.7]

4．设某产品的性能指标服从正态分布，从历史资料已知，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平，问原假设是否成立． 解：|U|?|x??0?/n|?|17?204/10|?3?0.237，

4?3.162由?(?)?1??2?0.975 ，查表得：??1.96

因为 |U|?0.237 > 1.96 ，所以拒绝H0

5．某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm）：

20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5

问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（）．

解：由已知条件可求得：x?20.0125 s?0.0671

2|T|?|x??0s/n|?|20.0125?200.259/8|?0.035?0.1365 0.259??t(n?1,0.05)?t(9,0.05)?2.62

∵ | T | < 2.62 ∴ 接受H0

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