【数学】江苏省扬州中学2024届高三最后一次模拟考试

（2）是否存在常数p,q(p

1pq(1?n)(1?n)，对n?N*，n?2恒成立？证明322答案

一、填空题

1. 四 2.{x|1?x?2} 3. 4. 4 5.(?1,3) 6.12? 7.55

138.?2 9. 2 10. 二、解答题

63π 11. 12. 425?2 13. 2?1或

5?11 14.

4215.（1）由已知及余弦定理，得

sinCab1?,?sinC?. ……………4分 cosC2abcosC2因为C为锐角，所以C?30?. …………………………………6分

6

16. （1）证明:设ACBD?O,连接EO,因为O,E分别是BD,PB的中点,所以

PD∥EO………4分

∥面 而PD?面AEC,EO?面AEC,所以PDAEC…………………………………………………7分

(2)连接PO,因为PA?PC,所以AC?PO,又四边形ABCD是菱形,所以

AC?BD…………10分

而PO?面PBD,BD?面PBD,POBD?O,所以AC?面

PBD…………………………13分

又AC?面AEC,所以面AEC?面

PBD………………………………………………………14分

17. 解:(1)对于曲线C1,因为曲线AOD的解析式为y?cosx?1,所以点D的坐标为

(t,cost?1)…2分

所以点O到AD的距离为1?cost,而AB?DC?3?t,则

3h1(t)?(3?t)?(1?cost)??t?cost?4(1?t?)……………4分

29422对于曲线C2,因为抛物线的方程为x??y,即y??x,所以点D的坐标为

49

7

4(t,?t2)……6分

9所以点O到

AD的距离为

42t,而AB?DC?3?t9,所以

43h2(t)?t2?t?3(1?t?)…………8分

92 (2)因为h1?(t)??1?sint?0,所以h1(t)在[1,]上单调递减,所以当t?1时,h1(t)取得最大值为3?cos1……………………………………………10分 又h2(t)?32493933(t?)2?,而1?t?,所以当t?时,h2(t)取得最大值为9816225…………………12分 2?1153因为cos1?cos?,所以3?cos1?3??, 故选用曲线C2,当t?时,点E322225到BC边的距离最大,最大值为分米……………………………15分

2x2y22222??1．…4分 18. 解：（1）a?2,b?c,a?b?c，?b?2，?椭圆方程为42（2）C(?2,0),D(2,0)，设M(2,y0),P(x1,y1)，则OP?(x1,y1),OM?(2,y0)．

直线CM：

??y1x?2y?y0，即y?0x?y0，……………………………5分 ?424y0222y01212)x2?y0x?y0?4?0．…………6分 代入椭圆x?2y?4得(1?822228y04(y0?8)2(y0?8)，． ?y??x1(?2)?,?x??11222y0?8y0?8y0?822(y0?8)8y0?OP?(?2,2)，………………………………………………8分

y0?8y0?8?2224(y0?8)8y04y0?32．…………………10分 ?OP?OM??2?2?2?4（定值）

y0?8y0?8y0?8（3）设存在Q(m,0)满足条件，则MQ?DP．

??24y08yMQ?(m?2,?y0)，DP?(?2,20)，…………………………13分

y0?8y0?8??224y08y0则由MQ?DP?0得 ?2(m?2)?2?0，从而得m?0．

y0?8y0?8?存在Q(0,0)满足条件．…………………………………………………………15分

??19. 解：(Ⅰ)依题意,得f'(x)?x2?2ax?b，由f'(?1)?1?2a?b?0得b?2a?1.

1从而f(x)?x3?ax2?(2a?1)x,故f'(x)?(x?1)(x?2a?1).

3令f'(x)?0,得x??1或x?1?2a.

8

①当a>1时, 1?2a??1

当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：

x

(??,1?2a)

+ 单调递增

(1?2a,?1)

－ 单调递减

(?1,??)

+ 单调递增

f'(x) f(x)

由此得，函数f(x)的单调增区间为(??,1?2a)和(?1,??)，单调减区间为(1?2a,?1)。 ②当a?1时，1?2a??1此时有f'(x)?0恒成立，且仅在x??1处f'(x)?0，故函数

f(x)的单调增区间为R

1?2a??1同理可得，③当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,?1)和(1?2a,??)，

单调减区间为(?1,1?2a)

综上：当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,1?2a)和(?1,??)，单调减区间为

(1?2a,?1)；

当a?1时，函数f(x)的单调增区间为R；

当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,?1)和(1?2a,??)，单调减区间为

(?1,1?2a).

（2）由a??1得f(x)?13x?x2?3x，f'(x)?x2?2x?3?0，得x1??1,x2?3 3由（1）得的f(x)单调增区间为(??,?1)和(3,??)，单调减区间为(?1,3)，故

5m2?4m?5m2?4mM(?1,).N(3,?9)。直线MP的方程为y?x?.

333?m2?4m?5m2?4my?x???33由?

1?y?x3?x2?3x?3?得x3?3x2?(m2?4m?4)x?m2?4m?0

线段MP与曲线f(x)有异于M，P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数 g(x)?x3?3x2?(m2?4m?4)x?m2?4m在(-1,m)上有零点.

9

因为函数g(x)为三次函数,所以g(x)至多有三个零点,两个极值点.

又g(?1)?g(m)?0.因此, g(x)在(?1,m)上有零点等价于g(x)在(?1,m)内恰有一个极大值点和一个极小值点,即g'(x)?3x2?6x?(m2?4m?4)?0在(1,m)内有两不相等的实数根. ??＝36?12（m2?4m?4）＞0??1?m?5?22??3(?1)?6?(m?4m?4)?0等价于? 即?m?2或m??1,解得2?m?5

22?m?1?3m?6m?(m?4m?4)?0??m?1?又因为?1?m?3,所以m 的取值范围为?2,3? 20. 解：（1）?an?是等差数列，∴

2222013?(a?b)?2013，即a?b?2.………2分

2所以c?a?b???2，c的最小值为2；……………………………4分

（2）设a,b,c的公差为d(d?Z)，则a2?(a?d)2?(a?2d)2?a?3d……5分 设三角形的三边长为3d,4d,5d，面积Sd?1?3d?4d?6d2(d?Z)，Sn?6n2，2T2n??S1?S2?S3???S2n?6[?12?22?32?42???(2n)2]?6(1?2?3?4????2n)?12n2?6n.………………………………7分

由T2n?6?2n?1得n?21n?2n， 当n?5时， 22n?1?n?n(n?1)1???2?2n?(n2?n)?n2?n，经检验当n?2,3,4时，2211n2?n?2n，当n?1时，n2?n?2n.………9分

22综上所述，满足不等式T2n?6?2n?1的所有n的值为2、3、4.……………10分 （3）证明：因为a,b,c成等比数列，b?ac. 由于a,b,c为直角三角形的三边长，知a?ac?c，

nn222c1?5，………11分 ?a2nn?1?5??1?5?c??a??????， 又5Xn??，得5Xn????????(n?N)?????a??c??2??2??1?5??1?5??1?5??????于是5Xn?5Xn?1???2???2???2???????nnn?1?1?5?????2???n?1

10

江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试

2013.5.17

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.） 1.复数2+i在复平面上对应的点在第 象限．

i2.已知集合A??x?1≤x≤2?,B??xx?1?,则A(CRB)= ． 3.已知直线l1：ax?y?2a?1?0和l2：2x?(a?1)y?2?0

开始 A 1, S 1 A≤M Y S S+2A A A+ 1 输出S 结束 N (a?R)，则l1?l2的充要条件是a? ．

4.如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中的整数M的值是 ．

5.若命题“?x?R，使得x2?(a?1)x?1?0”为假命题，则实数a的范围 ．

6.已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15?cm2，则此圆锥的体积为___________cm．

7.已知Sn是等差数列?an?的前n项和，若S7?7，S15?75，则数

2（第4题）

?S?列?n?的前20项和为 ． ?n?8.已知奇函数f(x)的图像关于直线x??2对称，当x??0,2?时，f(x)?2x，则f(?9)＝ ．

9.若点P是曲线y=x2-lnx上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为 ． 10.已知O为△ABC的外心，若3OA?4OB?5OC?0，则?C等于 ．

x2y211.已知A，B，P是双曲线2?2?1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线

ab1PA，PB的斜率乘积kPA?kPB?，则该双曲线的离心率为 ．

21,1)12.已知a,b,c成等差数列，点M(?1,0)在直线ax?by?c?0上的射影点为N，点P(则PN的最大值为_____________ ． 13.对于实数x，将满足“0?号

，

y?1且x?y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用符

?x?表示．已知无穷数列

{an}满足如下条件：①a1??a?；

1

??1????②an?1???an??0?为 ．

(an?0)(an?0)2．当a?1*时，对任意n?N都有an?a，则a的值314.已知函数f(x)?ax?使得f(x1)?f(x2)?13x?(a?0)，若在任意长度为2的闭区间上总存在两点x1,x2，241成立，则a的最小值为_____________． 4ab.

a2?b2?c2二、解答题：（15、16为14分，17、18为15分19、20为16分） 15.己知在锐角ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且tanC?（1）求角C大小；

（2）当c?1时，求a2?b2的取值范围．

16.如图,在四棱锥P?ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA?PC,E为PB的中点.

∥面AEC； (1)求证:PD(2)求证:平面AEC?平面PDB.

17．在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如

图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD的三边AB、BC、CD由长6分米的材料弯折而成,BC边的长为2t分米(1?t?A D P E

C B

第16题

y O A D x 3)；曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种:曲线C1是一段2余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为y?cosx?1),此时记门的最高点O到BC边的距离为h1(t)；曲线C2是一段抛物线,其焦点到准线的距离为

9,此时记门的最高点O到BC边的距离为8B 第17题

C h2(t).

(1)试分别求出函数h1(t)、h2(t)的表达式；

(2)要使得点O到BC边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?

2

x2y218．已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，短轴两个端点为A,B，且

ab四边形F1AF2B是边长为2的正方形． （1）求椭圆的方程；

（2）若C,D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD?CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：OM?OP为定值；

（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

19. 已知函数f(x)?yAPMCF1OF2DxB13x?ax2?bx,且3f???1??0

(1) 试用含a的代数式表示b，并求f(x)的单调区间；

（2）令a??1,设函数f(x)在x1,x2(x1?x2)处取得极值，记点M (x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，P(m,f(m)), x1?m?x2,若线段MP与曲线f(x)有异于M，P的公共点，试确定m的取值范围。

3

20.已知直角?ABC的三边长a,b,c，满足a?b?c

（1）在a,b之间插入2011个数，使这2013个数构成以a为首项的等差数列?an?，且它们的和为2013，求c的最小值；

（2）已知a,b,c均为正整数，且a,b,c成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S1,S2,S3,?,Sn，且Tn??S1?S2?S3???(?1)nSn，求满足不等式

T2n?6?2n?1的所有n的值；

c??a??（3）已知a,b,c成等比数列，若数列?Xn?满足5Xn????????(n?N)，证明：数

?a??c?列

nn?Xn中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且Xn是正整数.

?附加题部分

21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.

A.（选修4—1：几何证明选讲） 如图，

O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长

B

线交O于点E，过E 点的圆的切线交CA的延长线于P. 求证：PD?PA?PC.

B．（选修4—2：矩阵与变换）

2C

· O

D E

A

P

?1?1??10??,B?已知矩阵A??2，若矩阵AB对应的变换把直线l：x?y?2?0变为直????02?01??线l'，求直线l'的方程.

4

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，圆C的方程为??42cos(???4)，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正

半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为?得的弦AB的长度.

D.（选修4—5：不等式选讲） 已知x、y、z均为正数，求证：?x?t?1（t为参数），求直线l被C截

?y?t?13111111(??)?2?2?2. 3xyzxyz

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.由数字1，2，3，4组成五位数a1a2a3a4a5，从中任取一个．

（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数j?1?j?5?，至少存在另一个正整数k(1?k?5，且k?j)，使得aj?ak”的概率；

（2）记?为组成该数的相同数字的个数的最大值，求?的概率分布列和数学期望． 23.记(1?(1)求an

xxx)(1?2)???(1?n)的展开式中，x的系数为an，x2的系数为bn,其中n?N* 222 5

?1?5?????2???n?2?1?5?????2???n?2?5Xn?2.…………12分

?Xn+Xn?1?Xn?2，则有??Xn??2+Xn?1??2?Xn?2?.

2故数列

?Xn中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.……………14分

?1122???5?1??1?5???5?1??1?5??55???? 因为 X?，X??=1????????????12??2??2??2??=15??25????????????????X3?X1?X2?2?N?，……………………………………………………15分

由Xn?Xn?1?Xn?2，同理可得Xn?N?,Xn?1?N??Xn?2?N?，

故对于任意的n?N都有Xn是正整数.………………………………………16分

?数学附加题部分

21．A. 证明：连结OE，因为PE切⊙O于点E，所以∠OEP=90，所以∠OEB+∠BEP=90，因

为OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，因为OB⊥AC于点O，所以∠OBE+∠BDO=90………5分 故∠BEP=∠BDO=∠PDE，PD=PE，又因为PE切⊙O于点E，所以PE=PA·PC， 故PD=PA·PC………………………………………………………………………10分

2

2

0

0

0

??10??1B. 易得AB??? ?02??0?1??12?????1??01?2?……3分, 在直线l上任取一点P(x?,y?)，经矩?2?1?11?????x??y????xx?x?y?x??1??????阵AB变换为点Q(x,y)，则???，∴2??22，即???????y?02?y?????2y???y?2y?1??x?x?y??4……………8分 ??y??y??2代入x??y??2?0中得x?1yy??2?0, 42∴直线l?的方程为4x?y?8?0…………………10分

2C. 解：C的方程化为??4cos??4sin?，两边同乘以?，得??4?cos??4?sin22222?

由??x?y, x??cos?, y??sin?,得x?y?4x?4y?0……………5分

11

其圆心C坐标为(2,2)，半径r?22,又直线l的普通方程为x?y?2?0, ∴圆心C到直线l的距离d?2?2,∴弦长AB?28?2?26…………10分 22D. 证明:由柯西不等式得(1?1?1)(221111112??)?(??)…………………5分 222xyzxyz则3?1111113111111,即?????(??)??2?2……10分 2222xyzxyz3xyzxyz22．解：（1）由数字1,2,3,4组成的五位数a1a2a3a4a5共有45个数，满足条件的数分为

2两类：①只有一个数组成共有4个；②由两个数字组成，共有C4?C52?2?120个，

12431∴所求的概率为p?5?. ……………4分

4256133212C4?A5?C?4C?C1503?C54?（2） ?的可能取值为2,3,4,5，则P(??2)?，

4525631C5?C4?3290P(??3)??，

4525611C54?C4?C31541P(??4)??，P(??5)?5?. ………6分 542564256∴?的分布为：

? 2 3 4 5

15090151 P 256256256256 635. ……9分 E??2?P(??2)?3?P(??3)?4?P(??4)?5?P(??5)?256635答：?的数学期望为． …………10分

256 12

13

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