山东济南外国语学校2024-2025学年度第一学期高三质量检测数学理

山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期

高三质量检测数学试题（理科）2012.11

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

一、

选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）

1.设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5},B={2,5},则A∩(CUB)等于（ ） A.{2} B.{2,3} C.{3} D.{1,3} 【答案】D

3，4},所以A?（eUB）?{1，3，4}?{1,3,5}={1,3}，选D. 【解析】eUB?{1，2.复数=( )

1?2iA.2?i B.1?2i C.?2?i D.?1?2i 【答案】C 【解析】

5i1?2i?5i(1?2i)(1?2i)(1?2i)?5i?105??2?i，选C.

5i3. \x?1\是\|x|?1\的（ ）

A．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A

【解析】x?1?x?1或x??1，所以\x?1\是\|x|?1\充分不必要条件，选A.

?0(x?0)?4. 已知函数f(x)???(x?0)，则f(f(f(?1)))的值等于（ ）

?2???1(x?0)A.?2?1 B.?2?1 C.? D.0

【答案】C

【解析】f(?1)=??1，所以f(f(f(?1)))=f(f(??1))=f(0)=?，选C. 5.下列函数中既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（ ） A.y?x B.y?|x|?1 C.y??x?1 D.y?2 - 1 -

32?|x|22

【答案】B

【解析】函数y?x3为奇函数，排除A.当x?0时，函数y??x2?1和y?2?|x|为减函数，排除C,D,选B.

6. 函数f(x)?x3?3x?2的零点为（ ）

A.1,2 B. ±1,-2 C.1,-2 D.±1, 2 【答案】C

2【解析】由f(x)?x3?3x?2?0得x3?x?(2x?2)?0，即(x?1)(x2?)0?，解得x?1或x??2，选C.

7. 若点（a,9）在函数y?3x的图象上，则tan

33a?3的值为（ ）

A．0 B.?【答案】D

C.1 D.?3

【解析】因为点(a,9)在函数y?3x的图象上，所以3a?9，解得a?2，所以

a?tan?32?tan??33D. ，选8. 已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（2a-b）=0，则k=（ ） A. -12 B. -6 C. 6 D. 12 【答案】D

???【解析】因为a?(2a?b)?0，即(2,1)?(5,2?k)?0，所以10+2?k?0，即k?12，选D.

9. 数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1, an?1?3sn(n?1),则a6=( ) A.44 B.3 ×44+1 C . 3×44 D.44+1 【答案】C

【解析】由an?1?3sn(n?1)得an?2?3sn?1，两式相减得an?2?an?1?3an?1，即

an?2?an?1?3an?a?4an?1，，，即1所以n?2an?2an?1?4，a2?3S1?3，所以a6?a24?3?4，

44选C.

10.若a>0,b>0,且函数f(x)?4x?ax?2bx?2在x=1处有极值，则ab的最大值（）

32

- 2 -

A.2 B.3 C.6 D.9 【答案】D

【解析】函数的导数为f'(x)?f'(1?)12x?22ax?，2b函数在x?1处有极值，则有

即a?b?6，所以6?a?b?2ab，即ab?9，当且仅当a?b?31?2a2?b2?，

时取等号，选D.

11. 已知函数f(x)?2sin(?x??),x?R,其中??0,??????.若f(x)的最小正周期为

6?,且当x??2时, f(x)取得最大值,则( )

A. f(x)在区间[?2?,0]上是增函数 B. f(x)在区间[?3?,??]上是增函数 C. f(x)在区间[3?,5?]上是减函数 D. f(x)在区间[4?,6?]上是减函数 【答案】A 【解析】由T?2??13?6?，所以??13，所以函数f(x)?2sin(x??)，当x?31?2时，函数

?3取得最大值，即?f(x)?2sin(13x??2????2?2k?，所以???2k??13x??3??2k?，因为??????，所以???2k?，得?5??6k??x?,，

?函数的增区间为[?35?2)，由??2?3?2?2?6k?,?2?6k?]，当k?0时，增区间为[?25?2?6k?，

?2]，所以f(x)在区

间[?2?,0]上是增函数，选A.

12. 函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2,对任意x?R，f'(x)?2,则f(x)?2x?4的解集为( )

A.(-1，1) B.(-1，+∞) C.(-∞，-l) D.(-∞,+∞) 【答案】B

【解析】设F(x)?f(x)?(2x?4),则F(?1)?f(?1)?(?2?4)?2?2?0，

F'(x)?f'(x)?2，对任意x?R，有F'(x)?f'(x)?2?0，即函数F(x)在R上单调递增，

则F(x)?0的解集为(?1,??)，即f(x)?2x?4的解集为(?1,??)，选B. 注意事项：

1．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔在答题纸各题的答题区域内作答，不能写在试题

卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。要求字体工整，笔迹清晰．在草稿纸上答题

- 3 -

无效．

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题:本大题共4小题.每小题4分;共16分,将答案填在题中横线上. 13. 设m??10edx,n?x?e1x1dx，则m与n的大小关系为 。

【答案】m>n 【解析】m??10edx?exx10?e?1，n?lnxe1?1 ，所以m?n

14. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.

【答案】4

【解析】由三视图可知，该组合体是由两个边长分别为2,1，1和1,1,2的两个长方体，所以体积之和为2?1?1?1?1?2?4。

?x?y?10?15. 已知x和y是实数，且满足约束条件?x?y?2,则z?2x?3y的最小值是 .

?2x?7?【答案】

232

- 4 -

【解析】

z?2x?3y得y??23x?23z3做出不等式对应的可行域如图，由

，做直线y??z3223x，平移直线y??23x，由图象可知当直线经7322过C点时，直线y??z?2x?3y?2?72x??的截距最小，此时z最小，此为C(,),代入目标函数得。

?3?1322316. 具有性质：f()??f(x)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：

x ①y?x?1x;②y?x?1x;

??x,(0?x?1)?③y??0,(x?1)中满足“倒负”变换的函数是 .

?1??(x?1)?x【答案】①③ 【解析】当y?x?1x时，f()?x11x?x??f(x)，所以①满足“倒负”变换的函数。当y?x?1x??x,(0?x?1)?11时，f()??x?f(x)，所以②不满足“倒负”变换的函数。当y??0,(x?1)时，当

xx?1??(x?1)?xx?1时，0?1111?1，f()???f(x)，当0?x?1时，x?1，f()??x??f(x)，xxxx所以③满足“倒负”变换的函数，所以满足条件的函数是①③。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）

- 5 -

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csinA?acosC. （I）求角C的大小； （II）求3sinA?cos(B?18. （本小题满分12分）

如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x=4y相切于点A。 （1） 求实数b的值；

（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

19. （本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。 Ⅰ、求证：CE⊥平面PAD；

Ⅱ、若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°， 求四棱锥P-ABCD的体积.

Ⅲ、在满足（Ⅱ）的条件下求二面角B-PC-D的

余弦值的绝对值.

20. （本小题满分12分） 以下茎叶图记录了

甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

2

?4)的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小.

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数；

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望.

21. （本小题满分12分）在数列?an?中，已知a1?（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）求证：数列?bn?是等差数列；

（Ⅲ)设数列?cn?满足cn?an?bn，求?cn?的前n项和Sn.

- 6 -

1an?11,?,bn?2?3log4an414an(n?N).

*

xk22. （本小题满分14分）已知函数f(x)?(x?k)e.

2(1)求f(x)的单调区间；

f(x)?1e，求k的取值范围。

(2)若对?x?(0，??)，都有

（答案）高三质量检测数学试题（理科）2012.11

一、DCACB CDDCD AB 二、13、m>n 14、4 15、三、17、

232 16、①③

- 7 -

?y?x?b18【解析】（I）由?2得x2?4x?4b?0 (?)

?x?4y因为直线l与抛物线C相切,所以??(?4)2?4?(?4b)?0,解得b??1………………4分 （II）由（I）可知b??1,故方程(?)即为x2?4x?4?0,解得x?2,将其代入x2?4y,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x?2)?(y?1)?4………..12分 19、【解析】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE?平面ABCD,所以PA⊥CE, 因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PA?AD=A,所以CE⊥平面PAD…………….3分 (2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD?cos45?1,CE=CD?sin45?1. 又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以

SABCD?SABCE?S?BCD=AB?AE?112CE?DE=1?2?13?5212?1?1?5652??22,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所

以四棱锥P-ABCD的体积等于SABCD?PA?3?1?……………7分

（3）建立以A为原点，AB,AD,AP为x,y,z轴的空间坐标系，取平面PBC的法向量为n1=(1,01)，取平面PCD的法向量为n2=(1,1,3)， 所以二面角的余弦值的绝对值是

22211………………………………………………….12分

- 8 -

20、解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，

所以平均数为x?8?8?9?104?354;……………………………………….4分

（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=同理可得P(Y?18)?14216?18.

14;P(Y?20)?14;P(Y?21)?18.

;P(Y?19)?所以随机变量Y的分布列为：

Y P 17 18141418 14141819 1420 1421 18 EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×

18+18×+19×+20×

?14+21×=19…………………………………….12分

18、21、解：（Ⅰ）∵

an?1an

14∴数列｛an｝是首项为∴an14，公比为的等比数列，

分

1n*?()(n?N).????????????????????????????34?3log14（Ⅱ）∵bnan?2????????????????????????? 4分

∴bn?3log1()n?2?3n?2.??????????????????????? 5分

214∴b1?1，公差d=3

∴数列{bn}是首项b1?1，公差d（Ⅲ）由（Ⅰ）知，an∴cn∴Sn于是

1n?()4?3的等差数列.????????????????7分

，bn?3n?2（n?N*）

1n*?(3n?2)?(),(n?N)4?1?11.????????????????????????8分

， ①

12131n?11n?4?()?7?()???(3n?5)?()?(3n?2)?()444441213141n1n?1Sn?1?()?4?()?7?()???(3n?5)?()?(3n?2)?() ② 444444??????????????????????????????????? 9分 两式①-②相减得=

134Sn?112131n1n?1?3[()?()???()]?(3n?2)?() 444441n?1?(3n?2)?().???????????????????????????1124分

- 9 -

∴ Sn?23?12n?83/1n?1*?()(n?N).?????????????????????124分.

f(x)?1kx(x?k)ek2222、解：(1)

，令f(x)?0得x??k…………………………….3分

/当k?0时，f(x)在(??,?k)和(k,??)上递增，在(?k,k)上递减；

当k?0时，f(x)在(??,k)和(?k,??)上递减，在(k,?k)上递增…………………8分

k?1(2) 当k?0时，

f(k?1)?ek?1e；所以不可能对?x?(0，??)都有

4k2f(x)?1e；

当k?0时有（1）知f(x)在(0,??)上的最大值为

f(x)?1f(?k)?e，所以对?x?(0，??)都

f(x)?1e时，k的取值范

4k2有

[?12e即e,0)?1e??12?k?0，故对?x?(0，??)都有

围为

。…………………………………………………………………….14分

- 10 -

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