全国通用版2024版高考数学大一轮复习第七章立体几何第38讲空间点

第38讲 空间点、直线、平

面之间的位置关系

考纲要求 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理. 考情分析 2017·全国卷Ⅰ，6 2016·北京卷，6 2016·浙江卷，2 分值：5分

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的！！！！__两点__####在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

(2)公理2：过！！！！__不在一条直线上__####的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有！！！！__一个__####公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

(4)公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条！！！！__相交__####直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条！！！！__平行__####直线有且只有一个平面． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系

命题趋势 空间点、线、面的位置关系以位置关系的判断为主要考查点，同时也考查逻辑推理能力和空间想象能力. 1

??！！！！__平行__####，

①共面直线?

?！！！！__相交__####；?

②异面直线：不同在！！！！__任何__####一个平面内． (2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的！！！！__锐角(或直角)__####叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

?π?②范围：！！！！__?0，?__####.

2??

(3)平行公理：平行于！！！！__同一条直线__####的两条直线互相平行．

(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角！！！！__相等或互补__####.

3．直线与平面、平面与平面之间的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有！！！！__相交__####、！！！！__平行__####、！！！！__在平面内__####三种情况．

(2)平面与平面的位置关系有！！！！__平行__####、！！！！__相交__####两种情况．

1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．

(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．( × )

(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于点A，并记作α∩β＝A.( × ) (3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( × )

(4)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．( √ ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线．( × )

解析 (1)错误．当两个平面平行时，把空间分成三个部分． (2)错误．由公理3知应交于过点A的一条直线． (3)错误．应相交于直线BC，而非线段．

(4)正确．因为若c∥b，则由已知可得a∥b，这与已知矛盾． (5)错误．异面或平行．

2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( D ) A．一定平行 C．一定是异面直线

B．一定相交 D．一定垂直

解析 因为b∥c，a⊥b，所以a⊥c，即a与c垂直． 3．下列命题正确的个数为( C )

①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．

2

A．0 B．1 C．2 D．3

解析 ①错误，②③正确．

4．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( D )

A．相交或平行 C．平行或异面

B．相交或异面 D．相交、平行或异面

解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．

5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为！！！！__60°__####.

解析 连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.

一 平面的基本性质及应用

用平面的基本性质证明共点、共线、共面的方法

(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．

(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．

(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

【例1】 以下四个命题中，正确命题的个数是( B ) ①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0

B．1

C．2

D．3

3

解析 ①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，

E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四

边形中四条线段不共面．故只有①正确．故选B．

【例2】 已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是

BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：

1313

(1)E，F，G，H四点共面； (2)直线FH，EG，AC共点． 证明 (1)连接EF，GH. ∵E，F分别是AB，AD的中点，

∴EF∥BD.

11

又∵CG＝BC，CH＝DC，

33∴GH∥BD，∴EF∥GH， ∴E，F，G，H四点共面．

(2)由(1)知FH与直线AC不平行，但共面，∴设FH∩AC＝M， ∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC. 又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG， ∴M∈EG.∴FH，EG，AC共点．

二 空间两条直线的位置关系

判断空间两条直线的位置关系的方法

(1)异面直线，可采用直接法或反证法．

(2)平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理．

4

(3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．

【例3】 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．

解析 (1)不是异面直线．理由如下： 连接MN，A1C1，AC.

∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点， ∴MN∥A1C1. 又∵A1AC1C，

∴四边形A1ACC1为平行四边形． ∴A1C1∥AC，∴MN∥AC， ∴A，M，N，C在同一平面内， 故AM和CN不是异面直线． (2)是异面直线．证明如下： ∵ABCD－A1B1C1D1是正方体， ∴B，C，C1，D1不共面． 假设D1B与CC1不是异面直线，

则存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α， ∴D1，B，C，C1∈α，与ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾． ∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．

三 两条异面直线所成的角

两异面直线所成角的作法及求解步骤

(1)找异面直线所成的角的三种方法： ①利用图中已有的平行线平移；

②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；

5

③补形平移．

(2)求异面直线所成的角的三个步骤： ①作：通过作平行线，得到相交直线；

②证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角； ③算：通过解三角形，求出该角． 【例4】 已知正方体ABCD－A1B1C1D1. (1)求AC与A1D所成角的大小；

(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小． 解析 (1)如图所示，连接B1C.

由ABCD－A1B1C1D1是正方体，

易知A1D∥B1C，从而∠B1CA(或其补角)就是AC与A1D所成的角． ∵AB1＝AC＝B1C， ∴∠B1CA＝60°，

即A1D与AC所成的角为60°.

(2)如图所示，连接AC，BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

AC⊥BD，AC∥A1C1.

∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴EF∥BD.∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1，

即A1C1与EF所成的角为90°.

1．下列命题中正确的个数是( A )

①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行； ②异面直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b； ③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β.

6

A．0 B．1 C．2 D．3

解析 对于①，当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点P且与两条异面直线都平行的平面，故①错误；对于②，在如图1所示的三棱锥P－ABC中，PB⊥平面ABC，BA⊥BC，满足PA，PC两边在底面的射影相互垂直，但PA与PC不垂直，故②错误；对于③，在如图2所示的三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝AC＝PA＝2，

PB＝PC＝3，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥P－ABC不是正三

棱锥，故③错误；对于④，直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α，β可以平行，故④错误．所以正确命题的个数为0.故选A．

2．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱

DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是( D )

A．4π

B．π

C．2π

πD．

2

解析 连接DN，则△MDN为直角三角形，在Rt△MDN中，MN＝2，P为MN的中点，连接

DP，则DP＝1，所以点P在以D为球心，1为半径的球面上，又因为点P只能落在正方体上

11π2

或其内部，所以点P的轨迹的面积等于该球面面积的，故所求面积S＝×4πR＝.故选

882D．

3．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是 ( C ) A．两条相交直线 C．两个点

B．两条平行直线 D．一条直线和直线外一点

解析 如图，在正方体ABCD－EFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，

EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面

直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点．故选C．

7

4．如图，在直二面角E－AB－C中，四边形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝23，△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF＝3.

(1)证明：FB⊥平面PAC；

(2)求异面直线PC与AB所成角的余弦值．

解析 (1)证明：易得FB＝4，cos∠PFA＝cos∠BFA＝在△PAF中，

3. 2

PA＝PF2＋FA2－2PF·FA·cos∠PFA

＝

2

9＋12－2×3×23×2

2

3

＝3. 2

∵PA＋PF＝3＋9＝12＝AF，∴PA⊥BF.

∵平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC＝AB，

AB⊥AC，∴AC⊥平面ABEF.

∵BF?平面ABEF，∴AC⊥BF. ∵PA∩AC＝A，∴BF⊥平面PAC.

(2)过P作PM∥AB，PN∥AF，分别交BE，BA于M，N，∠MPC或其补角为PC与AB所成的角．连接MC，NC.

易得PN＝MB＝3352222

，AN＝，NC＝AN＋AC＝，BC＝22，PC＝PN＋NC＝7，MC＝222

135

＋7－4435－337

MB2＋BC2＝，cos∠MPC＝＝＝－. 211427

2××7

237

∴异面直线PC与AB所成角的余弦值为. 14

8

易错点 考虑问题不全面

错因分析：考虑问题不全面，忽略元素可能存在的多种情况，导致丢解．如本例中易忽略交点S在两平面之间还是两平面外侧，导致丢解．

【例1】 设平面α，β满足α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，若SA＝18，SB＝9，CD＝34，求SC的长度．

解析 设相交直线AB，CD确定的平面为γ，则γ∩α＝AC， γ∩β＝BD，由α∥β，得AC∥BD.

①当点S在两平面的同侧时，如图1，因为AC∥BD，

SBSD9SC－34所以＝，即＝，所以SC＝68.

SASC18SC②当点S在两平面之间时，如图2，因为AC∥BD，所以＝18SC68即＝，解得SC＝. 934－SC368综上知SC＝68或SC＝. 3

SASCSC＝，

SBSDCD－SC

【跟踪训练1】 在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线( D )

A．不存在 C．有且只有三条

B．有且只有两条 D．有无数条

解析 在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，

EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条与直线A1B1，EF，BC都相交．

课时达标 第38讲

[解密考纲]考查点、线、面的位罝关系，常以选择题或填空题的形式出现．

9

一、选择题

1．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的( C )

A．充要条件 C．必要不充分条件

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析 直线a，b平行时，由“l⊥a，l⊥b”?/ “l⊥α”；“l⊥α”?“l⊥a，l⊥b”，所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件．

2．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( A )

A．A，M，O三点共线 C．A，M，C，O不共面

B．A，M，O，A1不共面 D．B，B1，O，M共面

解析 连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，C，A四点共面． ∴A1C?平面ACC1A1. ∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.

又M∈平面AB1D1，∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点． 同理O，A为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点． ∴A，M，O三点共线．

3．正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( A )

A．相交

B．异面

C．平行

D．垂直

解析 如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．

4．已知空间中有三条线段AB，BC和 CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( D )

A．AB∥CD B．AB与CD异面 C．AB与CD相交

10

D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

解析 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．

5．(2018·黑龙江哈尔滨六中期中)下列命题正确的个数是( B ) ①梯形的四个顶点在同一平面内； ②三条平行直线必共面；

③有三个公共点的两个平面必重合；

④每两条相交且交点各不相同的四条直线一定共面． A．1

B．2

C．3

D．4

解析 对于①，由于梯形为平面图形，故四个顶点在同一平面内，所以①正确；对于②，如三棱柱的三条侧棱相互平行但不共面，故三条平行线可共面，也可不共面，所以②不正确；对于③，当这三点共线时，两个平面可以不重合，故③不正确；对于④，由平面的性质可得满足条件的四条直线必共面，故④正确．综上，①④正确．故选B．

6．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，

Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( A )

解析 方法一 对于B项，如图所示连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证C，D项中均有AB∥平面MNQ.故选A．

方法二 对于A项，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥

AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行．故

选A．

11

D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

解析 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．

5．(2018·黑龙江哈尔滨六中期中)下列命题正确的个数是( B ) ①梯形的四个顶点在同一平面内； ②三条平行直线必共面；

③有三个公共点的两个平面必重合；

④每两条相交且交点各不相同的四条直线一定共面． A．1

B．2

C．3

D．4

解析 对于①，由于梯形为平面图形，故四个顶点在同一平面内，所以①正确；对于②，如三棱柱的三条侧棱相互平行但不共面，故三条平行线可共面，也可不共面，所以②不正确；对于③，当这三点共线时，两个平面可以不重合，故③不正确；对于④，由平面的性质可得满足条件的四条直线必共面，故④正确．综上，①④正确．故选B．

6．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，

Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( A )

解析 方法一 对于B项，如图所示连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证C，D项中均有AB∥平面MNQ.故选A．

方法二 对于A项，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥

AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行．故

选A．

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