线性代数复习提纲2024.12

第一章： 消元法解线性方程组

教学要求：

1.会利用矩阵的初等行变换求矩阵的行阶梯形矩阵和行最简形矩阵； 2.会判断线性方程组是否有解，并能利用矩阵的初等行变换解线性方程组； 3.会求矩阵的秩 例题：

判断题：

1.齐次线性方程组永远有解；

2.方程个数小于未知量个数的齐次线性方程组必有非零解. 填空题：

骣1-12-3÷?÷??÷1.A=?0114÷的行最简形矩阵为 ； ÷?÷?÷?0026÷桫解答题：

?2x1?x2?3x3?1,?1. 用矩阵的初等行变换求非齐次线性方程组?4x1?2x2?5x3?4,的通解

?6x?3x?8x?5.23?12. 利用用矩阵的初等行变换讨论a取何值时，下面线性方程组：（1）有惟一解；（2）没有解；（3）有无穷多个解？并有在无穷多解时求解.

?(a?1)x1?x2?x3?0,??x1?(a?1)x2?x3?3, ?x?x?(a?1)x?a.23?13. 利用用矩阵的初等行变换讨论a,b取何值时,下面线性方程组有解, 并在有解的情况下求其通解.

ìx1+x2+x3+x4=0,????x2+2x3+2x4=1,?. í?-x+(a-3)x-2x=b,234?????3x1+2x2+x3+ax4=-1.?x1?x2?x3?0,?4.讨论t取何值时，齐次线性方程组?x1?2x2?3x3?0,（1）只有零解；（2）有非零解；

?x?3x?tx?0.23?1

1

（3）并在有非零解时求通解.

?a?15.求矩阵??1??11a1111a11??1?的秩. ?1?a?第二章 矩阵的运算

教学要求：

1.会进行矩阵的运算（加法、数乘、乘法（多项式）、转置）；并知道矩阵运算成立和不成立的运算律；

2.能利用矩阵的初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵； 3.能利用矩阵的初等行变换求解简单的矩阵方程； 4.能利用可逆矩阵的定义 例题：

判断题

1.A,B,C都是n阶方阵，满足AB?AC,且A可逆，则B?C 2.A,B,C都是n阶方阵，满足AB?AC,且A?O，则B?C

TT3.?AB??BA

T4.A是n阶方阵,则(A+B)(A-B)=A-B 5. A,B都是n阶可逆方阵时，AB可逆，且?AB?填空题：

?122?A?1B?1.

?236??324?3X?A）??（2B?X）1.已知A??, ??135??，B???1?35??，且（????则X= .

骣11÷?÷?2÷?÷2.A=?-2，f(x)=2x-x+1，则f(A)= . ÷?÷?÷÷?1桫3.B???B1?T?,则B? . ?B2? 2

4.设A是n阶方阵,且满足A?2A?E?O，则?A?2E?2?1? .

计算题：

TTT1.a=(1,2,1),求aa，aa及aaT()2013.

?101??1?10?????TT2. 设A??011?，B??012?,求（1）AB，（2）BA；（3）AB.

?11?1??023?????3.P???12??10?n,?????,AP?P?，求A

?14??02??1?111??2??4.利用初等行变换求矩阵A的逆矩阵：（1）A??100?；（2）A???0?1?11?????0?111??123?????5.设A??100?,B??234?,求矩阵X使得AX?B.

?1?11??143?????证明题：

010000210??0?； 3??2?1.设n阶方阵A满足A?2A?3E?O，利用定义证明A?3E,E?3A都可逆，并求其逆矩阵。

2.设A,B为n阶对称阵，证明AB是对称阵的充分必要条件为AB?BA。 3.设n维列向量a满足aa=T21TT，B=E+2aa,C=E-aa 2证明：1）B是对称矩阵；2）BC?E.

第三章 行列式

教学要求：

1.会简单行列式的计算（2、3、4阶或规律性很强的n阶行列式计算）； （包括正确、合理使用行列式的性质化简或展开） 2.能利用克拉默法则判断齐次线性方程组是否有非零解； 3.能利用方阵的行列式的运算性质计算行列式； 4.能利用行列式判断方阵可逆矩性，并解矩阵方程

3

例题：

判断题

1. A??aij?,B??bij?都是n阶方阵，则A?B?aij?bij.

11?102.D?211?21321,Aij为D中?i,j?元素的代数余子式，

?121111?10则AA111121?22?A23?A24?1321. ?121100013.

00200300??24 40004. E是3阶单位矩阵, ,则?2E??2 填空题

1. 已知A是3阶方阵,且A??2,则?AT? 2. 已知A是3阶方阵,且A??2,则AA*? 骣-1?3. ?-200?÷???013÷÷÷÷= ?桫012÷÷÷计算题：

111111?101. D?1234211?214916；D?1321.

182764?12112a?aa1??a2?an2. Da2?aa1a2???ann=????；Dn?????

aa?2a1a2?an?? 4

3.A是3阶方阵,B是2阶方阵,且A??2,B?1，求

2AO?1 ；2A

O?3B?212???4. 已知A??1tt?，讨论t为何值时（1）r(A)?2；(2)r(A)?3.

?t01????1????2?,求B 5.设A,B满足ABA?2BA?E,其中A???1???第四章 向量组的线性相关性

教学要求：

1.会判断一个向量能否由一组向量线性表示； 2.会判断向量组是线性相关还是线性无关；

3.会求向量组的极大线性无关组，并能用极大线性无关组表示向量组中其余向量；

4.会求齐次线性方程组的基础解系和通解，了解齐次线性方程组与非齐次线性方程组解之间的关联.

5.会证明简单的向量组线性无关或线性相关

6.会求向量内积、长度、夹角，会判断向量是否正交. 例题：

判断题

1.如果向量组?1,?2,?,?s线性相关，则其中任何一个向量都可以由其余向量线性表示. 2.线性无关的向量组的任意部分组都线性无关.

3.?1,?2是非齐次线性方程组AX??的两个线性无关解，则?1??2也是AX??的解. 4.等价的向量组含向量个数相同.

5.n元非齐次线性方程组Ax?b有唯一解，则其导出组Ax?0只有零解 填空题

骣骣骣l鼢11?珑?鼢?珑?鼢??鼢?1,a=l,a=11.a1=珑线性相关，则l= ； 珑?23鼢?珑?鼢?珑?鼢?珑?l?1鼢1桫桫桫 5

骣骣1鼢-1珑鼢珑鼢2鼢,b=2，则内积??,??= ，长度?? ； 2.设向量a=珑珑鼢珑鼢珑鼢珑1鼢1桫桫骣1鼢3.a1=珑?,a2珑鼢珑鼢s桫计算题：

骣t?正交，则s,t满足关系 ； 2桫1.求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并用其线性表示向量组中其余向量.

?1?(1,2,1,3)T,?2?(4,?1,?5,?6)T,?3?(1,?3,?4,?7)T,?4?(2,1,?1,0)T

2. 求下列矩阵的秩和列向量组的极大线性无关组，并用其表示向量组中其余向量.

?1?1A????1??111?10?110021022T12030??2?. ?1?3?T,1)?3,?T3.设??(0,k,k)可由?1?(1?k,1,1)?,2?(1,1?k(1,1,1?kT唯一的线性)表示，求k满足的条件.

x2?x3?x5?x6?0,???x?3x?x?x?3x?0,?123454. 求齐次线性方程组?的基础解系和通解

x?2x?x?6x?3x?0,3456?1???x1?5x2?3x3?x4?x5?2x6?0.证明题

1..设?1,?2,?3线性无关，且?1??1?2?2,?2??2?2?3,?3??3?2?1， 证明：?1,?2,?3线性无关.

2. 设?1,?2,?3线性无关，且?1??1,?2??1?2?2,?3??1?2?2?3?3， 证明：?1,?2,?3线性无关.

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骣骣1鼢-1珑鼢珑鼢2鼢,b=2，则内积??,??= ，长度?? ； 2.设向量a=珑珑鼢珑鼢珑鼢珑1鼢1桫桫骣1鼢3.a1=珑?,a2珑鼢珑鼢s桫计算题：

骣t?正交，则s,t满足关系 ； 2桫1.求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并用其线性表示向量组中其余向量.

?1?(1,2,1,3)T,?2?(4,?1,?5,?6)T,?3?(1,?3,?4,?7)T,?4?(2,1,?1,0)T

2. 求下列矩阵的秩和列向量组的极大线性无关组，并用其表示向量组中其余向量.

?1?1A????1??111?10?110021022T12030??2?. ?1?3?T,1)?3,?T3.设??(0,k,k)可由?1?(1?k,1,1)?,2?(1,1?k(1,1,1?kT唯一的线性)表示，求k满足的条件.

x2?x3?x5?x6?0,???x?3x?x?x?3x?0,?123454. 求齐次线性方程组?的基础解系和通解

x?2x?x?6x?3x?0,3456?1???x1?5x2?3x3?x4?x5?2x6?0.证明题

1..设?1,?2,?3线性无关，且?1??1?2?2,?2??2?2?3,?3??3?2?1， 证明：?1,?2,?3线性无关.

2. 设?1,?2,?3线性无关，且?1??1,?2??1?2?2,?3??1?2?2?3?3， 证明：?1,?2,?3线性无关.

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