新课标高考理科数学中档解答题强化训练题十套(含详细答案)

新课标高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（一）

1已知公差不为零的等差数列{an}的前6项和为60，且a6是a1和a21的等比中项。 （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足:bn?1(n?N*),求数列{bn}的前n项和Sn.

an?an?12在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC?3acosB?ccosB. （1）求cosB的值；

（2）若BA?BC?2，且b?22，求a和c的值. 3设?an?为等比数列，且其满足：Sn?2n?a. （1）求?an?的通项公式； （2）数列?bn?的通项公式为bn??4已知函数f(x)?1?x?lnx axn，求数列?bn?的前n项和Tn. an（1）若函数f(x)在[1,??)上为增函数，求正实数a的取值范围;

1（2）当a?1时，求f(x)在[,2]上的最大值和最小值;

2新课标高考中档解答题强化训练答案 （一）

1解：（I）设{an}的公差为d，

?6a1?15d?60?a1?5???an?2n?3 则?2d?2(a?5d)?a(a?20d)?11?1 （II）bn?1111?(?),

an?an?12anan?1∴S错误！未指定书签。n错误！未找到引用源。=1/a1a错误！未指定书签。2错误！未找到引用源。+1/a2a3+1/a3a4+·······+1/anan+1

Sn?111n (?)?2a1an?15(2n?5)2解：由正弦定理得a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC，

则2RsinBcosC?6RsinAcosB?2RsinCcosB,故sinBcosC?3sinAcosB?sinCcosB,可得sinBcosC?sinCcosB?3sinAcosB,即sin(B?C)?3sinAcosB,可得sinA?3sinAcosB.又sinA?0,

- 1 -

1因此cosB?.

3

（II）解：由BA?BC?2,可得acosB?2，

1又cosB?,故ac?6,3由b2?a2?c2?2accosB, 可得a2?c2?12,所以(a?c)2?0,即a?c,所以a?c?6.

3解（1）n=1时，a1?2?a

n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?1

∵?an?为等比数列 ∴a1?2?a?21?1?1∴a??1 ∴?an?的通项公式为an?2n?1 （2）bn??nn??n?1 an2 Tn??(1?1?2?111?3?2??n?n?1) 22211111Tn??[1??2?2??(n?1)n?1?n?n] 2222211111 ②-①得?Tn?1??2???n?1?n?n

22222n?2?4 2n?11?xax?1?lnx ∴ f?(x)?a?0? 4解（1）∵ f(x)?2?axaxax?1?0对x??1,???恒成立， ∵ 函数f(x)在?1,???上为增函数∴ f?(x)?2ax1∴ ax?1?0对x??1,???恒成立，即a?对x??1,???恒成立∴ a?1

xx?1（2）当a?1时，f?(x)?2，

x∴Tn??1??1?∴ 当x??,1?时，f?(x)?0，故f(x)在x??,1?上单调递减；

?2??2?当x??1,2?时，f?(x)?0，故f(x)在x??1,2?上单调递增，

?1?∴ f(x)在区间?,2?上有唯一极小值点，故f(x)min?f(x)极小值?f?1??0

?2?

- 2 -

1113lne3?ln16又 f()?1?ln2,f(2)???ln2,f()?f(2)??2ln2?

22222?1?∵ e3?16 ∴ f???f?2??0,即f?2??1????f?2? ?2?

?1??1?∴ f(x)在区间?,2?上的最大值f(x)max?f???1?ln2

?2??2??1?

综上可知，函数f(x)在?,2?上的最大值是1?ln2，最小值是0.:学.科.网]

?2?

新课标高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（二）

tanA2c?。 1在?ABC中，角A,B,C所列边分别为a,b,c，且1?tanBb (Ⅰ)求角A；

(Ⅱ)若a?3，试判断bc取得最大值时?ABC形状。

2如图，在五面体ABCDEF中，FA?

平面ABCD,AD//BC//FE,AB?AD,M为EC的中 点，AF?AB?BC?FE?1AD。 2(Ⅰ)求异面直线BF与DE所成的角的大小； (Ⅱ)证明：平面AMD?平面CDE； (Ⅲ)求二面角A?CD?E的余弦值。

3已知当x?5时，二次函数f(x)?ax2?bx?c取得最小值，等差数列{an} 的前n项和Sn?f(n),a2??7 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)令bn?an9T??，数列的前项和为，证明。 {b}Tnnnn2n24设函数f(x)?lnx?ax,(a?R) (Ⅰ)判断函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)当lnx?ax(0,??)上恒成立时，求a的取值范围；

1nn新课标高考中档解答题强化训练答案 （二）

tanA2csinAcosB2sinC??1??, ………………………………2分 1解：(Ⅰ) 1?tanBbsinBcosAsinBsinBcosA?sinAcosB2sinC?, 即

sinBcosAsinB(Ⅲ)证明：(1?)?e(n?N+)

- 3 -

?sin(A?B)2sinC1?,?cosA?, ………………………………………………4分

sinBcosAsinB20?A??,?A??3. ……………………………………………………………………6分

(Ⅱ)在?ABC中，a2?b2?c2?2bccosA,且a?3,

?(3)2?b2?c2?2bc?1?b2?c2?bc, 2b2?c2?2bc,?3?2bc?bc,

即bc?3，当且仅当b?c?3时，bc取得最大值， ………………………………9分 又a?3,

故bc取得最大值时，?ABC为等边三角形 ……………………………………………12分 2。解：如图建立空间直角坐标系，设AF?1,则

F(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,2,0),E(0,1,1), C(1,1,0)

因为M为EC的中点，则M(,1,) (Ⅰ) BF?(?1,0,1),DE?(0,?1,1),cos??1212BF?DE1?,??60 ………………4分

|BF||DE|2(Ⅱ) AM?(,1,),AD?(0,2,0),CE?BF?(?1,0,1)，则CE?AM?0,CE?AM?0

12所以CE?平面ADM，得平面AMD?平面CDE； ………………………………8分

12(Ⅲ)由图可得平面ACD的法向量为n1?(0,0,1)，设平面CDE的法向量为n2?(x,y,z)

CE?BF?(?1,0,1),DC?(1,?1,0),列方程组的 ?x?z?0得n2?(1,1,1)

x?y?0cos??n1?n23 ……………………………………………………………………12分 ?|n1||n2|3b?5,an?Sn?Sn?1?an2?bn?c?a(n?1)2?b(n?1)?c?2an 2a3解：(Ⅰ)由题意得：??b?a?2an?11a.a2??7,?得a?1 ………………………………………………4分 ?an?2n?11………………………………………………………………………………6分

2n?11, 2n?9?72n?11?Tn??2?? ①

222n(Ⅱ) bn?

- 4 -

1?9Tn?2?22①-②得

?2n?132n?11?n?1 ② n221?9?222n?11Tn??2??n?n?12222211(1?n?1)92n?112???2?n?1

1221?2712n?11???n?1?n?12222n?7?Tn??7? ………………………………………………………………………10分

2n9T1??

2979T2?????

2229759T3??????

22222n?72n?79?0,?T??7???7??当n?4时， nnn2229?Tn?? …………………………………………………………………………………12分

214 解：f?(x)??a …………………………………………………………………………2分

x1(Ⅰ) x?0所以当a?0时，f?(x)??a?0,

xf(x)在(0,??)是增函数 …………………………………………………………………4分 111?a?0,f(x)在(,??)上f?(x)??a?0,

axx11故f(x)在(0,)上是增函数，f(x)在(,??)上是减函数……………………………6分

aa当a?0时，f(x)在(0,)上f?(x)?(Ⅱ)由(Ⅰ)知当a?0时，f(x)?lnx?ax?0在(0,??)上不恒成立；……………8分 当a?0时，f(x)在x?1a1111处取得最大值为ln?1,因此ln?1?0,即a?时， aaeaf(x)?lnx?ax?0在(0,??)上恒成立，即lnx?ax在(0,??)上恒成立。

所以当lnx?ax在(0,??)上恒成立时，a的取值范围为(,??)……………………10分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知当a?1时，f(x)?lnx?x的最大值为?1 所以lnx?x?1（当且仅当x?1时等号成立），令x?1?1e1?1(n?N+)，则得 n111ln(1?)?,即nln(1?)?1,…………………………………………………………12分

nnn

- 5 -

从而得ln(1?)?1?lne

由函数y?lnx的单调性得(1?)?e(n?N+)………………………………………14分

1nn1nn新课标高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（三）

1（本小题满分12分）在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c，直线

直线l2:(b2?c2?bc)x?ay?4?0互相平行(其中a ≠4) （I）求角A的值， （II）若B??与

??2?,?23?2A?Csin?cos2B的取值范围 B,求?2?2．（本小题满分12分）设数列｛an｝的前n项和为Sn，a1?1,Sn?nan?2n(n?1). （I）求数列数列｛an｝的通项公式an， （II）设数列{111}的前n项和为Tn，求证?Tn?.

54anan?11AD 23．（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA ?平面ABCD, AD//BC//FE， AB?AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=

（I）求证：BF⊥DM

（Ⅱ）求二面角A-CD-E的余弦值。

4设函数， f（x）=x2－alnx，g（x）=x2－x+m，令F（x）=f（x）－g（x）

（Ⅰ）当m=0，x∈（1，+∞）时，试求实数a的取值范围使得F（x）的图象恒在x轴

上方

（Ⅱ）当a=2时，若函数F（x）在[1，3]上恰好有两个不同零点，求实数m的取值范围

（Ⅲ）是否存在实数a的值，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出a的值，

若不存在，说明理由。

新课标高考中档解答题强化训练答案 （三）

1．解：（I）l1//l2,得a?b?c?bc(a?4)

即b?c?a?bc

222222 …………2分

b2?c2?a2bc1?cosA???

2bc2bc2?A?(0,?),?A? （II）sin2?3.

…………5分

A?CB?cos2B?cos2?2cos2B?1 22cosB?111??2cos2B?1?2cos2B?cosB?

222117?2(cosB?)2?

832- 6 -

…………8分

?B?????2,2??3??,

?cosB???1???2,0??

?2(cosB?18)2?17?171?32????32,?4??

即sin2A?C?2?cos2B的取值范围为???1732,?1?4?? 2．解：（I）由Sn?nan?2n(n?1)

得an?1?Sn?1?Sn?(n?1)an?1?nan?4n 即an?1?an?4

?数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列 ?an?4n?3.

（II）T1n?a???1 1a2anan?1?11?5?15?9?19?13???1(4n?3)?(4n?1) ?14(1?15?1111115?9?9?13???4n?3?4n?1) ?14(1?114n?1)?4 又易知Tn单调递增，

故T1n?T1?5, 得15?T1n?4. 3．解：设P为AD的中点， 连结EP，PC，

则由已知EF//??AP//??BC

∴EP=PC，FA//EP，EC//BF，AB//PC 又FA⊥平面ABCD， ∴EP⊥平面ABCD PC、AD?平面ABCD 故EP⊥PC，EP⊥AD

设FA=a，则EP=PC=PD=a

- 7 -

…………9分

…………11分

…………12分

…………4分

…………6分

…………10分

…………12分

…………2分

?ED?CD?2a

…………5分

∵M为EC的中点， ∴DM⊥CE ∵BF//EC ∴DM⊥BF。 （II）解：取CD的中点Q，连结PQ，EQ

由（I）知PC=PD，CE=DE ∴PQ⊥CD，EQ⊥CD

∴∠EQP为二面角A—CD—E的平面角 由（I）可得，在等边?ECD中

EQ?62a 在等腰Rt?CPD中,PQ?22a 在Rt?EPQ中,cos?EQP?PO3EQ?3 故二面角A—CD—E的余弦值为

33.

4．解：（I）当m=0时，函数F（x）的图象恒在x轴上方等价于F(x)?0在(1,??)上恒成立

由m=0，F(x)?0可得?alnx??x

?x?(1,??)

则a?xlnx 记?(x)?xlnx,则F(x)?0在(1,??)恒成立 等价于a??(x)min(x?(1,??)) 又?'(x)?lnx?1ln2x

?当x?(1,e)时;?'(x)?0;当x?(e,??)时,?'(x)?0

故?(x)在x?e处取得极小值， 也是最小值，即?(x)min??(e)?e

?a?e

故a的取值范围是(??,e).

- 8 -

…………6分

…………10分

…………12分

…………5分

（II）函数F(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程

x?2lnx?m,

在[1，3]上恰有两个相异实根。 令h(x)?x?2lnx,则h'(x)?1?2x?2? xx当x??1,2?时,h'(x)?0,当x??2,3?时,h'(x)?0 故在[1，3]上h(x)min?h(2)?2?ln2 又h(1)?1,h(3)?3?2ln3

…………8分

?h(1)?h(3)

?只需h(2)?m?h(3)

故m的取值范围是?2?2ln2,3?2ln3?. （III）存在a?…………9分

1, 2使得函数f(x)和函数g(x)在公共定义域上具有相同的单调性。…………10分 因为f(x)和g(x)的公共定义域为(0,??) 由g(x)?x?x?m知,

21g(x)在(0,??)上单调递增区间是(,??)，

21单调递减区间是(0,)

2…………11分

a2x2?a由f(x)?x?alnx,f'(x)?2x??

xx2若a?0,则f(x)'?0，

函数f(x)在(0,??)上单调递增，不合题意； 若a?0,由f(x)'?0可得2x?a?0,

2解得x?a 2a 2由f'(x)?0可得0?x? - 9 -

故a?0时,函数f（x）的单调递增区间为(a,??)， 2单调递减区间为(0,a) 2故只需

a11?,解之得a?. 222新课标高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（四）

1/已知函数f(x)?sin(x?a)?3cos(x?a),其中0?a??,且对于任意实数x,f(x)?f(?x)恒成立。 （1）求a的值；

（2）求函数f(x)的最大值和单调递增区间。

2ttp如图，在三棱锥P—ABC中，已知PC⊥平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上。

（1）求证：AB⊥平面PBC；

（2）设AB=BC，直线PA与平面ABC所成的角为45?，求异面直线AP与BC所成的角； （3）在（2）的条件下，求二面角C—PA—B的余弦值。 3.已知等比数列{an}中，a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a1? （1）求数列{an}的通项公式；

（2）已知数列{bn}满足bn?log1an,Sn是数列{bn}的前n项和，求证：当n?5时,anSn?1.

2324已知函数f(x)??x?ax?4(a?R),f'(x)是f(x)的导函数。

1,公比q?1. 22 （1）当a=2时，对于任意的m?[?1,1],n?[?1,1],求f(m)?f'(n)的最小值； （2）若存在x0?(0,??)，使f(x0)?0,求a的取值范围。

新课标高考中档解答题强化训练答案 （四）

1．解：（1）由已知得f(x)?f(?x).

即sin(x?a)?3cos(x?a)?sin(?x?a)?3cos(?x?a). 2sinxcoas??23sinxsina,(coas?3sina)sinx?a.

所以cosa?3sina?0,于是tana??

3. 3- 10 -

…………4分

又因为0?a??,所以a? （1）f(x)?sin(x?5? 6 …………5分

5?5?)?3cos(x?) 665?5?5?5??sinxcos?cosxsin?3cosxcos?3sinxsin

6666 …………8分 ??cosx.

…………10分 …………12分

由此可知，函数f(x)的最大值为1。

单调递增区间为：[2k?,2k???](k?Z). 2．解：（1）由于PC⊥平面ABC， AB?平面ABC,所以AB?PC,

由于点C在平面PBA内的射影在直线PB上，

所以CD⊥平面PAB。

又因为AB?平面PBA,所以AB?CD. 因此AB⊥平面PCB。 （2）因为PC⊥平面ABC，

所以?PAC为直线PC与平面ABC所成的角， 于是?PAC?45?，设AB=BC=1，

则PC=AC=2

以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，

则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），P(1,0,2)AP?(1,?1,2),BC?(1,0,0),BA?(0,1,0)…………5分

因为cos?AP,BC??AP?BC|AP|?|BC|?12, 所以异面直线AP与BC所成的角为60? …………7分 （3）取AC的中点E，连结BE，则BE?(1,122,0). 因为AB=BC，所以BE⊥AC。 又因为平面PCA⊥平面ABC， 所以BE⊥平面PAC。

因此，BE是平面PAC的一个法向量。 设平面PAB的一个法向量为n?(x,y,z),

则由???n?BA,得?y?0,?n?AP,??0

??x?y?2z 取z=1，得??y?0,x??2

?

- 11 -

…………3分

…………8分

又因为0?a??,所以a? （1）f(x)?sin(x?5? 6 …………5分

5?5?)?3cos(x?) 665?5?5?5??sinxcos?cosxsin?3cosxcos?3sinxsin

6666 …………8分 ??cosx.

…………10分 …………12分

由此可知，函数f(x)的最大值为1。

单调递增区间为：[2k?,2k???](k?Z). 2．解：（1）由于PC⊥平面ABC， AB?平面ABC,所以AB?PC,

由于点C在平面PBA内的射影在直线PB上，

所以CD⊥平面PAB。

又因为AB?平面PBA,所以AB?CD. 因此AB⊥平面PCB。 （2）因为PC⊥平面ABC，

所以?PAC为直线PC与平面ABC所成的角， 于是?PAC?45?，设AB=BC=1，

则PC=AC=2

以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，

则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），P(1,0,2)AP?(1,?1,2),BC?(1,0,0),BA?(0,1,0)…………5分

因为cos?AP,BC??AP?BC|AP|?|BC|?12, 所以异面直线AP与BC所成的角为60? …………7分 （3）取AC的中点E，连结BE，则BE?(1,122,0). 因为AB=BC，所以BE⊥AC。 又因为平面PCA⊥平面ABC， 所以BE⊥平面PAC。

因此，BE是平面PAC的一个法向量。 设平面PAB的一个法向量为n?(x,y,z),

则由???n?BA,得?y?0,?n?AP,??0

??x?y?2z 取z=1，得??y?0,x??2

?

- 11 -

…………3分

…………8分

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