等比数列前n项和(优秀教案)

课题：等比数列的前n项和

（第一课时）

一 教学目标:

1.知识与技能目标:

1)掌握等比数列求和公式,并能用之解决简单的问题。

2)通过对公式的推导,对学生渗透方程思想、分类讨论思想以及等价转化思想。 2过程与方法目标：

通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。 3.情感与态度目标：

通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。 二 教学重点：

等比数列项前n和公式的推导与简单应用。 三 教学难点：

等比数列n项和公式的推导。

四 教学方法：启发引导，探索发现（多媒体辅助教学）。 五 教学过程：

1．创设情境，导入新课：

1）复习旧知，铺垫新知： （1）等比数列定义及通项公式； （2）等比数列的项之间有何特点？

说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以q，从而为“错位相减法”求等比数列前n和埋下伏笔。

2）问题情境，引出课题：

从前，一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比上一天多一万；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算，但怕上当受骗，所以很为难。请在座的同学思考一下,帮穷人出个主意.

注：师生合作分别给出两个和式： S ? 1 ? 3 ? ? 30 ? ? ① ? 2?30

T30?1?2?22?23???228?229??②

①学生会求，对②学生知道是等比数列项前n和的问题但却感到不会解！ 问1：能不能用等差数列求和方法去求？（不行） 问2：怎么办？（用追问的方式引出课题） 2．师生互动，新课探究：

问题1 如何求和： T?1?2?22?23???228?22930 注：（给学生时间让他们观察、思考）如果学生想不出来，师做必要启发：

1）等式右边各项有什么特点？（等比数列30项和） 2）公比是多少？（2）

即：从第二项起每一项比前一项多乘以2.

3）因此，如果两边??（教师语速放慢，看学生反应状况，再往下提示：把等式两边同乘以公比2）

232829从而有： T30?1?2?2?2???2?22T30?2?22?23?24???229?230

师：如何求T30？（此处给学生充分的观察思考的时间，师不忙给出结论，让他们自己得出求解的方法：作差）

注：①学生解出T30，并与S30比较（到底能不能向富人借钱）。这种求和的方法叫错位相减法。

②此处先不忙介绍“错位相减法”的要点，只让学生有个大致印象，后面还有应用，体现从特殊到一般、学生自主探究教材的新教材理念。 问题 2 如何求等比数列{an}的前n项和Sn：

Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?1

注：①学生已有上面问题的处理经验，肯定有不少学生会想到“错位相减法”，教师可放手让学生探究，并请学生上台板演。

②将Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?1两边同时乘以公比q后会得到

qSn?a1q?a1q2?a1q3???a1qn，两个等式相减后，哪些项被消去，还剩下哪些项，剩下项的符号有没有改变？这些都是用错位相减法求等比数列前n项和的关键所在，让学生先思考，再讨论，最后师用多媒体予以突出强调，加深印象！

③两等式作差得到(1?q)Sn?a1(1?qn)时，肯定会有学生直接得到

a1(1?qn)，师不忙揭露错误，等一会用练习反馈这个易错知识点，从而掌握公Sn?1?q式的本质！

练习1. 用等比数列求和公式求和：

公式的 2391)S?3?3?3???39 应 用

2)S100?5?5??5(10个05相加)

注：此组练习目的： ① 熟悉等比数列求和公式的直接应用。 ② 公比q?1时,公式还能用吗?

?na1(q?1)?从而得到：等比数列{an}前n项和Sn公式应为：Sn??a1(1?qn).

(q?1)?1?q?③ 通过纠错的方式给出公式比平铺直叙方式得出公式的效果要好得多，学生通过：自己推导出公式（不完整）──公式应用──得出矛盾──完整公式的过程，很好地解决了本节课重、难点。 练习2.求和： 11?(1?20)1111) 21??2???19?1 2221? 22)等比数列{an}中,a1?6,q?2,an?192,求{an}前n项和Sn.

注：①练习1）中数列的项数的确定是很容易失误的地方，学生误解为是19项。从而强调求和公式Sn中的“n”指的是项数.另外，还要指出等比数列求和公式中的公比q的指数是“n”，而等比数列通项公式an?a1qn?1的公比q的指数是“n?1”. ②练习2）的目的在于引出等比数列求和的第二个公式形式：

?na1(q?1)?Sn??a1(1?qn)a1?anq，根据所给条件选择哪个求和公式进行求解。很多学

?(q?1)?1?q1?q?生会根据条件先求出n，再带到求和公式中去求Sn，而直接用Sn的另一个公式去求，可使计算过程简化，从而自然引出这个知识点.

③ 求和公式中共有五个量：Sn,a1,q,n,an，可用方程（组）思想：知三求二.

31中，a3?,S3?4,求a1. 典例分析 已知等比数列?an?22

解：当q?1时候，a1?a2?a3,此时正好有

1 S3?a1?a2?a3?4,适合题意。2

?23a1q?? 2?当q?1时，依题意有解之，? 3?a1(1?q)?41,

?2?1?q

3,利用等比数列求和公式求和时一定要对公 注：在不知道公比是否为1的情况下

得a1?6，综上得a1?或a1?6.2

比要进行分类讨论,这是学生容易忽视的问题.

30 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 228?229? ?公式再证 对于问题：T 强化理解 还可以这样考虑:

28T30?1?2?22?23???228?229?1?2(1?2???2)

?1?2(T30?229)

?T30?230?1

问：从这种证法中，大家受何启发？

你能用这种方法证明等比数列的前n项和公式吗？

注：此处给时间给学生思考、证明（并投影强调步骤）.

2n?2n?1S?a?aq?aq???aq?aqn11111 2n?2n?1?a?q(a?aq?aq???aq)?a?q(S?aq)111111n1 ?(1?q)Sn?a1?a1qn ?a1(1?qn)q?1 ??1?q ?Sn?? ?naq?1? ?1六 课堂小结 特殊数列求和 一般情况下等比数列求和 公式 292n?1Sn?a1?a1q?a1q???a1q 应用 T30?1?2???2 方程（组）思想： 错位相减法 知三求二 注：通过教师的提问和幻灯片的顺序播放，进一步巩固本节课的内容，并把整节课的内容形成一个整体。 七 作业

第30页 第8题偶数题（基础题），第10题（应用提高题）； 课后探索：等比数列前n项和Sn的其它证明方法。

八 板书设计 课题 等比数列前n项和公式 及公式应用 问题：T30?1?2?22?23???228?229 （学生板演和教师解答）

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