设计正交试验法及其应用本科论文

毕业论文

正交试验法及其应用

系 别 ： 专业（班级）： 姓名（学号）： 指导教师： 完成日期：

蚌埠学院教务处制

数学与物理系 10级数学与应用数学(2)班 殷昭博(51005012052) 张裕生(副教授) 2014年5月17日

目 录

中文摘要…………………………………………………………………………1 英文摘要…………………………………………………………………………2 1引言………………………………………………………………………3 2正交试验设计………………………………………………………4 2.1 正交试验设计原理……………………………………………………… 4 2.1.1 正交试验设计基本概念………………………………………………4 2.1.2 正交试验设计基本原理………………………………………………4 2.1.3 正交表及其性质………………………………………………………6 2.2正交试验法………………………………………………………8 2.2.1 正交试验法优点……………………………………………………8 2.2.2 正交试验设计步骤…………………………………………………8 3正交试验设计应用…………………………………………………10 3.1试验1……………………………………………………………………10 3.1试验2……………………………………………………………………13 3.2.1 实验目的…………………………………………………………13

3.2.2 实验方案…………………………………………………………13 3.2.3 实验分析…………………………………………………………14 总 结…………………………………………………………………………20 谢 词…………………………………………………………………………21 参考文献………………………………………………………………………22

正交试验法及其应用

摘 要：在生活生产活动中，人们常常会对某些产品进行试验研究。试验设

关键词： 计就是安排和组织试验。但在实践生产中，常常由于因素过多，若对每个因素不同水平相互搭配进行全面试验的话，常常是困难的。本文提供了解决这类问题的方法，即正交实验法。采用这种办法可以用较少的实验从众多的参数中找出最优的参数组合，正确的使用该方法可以达到快、好、省的效果。正交实验法还具有受系统误差、偶然误差及操作失误干扰小的特点。并且该设计法对实验数据的处理有一套独特的方法，处理中可以计算实验误差的大小，可以对结果的可靠性做出分析，对指导实际生产具有重要的意义。本文给出两个例子：一个是无交互作用的，一个是有交互作用的例子，通过正交表的正确选取、表头设计、实验过程和数据处理等过程对生产因素进行科学的优化。

正交实验设计；正交试验法；正交表

1

The Orthogonal Experiment Method and

Its Application

Abstract: People living in the production activities, often on the experiment of

certain products. Design of experiment is to arrange and organize test. This paper provides a method to solve this kind of problem, i.e. the orthogonal experimental method. Parameter combination uses this kind of method can find the optimal from a large number of parameters with less experiment, the correct use of this method can achieve fast, good, province effect. The orthogonal experiment method also has a system error, random error and error interference characteristics. And processing of the experimental data of this design method has a unique set of calculation method, experimental error can be dealt with in size, can make the reliability analysis of the results, to guide the actual production has important significance. Two examples are given in this paper: one is without interaction, there is an interaction examples, the correct selection of the orthogonal table, table design, experimental procedure and data processing process of scientific optimization of production factors.

Keywords: orthogonal experimental design; orthogonal test method; orthogonal

table

正交试验法及其应用

1 引 言

在工农业生产和科学研究中，我们常常需要通过实验来研究事件的变化规 律，并且通过研究，可以达到生产优化的目的，例如：使消耗降到最低、使产量、质量或性能有所提升等。

为了研究和改进新产品，提高产品的数量和质量，降低原材料消耗，我们都需要做试验，但试验所需要考虑的因素往往比较多，而且因素的水平数也常常多于2个，如果对各个因素的各个水平都相互搭配进行全面试验，试验次数有时会大的惊人①。如何有效安排试验，就要选择好方法。如果试验方法选择的好，只要少数试验就可以得到很准确的结论；如果试验方法不好，就会做更多的试验，这样往往会浪费大量的资源、人力和物力，而且效果在大多数情况下不太理想。正交试验法就能很好的解决这个问题，它是使用一组正交表的多因素试验方案，进行的科学的整理与分析，试验时间和次数会大大减少，并通过对试验数据的分析，实验者有助于抓住主要因素，以便找出实验方案是最好的。

正交试验法的应用范围很广，现在已经成为一种简单、易行的数学方法。这里分为两个部分：第一部分是介绍正交试验的基本原理和基本方法；第二部分是两个实验，第一个实验是一个虚拟的例子说明正交实验法的一部分优点，第二个实验是利用该方法对白口铁的硬度的工艺进行优化。其 中 第 一 部 分 包 括 ：正 交 试验 法 涉 及 的 相 关 术 语 和 理 论 ；要 解 决 的 问 题 ；如 何 使 用 正 交 实 验 法 对 测 量 结 果 进 行 分 析 。第二部分是应用，包括：利用正交试验法称量重物和利用正交试验法对白口铁的硬度的工艺进行优化两个实验。

①

正交试验设计法编写组.正交试验设计法[M].上海科学技术出版社,1979.3：3

3

2 正交试验设计

2.1正交试验设计原理 2.1.1正交试验设计基本概念

正交试验设计（orthogonal design）是利用正交表来科学地安排与分析多因素试验的一种设计方法②。它是在试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析，找出最优的水平组合。

例如，一个7因素2水平试验，各因素的水平之间全部可能组合有128种。全面进行试验可以分析各因素的效应，也可以选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，在有些情况下是无法完成的。

如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计试验。 正交试验设计的基本特点是：通过对试验结果的一部分的分析来全面了解试验情况。如对于上述7因素2水平试验，若不考虑交互作用，则可利用正交表L8(27)安排，试验方案仅包含8个水平组合，就能反映试验方案包含128个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。

2.1.2正交实验设计基本原理

在试验中，所研究事件的每个因素选取几个水平，可以在选优区打上网格，如果每个点都做试验，就是全面试验。如 上 例 中，选 择 7个因 素可 以 表示 为一个 立 方 体，7因 素 2 水平的 每 一个立 方 体 被 划 分 成 128 格。若128网格点都进行试验，就是全面试验。7因 素 2 水平的全面试验水平组合数为27?128，3因素3水平的全面试验水平组合数为33?27，5因素3水平的全面试验水平组合数为35?243，但事实有可能做不到全部水平组合的实验，但正交试验法解决了这一问题，正交设计是从选定的区域综合试验（水平）选择一些有代表性的试验点的试验③。

下面是基本理论体系④： ① 目标函数的一般表达式

若一批实验中要考虑的因素有m个，分别记为x1,x2,?,xm。把目标函数记为F，

②③④

中国科学院数学研究所.正交试验法[M].人民教育出版社，1978.3：9 正交试验法编写组.正交试验法[M].国防工业出版社,1976.12: 23

章成军.实验设计与数据处理[M].北京:化学工业出版社,2009：52－54

目标函数与各因素见的函数关系可表示为 F?F(x1,x2,?,xm) ② 实验数据的综合分析 求水平的平均值，根据水平的平均值的大小确定出个因素的最优水平 F③ 实验数据的统计分析 第一步 ji?1F(Xi)? riF?F(X)iji利用正交表算出因素效应及误差效应 F11,F12,F13,?,Fm3、eij 第二步 求出每一因素个水平效应值及效应误差 nlD(Fi)??(Fij)2 lij?1i第三步 求出误差效应的方差 nlj2De???(ei) i?1lij?1ki式中：k为误差所占的列数；li为第i个误差所占列的水平数。 第四步 求出因素及误差的自由度 fi?li?1 fe?i?误差列?fi 式中：fi、fe分别为i因素的自由度和误差的自由度。 第五步 分别求出没因素均方差与误差均方差的比值 Fi(fi,fe)?第六步 D(Fi)/fi De/fe查F-分布表 可取显著性水平?分别为0.05,0.01和0.001查F-分布表，分别查出F?(fi,fe) F0.05(fi,fe)、F0.01(fi,fe)、F0.001(fi,fe) 第七步 比较判断 5

将每个因素的Fi(fi,fe)分别与F0.05(fi,fe)、F0.01(fi,fe)和F0.001(fi,fe)比较判断各因素的显著性

2.1.3 正交表及其性质

（1）、正交表⑤

由于正交设计安排试验和分析试验结果都要用到正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。数学家开发使用的正交表，通过正交设计原理，具有标准化的形式，它是为正交设计试验结果的整理和分析的基本工具。

上述中L8(27)是正交表的记号，等水平的正交表可用符号表示：La(rb) 其中，L为正交表代号；a为正交表横行数（需要做的试验次数）；r为因素水平数；b为正交表纵列数（最多能安排的因数个数）

2水平正交表：L4(25),L8(27),L12(211),L16(215),... 3水平正交表：L9(34)，L18(37),L27(315),... 4水平正交表：L16(45)，L32(49),L64(421),... 5水平正交表：L25(56)，L50(511),L125(551),... ......

表2-1是常用的等水平正交表

列 号 试验号 1 1 2 3 4 5 ⑤

2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 3 1 1 2 2 2 4 1 2 1 2 1 5 1 2 1 2 2 6 1 2 2 1 1 7 1 2 2 1 2 [3]吴翊.李永乐.胡庆军.应用数理统计[M].北京:国防科技大学出版社,1995.8:

123-124

6 7 8 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2

（2）、正交表的性质⑥

正交表具有以下三个典型性质。

? 正交性 正交表中任一列，每个因素的的每个水平都出现，而且出现相同的次数。例如正交表L8(27)中的任两列中，同一行的所有可能有序数字对为（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）共4种,不同数字（或水平）只有“1”，“2”两个，在每个列中它们各出现4次；L9(34)中不同数字有“1”“2”“3”，它们各出现3次。

? 均衡性 均衡在不同水平的相同数量的任何列，这使得试验在不同的水平下出现相同的次数。如L8(27)中任一列均为2水平，每个水平下的试验次数均为4次。即每个因素的一个水平和另一个因素的各个水平所有组合次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。水平重复数的重复试验，因为根据正交的特性，每一水平的其他要素的数量是相同的，这就保证了讨论某一因素时，可完全不用考虑其他因素。

? 独立性 没有任何两个独立重复试验，结果不能直接比较。任意两个试验间都有两个以上因素具有不同水平，所以直接比较两个试验结果无法就水平影响下结论。完成所有的试验，用于统计处理所有的试验结果，得出相应的结论。因此，为了避免环境因素（如温度、湿度等）的干扰，试验应在尽可能短的时间内完成，而且也应选择一些尽可能小的正交表。

根据以上特性，我们可以用正交表来安排试验，它具有均衡分散性和整齐可比性的特点。

所谓均衡分散，指的是通过正交表在全部水平组合均匀选择的组合分布。整齐可比是

⑥

章成军.实验设计与数据处理[M].北京:化学工业出版社,2009：8-12

7

指各种水平的各因素之间具有可比性。因为正交表中对于任何水平的各因素的均衡水平下还包含各种因素，当比较某因素不同的水平时，其他因素的影响会相互抵消。

正交表的三个基本特性中，正交性是核心，是基础，均衡性和独立性是正交性的必然结果。

2.2 正交试验法 2.2.1 正交试验法优点⑦

? 节省 从试验方案全部组合中挑选出代表性强的试验方案，但能反映全部试验结果，且不进行重复试验。由上述正交表的性质可知，虽然没有重复试验，但每个因素下的每个水平都进行了一定的重复。因此，正交试验没有必要进行重复。

? 方便 讨论某一因素时，其他因素均不考虑。这也是由正交表的性质决定的。通过对试验方案的实验结果进行统计分析，可以推出较优的方案，而且所得到的优方案往往不包含在这些少数试验方案中。

? 信息量大 每个因素的每个水平的试验结果都包含了其他所有因素的全部水平，因此，某个因素任何水平下的结果都是一种综合效应，即统计结果。同时，对实验结果进行分析，可以了解因素是否对结果产生影响，因素间影响的差异，水平变化对结果影响的趋势等。对这些信息的综合处理，就可得出较为全面而又科学的结论。

2.2.2 正交试验法设计步骤⑧

为求得较优或最优的水平组合，正交试验设计总的来说包括两部分：一是试验设计，二是数据处理。基本步骤可简单归纳如下： （1）、明确试验目的，试验指标的选定

任何一个试验都是为了解决某一个（或某些）问题，或为了得到某些结论而进行的，所以在任何一个正交试验前必须有一个明确的目的，即本次试验要解决什么问题，这是正交试验设计的基础。试验目的确定后，对试验结果如何衡量即

⑦

[3]吴翊.李永乐.胡庆军.应用数理统计[M].北京:国防科技大学出版

社,1995.8:154-156

⑧

章成军.实验设计与数据处理[M].北京:化学工业出版社,2009：64－66

需要确定出试验指标。

试验指标是正交试验中用来衡量实验结果的特征量，有定量指标和定性指标两种。定量指标是直接用数量表示的指标，如输出、效率、强度等；定性指标是不能直接量化指标，如颜色、手感、外观特征等表示试验结果特性的值。 （2）、挑选因素，确定水平

影响试验指标的因素往往很多，但由于试验条件有限，不可能全面考察，所以应对实际问题进行具体分析，并根据试验目的，选出主要因素，略去次要因素，以减少要考察的因素数。挑选的试验因素不应过多，一般以3~7个为宜，以免加大无效试验工作量。若第一轮试验后达不到预期目的，可在第一轮试验的基础上，调整试验因素，再进行试验。

确定因素的水平数时，一般重要因素可多取一些水平；各水平的数值应当拉开，以便于对试验结果的分析。当因素的水平数相等时，可方便实验数据处理。最后列出因素水平表。因素的水平间距，应根据专业的知识和已有的资料，尽可能的把水平值取在理想区域。

以上两点主要靠专业知识和实践经验来确定，是正交试验设计的基础。 （3）、选正交表，做表头设计

选择正交表是正交实验设计的首要问题。根据实际需要选择，可选规则表，也可选混合水平表。选择时必须考虑因素和水平的数量，还要考虑工作量。对于温度影响较大的试验，应选择尽量小一些的表，以减少试验次数。

一般情况下，试验因素的水平数应等于正交表中的水平数；因素数应小于或等于正交表列数；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选的正交表的总自由度，以便估计试验误差。

表头设计就是把试验因素和要考察的交互作用分别安排到正交表的各个列中去的过程。若不考虑交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考虑交互作用，就应按所选正交表的交互作用列表安排各因素和交互作用，以防止设计“混杂”。

（4）、明确试验方案，根据方案进行试验，得到试验结果

根据正交表和表头设计确定每号试验的方案计划，然后进行试验，得到以试验指标形式表示的试验结果。

9

（5）、对实验结果进行统计分析

对正交试验结果的分析，通常采用两种方法，一种是直观分析法（或称极差分析法）；另一种是方差分析法。通过试验结果分析可以得到因素主次顺序、优方案等有用信息。

（6）、进行验证试验，作进一步分析

最佳的解决方案是通过统计分析得出的，还需要进行试验验证，以保证优方案是符合实际的，否则还需要进行新的正交试验。

3 正交试验设计应用

3.1 试验1⑨

在一次试验中，欲称量5个物体，重量记做是W1、W2、W3、W4、W5。假设这5个物体的真实值分别为8g、9g、11g、14g、20g，现在用一天平去称量重物，由于没有调零，天平存在系统误差1.2g，并且所用到的砝码也有不同的误差，误差分别为：1?0.01g、2?0.01g、2?0.02g、5?0.03g、10?0.04g、20?0.05g、20?0.04g、50?0.06g （对于2g和20g的砝码，当只需一个时，可以随机取挑选一个）。试用正交试验法进行称量。

解：（1）先确定目标函数 目标函数设定为称出重物的质量。 （2）确定因素 将每一个重物看做一个因素。

（3）确定水平 可将某一重物放在天平左盘视作+1水平，放于右盘视为-1水平。经过上述规定后，可以将右盘上砝码的质量看作目标函数的结果值，如果右侧重物重于左侧的重物，则可将左侧的砝码的质量视为负数。

（4）选取正交表 由于称量质量没有有交互作用，故只要考虑各因素即可，

75个因素的自由度为5，只要n > 6 就行了，故可选择L8(2)正交表。

（5）表头设计 由于不用考虑交互作用，就可随意安排这几个因素，现将

W1、W2、W3、W4、W5分别安排到a、b、c、ac、abc列上（见表1）。

表1

⑨

称重实验表

章成军.实验设计与数据处理[M].北京:化学工业出版社,2009：64－66

代号 a b c ac abc 结果 1 2 3 因素 效应 序号 W1 -1 W2 -1 W3 -1 W4 +1 W5 -1 -32.87 -37.62 -39.24 9.54 01 1.1925 02 +1 -1 -1 -1 +1 -4.83 -1.62 48.78 64.04 8.005 03 -1 +1 -1 +1 +1 25.19 6.42 -24.04 71.94 8.9925 04 +1 +1 -1 -1 -1 -26.81 42.36 88.08 0.04 0.005 05 -1 -1 +1 -1 +1 1.19 27.96 36.00 88.02 11.002 06 +1 -1 +1 +1 -1 5.23 -52.00 35.94 112.12 14.015 07 -1 +1 +1 -1 -1 -20.84 4.04 -79.96 -0.06 -0.007 08 +1 +1 +1 +1 +1 63.20 84.04 80.00 159.96 19.995 （6）实验过程 现在用01号试验为例阐述实验过程。在01号实验中，

由于W1、W2、W3和W5全为-1水平，也就是说要将几个重物放置在天平的右盘，而将W4放在天平的左盘。由于W1、W2、W3和W5的总重量为-48g，W4为14g，因此，此次称重的总重量应该是-34g，另外天平存在的系统误差1.2g，共计-32.8g。需要在天平的左盘增加砝码：20，10，2,1这几个砝码的总偏差为0.01g，所以最后的结果为-32.79g。用相同的方式称出其余的7组重量，将结果填入表1中。 （7）数据处理

现在在表1之后加上4列。

① 分组，将实验结果的8个数据分为四组。

② 计算因素效应，计算的最后一列的因素效应的第1个值为总平均值；第2个值为W1；第3个值为W2；4个值为误差；第5个值为W3；第6个值为W4；第7个值为误差；第8个值为W5。由于每个重物放在左右的次数相等（各4次），所以总平均值应该是为0，结果不为零的原因有两点：一是系统误差，二是偶然误差。

③ 显著性检验

11

计算均方根

Se??(e?12i)fe(0.005)2?(?0.0075)2??0.00642

查t-分布表，求得

t0.025(2)?4.3027 t0.005(2)?9.9248 t0.0005(2)?31.599

求得

Se?t0.025(fe)?0.0064?4.3027?0.0275 Se?t0.005(fe)?0.0064?9.9248?0.0635 Se?t0.0005(fe)?0.0064?31.599?0.2022

比较判断

W1?8.005?0.2022,故因素W1是极显著的；

W2?8.9925?0.2022,故因素W2是极显著的；W3?11.0025?0.2022,故因素W3是极显著的；W4?14.015?0.2022,故因素W4是极显著的；W5?19.995?0.2022,故因素W5是极显著的；F0?1.1925?0.2022,故因素F0是极显著的。

每个重物在天平的左右两侧分别称重4次，这样所得到的目标函数总平均值应该为0，而现在总平均值是极显著的，这只能说明系统误差是十分明显的，不能忽略不计。通过本次实验，在称出重物的同时把天平的系统误差也定出来了，即1.1925.

④ 误差计算范围

?=Se?t(f)n?f?0.0064?4.3027?6?0.0670.025ee

在本例中，尽管用了8次实验只称了5个重物，但同时也定出了天平的系统误差

和称量精度这比5次称5个物体更有意义。

3.2 试验2⑩

3.2.1 试验目的

某公司想进行一系列白口铁的测试，在测试过程中主要测试对白口铁折算硬度的影响的六个因素F1、F2、F3、F4、F5、F6，此时要求考虑两个交互作用的因素F1,2、F1,3。假设测试中每个因素的水平值均为3，请选择适当的正交表并进行表头设计；欲目标函数值越大越好，请对表中的数据进行处理。

3.2.2 试验计划方案

（一）正交表的选取。首先算出最小的实验次数

n?1??fi??fi,j?1?(3?1)?6?(3?1)?(3?1)?2?21

所以正交表的最小容量大小为21，符合6因素并且可安排3水平因素的正交表，从小到大依次为：L27(313),L36(23?313),L54(2?325),L81(340),?。

因为L18(2?37),L36(23?313)这两个正交表不能进行3水平因素间的交互作用

25安排，而L54(2?3)正交表有且只能安排一对3因素水平间的交互作用，本实验

是不能采用。所以，故L27(313)、L81(340)两个三因素正交表适用。此次实验中需要考虑F1,2、F1,3两个因素交互作用，由于涉及3个因素F1、F2和F3，因而L27(313)正交表满足最低要求，所以本实验采取该正交表来安排测试。

（二）表头设计。

a. 在正交表的第1、2列上分别安排因素F1和F2，找出1、2列的交互列为第3和第4 列，在这两列上标上F1?2(或F1,2)。

b. 在第5列安排F3，并且找到第1,5列的交互列为6,7两列，在这两列上标上F1?3(或F1,3)。

c. 把因素F4、F5和F6分别安排在9、12和13列上，剩下的8、10和11列作为存放误差列。

3.2.3 试验分析

⑩

章成军.实验设计与数据处理[M].北京:化学工业出版社,2009：43－54

1

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