习题四
1.设随机变量X的分布律为
X P ??1 0 1 2 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【解】(1) E(X)?(?1)?11111?0??1??2??; 828421212121522(2) E(X)?(?1)??0??1??2??;
828441(3) E(2X?3)?2E(X)?3?2??3?4
22.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 X 0 P 1 2 3 4 5 4233245C5C1C10C90C10C90C10C1C109010C9090?0.583 ?0.340 ?0.070 ?0.007 ?0 ?0 555555C100C100C100C100C100C10083?0故 E(X)?0.5? ?0.501, D(X)?0.?3?401?0.?070?2?0.?00?7?3
?[x?E(X)]P
2iii?05
?(0?0.501)2?0.583?(1?0.501)2?0.340???(5?0.501)2?0?0.432.??1 0 1 p1 p2 p3
3.设随机变量X的分布律为 X P 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3. 【解】因P1?P2?P3?1……①,
又E(X)?(?1)PPP1?0?2?1?3?P3?P1?0.1……②,
22E(X2)?(?1)2?PPP1?0?2?1?3?P1?P3?0.9……③
由①②③联立解得P,P1?0.4,P2?0.13?0.5.
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？
【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则
1
NP(A)全概率公式?P{A|X?k}?P{X?k}
k?0N??kP{X?k}?1?NkP{X?k} k?0NNk?0
?1N?E(X)?nN.5.设随机变量X的概率密度为
?x,0?x?1,f（x）=??2?x,1?x?2,
??0,其他.求E（X），D（X）. 【解】E(X)????122??xf(x)dx??0xdx??1x(2?x)dx
??113?2?3??2x?3x????x?0?3???1.
1E(X2)????213??xf(x)dx??xdx??2x2(2?x)dx?7016故 D(X)?E(X2)?[E(X)]2?16. 6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.
（1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ??4X.
【解】(1) E[U]?E(2X?3Y?1)?2E(X)?3E(Y)?1 ?2?5?3?11?1?44.
(2) E[V]?E[YZ?4X]?E[YZ]?4E(X) 因Y,Z独立E(Y)?E(Z)?4E(X)
?11?8?4?5?68. 7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，D（2X??3Y）. 【解】(1) E(3X?2Y)?3E(X)?2E(Y)?3?3?2?3?3.
(2) D(2X?3Y)?22D(X)?(?3)2DY?4?12?9?16?192. 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
E（3X??2Y），
2
求f（x，y）=?试确定常数k，并求E（XY）. 【解】因
?k,0?x?1,0?y?x,
其他.?0,x??????????f(x,y)dxdy??dx?kdy?0011k?1,故k=2 21xE(XY)???????xyf(x,y)dxdy??xdx?2ydy?0.25.
????009.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
f?2x,0?x?1,?e?(y?5),y?5,X（x）=??0,其他; fY（y）=??0,其他.
求E（XY）.
【解】方法一：先求X与Y的均值
E(X)??1?x2xd?x203 , E(Y)????y?e(y?5)令z?y?55yd?5???z0ez?d???0z?zez?d??5 16.由X与Y的独立性，得
E(XY)?E(X)?E(Y)?23?6?4.
方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为
f(x,y)?f?2xe?(y?5),0?x?1,y?5,X(x)?fY(y)?? ?0,其他,于是
E(XY)?????(y?5)5?10xy?2xe?(y?5)dxdy??12x2dx???0?5yedy?23?610.设随机变量X，Y的概率密度分别为
?2e?2xf,x?0,y?0,X（x）=??0,x?0; f）=??4e?4y,Y（y?0,y?0. 求（1） E（X+Y）;（2） E（2X??3Y2）. 【解】(X)????(x)dx????2x?2x??????xfX0x?2edx?[?xe]0?0e-2xdx
????0e?2xdx?12.
E(Y)??????y????4y1Yf(y)d0y?y4e?d4y . E(Y2)????y2f2??Y(y)dy????0y2?4e?y4dy?42?18. 从而(1)E(X?Y)?E(X)?E(Y)?1132?4?4.
4.
3
?(2)E(2X?3Y)?2E(X)?3E(Y)?2?11.
求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）. 【解】(1) 由
22115?3?? 288?????f(x)dx??cxe?kxdx?0??22c?1得c?2k2. 22k22(2) E(X)??????xf(x)d(x)??2??0x?2k2xe?kxdx
π. 2kx2?2k2xe?k22 ?2k(3) E(X)?2???0x2e?kxdx?22?????x2f(x)d(x)????x01. k21?π?4?π22故 D(X)?E(X)?[E(X)]?2???. ?2?k?2k4k??12.
【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，
3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
2939?0.75??0.204, 0 , P{X?1}?1212113293219????0.04????0.005. P{X?2} 1 , P{X?3}?1211101211109? P{X?0}于是，得到X的概率分布表如下： X P 0 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.005 由此可得E(X)?0?0.750?1?0.204?2?0.041?3?0.005?0.301.
E(X2)?02?750?12?0.204?22?0.041?32?0.005?0.413D(X)?E(X)?[E(X)]?0.413?(0.301)?0.322.222
13.
【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和??200元
}P{X? P{Y?100??1}???114?x/4e?xd?1/4 e P{Y??200}?P{X?1}??1故E(Y)?100?e?1/4?1/4 e.?(?200)?(1?e?1/4)?300e?1/4?200?33.64 (元).
14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，
n，记
1n1n22
X??Xi,S，S=(Xi?X)2. ?ni?1n?1i?1
4
?2（1） 验证E(X)=μ，D(X) =；
nn212（2） 验证S=(?Xi?nX)；
n?1i?12
（3） 验证E（S2）=σ2.
【证】(1) E(X)?E??1?n?nX?1n1n1i??E(?Xi)??E(Xi)??nu?u.i?1?ni?1n
i?1nX)?D??1nnD(?11n?n?Xii?1???n2D(?Xi)Xi之间相互独立2?i?1n?DXii?1 ?12?2n2?n??n. (2) 因
?n(X2n22n22ni?X)?Xi?X?2XXi)?ii?1?(i?1?X?nX?2Xi?1?Xii?1n ??X2?nX2n2i?2X?nX??X2i?nX
i?1i?1故S2?1nn?1(?X22i?nX).
i?1(3) 因E(Xi)?u,D(Xi)??2,故E(X2i)?D(X2i)?(EXi)??2?u2. 同理因E(X)?u,D(X)??2?2n,故E(X2)?n?u2.
从而
2nnE(s)?E??1?n?1(?X22?122i?nX)i?1???n?1[E(?Xi)?nE(X)]
i?1?1n
n?1[?E(X22i)?nE(X)]i?1
?1?1???n?(?2?u2)?n??2?????n?u2?????2n.?
15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=??1,
计算：Cov（3X??2Y+1，X+4Y??3）. 【解】Cov(3X?2Y?1,X?4Y?3)?3D(X)?10Cov(X,Y)?8D(Y)
5
?3?2?10?(?1)?8?3??28 (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
?f（x，y）=?1?π,x2?y2?1,
??0,其他.试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】设D?{(x,y)|x2?y2?1}.
E(X)???????????xf(x,y)dxdy?1π??xdxdy x2?y2?1 =12π1π?0?0rcos??rdrd??0. 同理E(Y)=0. 而 CovX(Y,?)??????????x?[Ex?()]?y[EY(f)]x(y, xy ?112π12π??xydxdy?rsin?cos?rdrd??0, x2?y2?1π?0?0由此得?XY?0,故X与Y不相关. 2下面讨论独立性，当|x|≤1时，f1X(x)?1?x1?1?x2πdy?2π1?x2. 当|y|≤1时，f1?y21Y(y)?1?1?y2πdx?2π1?y2. 显然fX(x)?fY(y)?f(x,y).
故X和Y不是相互独立的.
17.设随机变量（X，Y）的分布律为 X ??1 0 1 Y ??1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y分布律，其分布律如下表
X ??1 0 1 XY的
6
及 P
Y P
XY P 3 8??1 2 80 3 81 3 8??1 2 80 3 81 2428 8 8
由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的. 又P{X??1}?P{Y??1}?38?38?18?P{X??1,Y??1} 从而X与Y不是相互独立的.
18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均
匀分布，求Cov（X，Y），ρXY. 【解】如图，S1D=
2，故（X，Y）的概率密度为
题18图
f(x,y)???2,(x,y)?D,?0,其他. E(X)???xf(x,y)dxdy??11?x10dx?0x?2dy?
D3E(X2)???x2f(x,y)dxdy??1dx?1?x2dy?1D002x6 2从而D(X)?E(X2)?[E(X)]2?1?1?16???3???18.
同理E(Y)?13,D(Y)?118. 而 E(XY)???xyf(x,y)dxdy???2xydxdy??1dx1?xDD0?02xydy
112. 7
?所以
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)?112?1113?3??36. ?1从而
?X,Y)361XY?Cov(D(X)?D(Y)?1??2
18?11819.设（X，Y）的概率密度为
?f（x，y）=?1??2sin(x?y),0?x?ππ2,0?y?2,
?0,其他.求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY. 【解】E(X)???????y??π/2π/2????xf(x,y)dxd0dx?0x?12sin(x?y)dy?π4. ππ E(X2)??2220?1π20dx?xπ2sin(x?y)dy?8?2?2. 从而
D(X)?E(X2)?[E(X)]2?π2π16?2?2.
同理 E(Y)?ππ24,D(Y)?16?π2?2. 又 E(XY)??π/20dx?π/20xysin(x?y)dxdy?π2?1,2故 CovX(Y,?)EX(Y?)E?X()E?Y(??π)???π?1π???π?4?2?4?4???4??
2Cov(X,Y)???π?4???XY?D(X)?D(Y)??4?(π?4)2π2?8π?16π2π??π2?8π?32??2.
16?2?2π?8π?3220.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为??11?，试求Z?14??1=X??2Y和Z2=2X??Y的相关系数.
【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.
从而
D(Z1)?D(X?2Y)?D(X)?4D(Y)?4Cov(X,Y)?1?4?4?4?1?13,D(Z2)?D(2X?Y)?4D(X)?D(Y)?4Cov(X,Y)?4?1?4?4?1?4,
8
.Cov(Z1,Z2)?Cov(X?2Y,2X?Y)
?2Cov(X,X)?4Cov(Y,X)?Cov(X,Y)?2Cov(Y,Y)
?2D(X)?5Cov(X,Y)?2D(Y)?2?1?5?1?2?4?5.故
?Cov(Z1,Z2)Z1Z2?D(Z?5?513.
1)?D(Z2)13?42621.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：
［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.
这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy??Schwarz）不等式. 【证】令g(t)?E{[V?tW]2},t?R.
显然
0?g(t)?E[(V?tW)2]?E[V2?2tVW?t2W2]
?E[V2]?2t?E[VW]?t2?E[W2],?t?R.
可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0， 即0???[2E(VW)]2?4E(W2)?E(V2)
?4{E[V(W2)?]EV2(?)EW2( )}.故[E(VW)]2?E(V2)?E(W2)}.
22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现
故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.
【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间
X~E(λ),E(X)=
1?=5.
依题意Y=min(X,2).
对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0. 对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.
对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为 P{X≤x}=1??e??λx,所以
F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1??e??y/5.
23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装
有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1） Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为
P{Z?k}?Ck?k3?C33C3, k?0,1,2,3. 6 Z的数学期9
Z=k Pk 0 1 2 3 99 202019913?1??2??3??. 因此，E(Z)?0?20202020231 201 20(2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有
P(A)??P{Z?k}?P{A|Z?k}
k?0 ?19192131?0???????. 20206206206424.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ,1），内径小于10或
大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系
若X?10,??1,?T=?20,若10?X?12, ??5,若X?12.?问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
【解】E(T)??P{X?10}?20P{10?X?12}?5P{X?12}
??P{X?u?10?u?}20P{1?0?u?X?u?12?u}P?5X{? ???(10?u?)2?0[?(1u2??)?(u1?0?)?]5[?1u(12?25?(1?2u?)?21?(u10?)5.故
u?12u)]
dE(T)1?x2/2 令 ?25?(12?u)?(?1)?21?(10?u)?(?1)0(这里?(x)?e), du2?得 25e两边取对数有
?(12?u)2/2?21e?(10?u)2/2
11ln25?(12?u)2?ln21?(10?u)2.
221251?11?ln1.19?10.9128(毫米)解得 u?11?ln
2212由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大.
25.设随机变量X的概率密度为
1x??cos,0?x?π,f(x)=?2 2?其他.?0,对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望.
（2002研考）
10
π?1,X?,??3【解】令 Yi??(i?1,2,3,4)
???0,X?π3.则Y??4Yi~B(4,p).因为
i?1p?P{X?π3}?1?P{X?πππ/31x13}及P{X?3}??02cos2dx?2,
所以E(Y111i)?2,D(Yi)?4,E(Y)?4?2?2,
D(Y)?4?112?2?1?E(Y2)?(EY)2,
从而E(Y2)?D(Y)?[E(Y)]2?1?22?5.
26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布，开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）. 【解】由题意知：
?5e?5tf(t)??,t?0,i?0,t?0.
因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).
当t<0时，fT(t)=0;
当t≥0时，利用卷积公式得
f??t)T(t)????f1(x)?f2(t?x)dx??5e?5x?5e?5(t?xdx?25te?5t0
故得
f(t)???25te?5t,t?0,T ?0,t?0.由于T1i ~E(5),故知E(Ti)=
5,D(T1i)=25(i=1,2) 因此，有E(T)=E(T)=21+T25.
又因T,T=D（T212独立，所以D（T）1+T2）=25.
27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变
量|X??Y|的方差.
【解】设Z=X??Y，由于X~N???1?2?0,?????2????,Y~N?0,?????1?2??2????, ?且X和Y相互独立，故Z~N（0，1）.
11
首先
因
D(X?Y)?D(Z)?E(|Z|2)?[E(|Z|)]2
?E(Z2)?[E(Z)]2,
而
E(Z2)?D(Z)?1,E(|Z|)????1??|z|2πe?z2/2dz ?22π???0ze?z2/2dz?2π， 所以 D(|X?Y|)?1?2π. 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0 一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为（X）和D（X）. 【解】记q=1??p,X的概率分布为P{X=i}=qi??1p,i=1,2,…， ?故E(X)??iqi?1?p?p(?qi)??p?q???p?1. i?1i?1??1?q??(1?q)2p??又E(X2)??i2qi?1p?2i?1?p i?1?(i?i)qp?i?2?iqi?1i?1?pq(?qi)????q2????11 i?2p?pq??1?q???p ?2pq(1?q)3?1p?1?q2?pp2?p2.所以 D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2?pp2?11?pp2?p2. 题29图 29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上 服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) =D(X)+D(Y)+2[E(XY)??E(X)·E(Y)]. X，求E12 由条件知X和Y的联合密度为 ?2,(x,y)?G, G?{(x,y)|?0x?1,?0y?f(x,y)???0,t?0.从而fX(x)?因此 x1,?y? ?????f(x,y)dy??2dy?2x. 1?x11211312E(X)??xfX(x)dx??2xdx?,E(X)??2x3dx?, 00022141D(X)?E(X2)?[E(X)]2???. 291831同理可得 E(Y)?,D(Y)?. 218E(XY)???2xydxdy?2?xdx?G0111?xydy?5, 12541???, 129361121???. 于是 D(U)?D(X?Y)?18183618Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)?30.设随机变量U在区间[??2,2]上服从均匀分布，随机变量 X=???1,若U??1，??1,若U?1， Y=? ?1,若U??1，?1,若U?1.试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（X+Y）. 【解】（1） 为求X和Y的联合概率分布，就要计算（X，Y）的4个可能取值(??1,??1),(??1,1),(1,??1)及(1,1)的概率. P{x=??1,Y=??1}=P{U≤??1,U≤1} ?P{U??1}??1dxdx1?????4??244 P{X=??1,Y=1}=P{U≤??1,U>1}=P{?}=0, ?1P{X=1,Y=??1}=P{U>??1,U≤1} ?P{?1?U?1}??dx1? ?144121P{X?1,Y?1}?P{U??1,U?1}?P{U?1}?故得X与Y的联合概率分布为 dx1?. 44?(?1,?1)(?1,1)(1,?1)(1,1)??. (X,Y)~?111??0?424?(2) 因D(X?Y)?E[(X?Y)]?[E(X?Y)],而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应 为 22 13 ?20204????X?Y~??111??, (X?Y)2~??42?11?4??22?. ?从而E(X?Y)?(?2)?14?2?14?0, E[(X?Y)2]?0?112?4?2?2, 所以D(X?Y)?E[(X?Y)2]?[E(X?Y)]2?2. 31.设随机变量X的概率密度为f(x)=1?x2e，（??∞ (1) 求E（X）及D（X）； （2） 求Cov(X,|X|),并问X与|X|是否不相关？ （3） 问X与|X|是否相互独立，为什么？ 【解】(1)E(X)??????x?1?|x|2edx?0. D(X)????21?|x|????(x?0)?2edx?0?0x2e?xdx?2. (2) Cov(X,|X)?E(X?|X|)?E(X)?E(|X|)?E(X?|X|) ????x|x|?1??2e?|x|dx?0, 所以X与|X|互不相关. (3) 为判断|X|与X的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域 ??∞ {?x0?X?x0}?{|X|?x0}?{X?x0}. 所以0?P{|X|?x0}?P{X?x0}?1. 故由 P{X?x0,|X|?x0}?P{|X|?x0}?P{|X|?x0}?P{X得出X与|X|不相互独立. 32.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且ρXY=??1/2，设Z= X3?Y2. （1） 求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）； （2） 求X与Z的相关系数ρXZ； （3） 问X与Z是否相互独立，为什么？ 【解】(1) E(Z)?E??X?3?Y?2?1??3. x0} X与Y的相关系数 14 ? D(Z)?D??X?3??Y??XY??D?2Cov????,? ??2??32?1111 ?9?9?4?16?2?3?2Cov(X,Y), 而 Cov(X,Y)???1?XYD(X)?D(Y)????2???3?4??6 所以 D(Z)?1?4?6?13?3. (2) 因Cov(X,Z)?Cov??X,X?3?Y?2???13Cov?X,X??12Cov?X,Y? ?13D(X)?12?(?6)?93-3=0, 所以 ?X,Z)XZ?Cov(D(X)?D(Z)?0. (3) 由?，得X与Z不相关.又因Z~N??1?,3?XZ??03??,X~N(1,9)，所以X相互独立. 33.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系 数?XY. 【解】由条件知X+Y=n，则有D（X+Y）=D（n）=0. 再由X~B(n,p),Y~B(n,q)，且p=q= 12, 从而有 D(X)?npq?n4?D(Y) 所以 0?D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)?D(Y) ?n2?2?nXY?4, 故?XY=??1. 34.设随机变量X和Y的联合概率分布为 Y ??1 0 1 X 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 试求X和Y的相关系数ρ. 【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布为 YX ??1 0 1 Z也15 与 P 0.08 0.72 0.2 所以E（XY）=??0.08+0.2=0.12 Cov(X,Y)=E(XY)??E(X)·E(Y)=0.12??0.6×0.2=0 从而 ?XY=0 35.对于任意两事件A和B，0 ρ= P?AB??P(A)?P(B)为事件A和B的相关系数.试证： P(A)P(B)P(A)P(B)（1） 事件A和B独立的充分必要条件是ρ=0； （2） |ρ|≤1. 【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P(AB)??P(A)·P(B)=0. 而这恰好是两事件A、B独立的定义，即ρ=0是A和B独立的充分必要条件(2) 引入随机变量X与Y为 X????1,若A发生,? Y???1,若B发生,?0,若A发生;??若B发生. ?0,由条件知，X和Y都服从0??1分布，即 X~??011?1?P(A)P(A) Y~??0?1?P(B)P(B)从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B), D(X)=P(A)·P(A),D(Y)=P(B)·P(B), Cov(X,Y)=P(AB)??P(A)·P(B) 所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X的概率密度为 ??12,?1?x?0,f???1X(x)=4,0?x?2, ??0,其他.??令Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求： (1) Y的概率密度fY(y)； (2) Cov(X,Y); (3)F(?12,4). 解： (1) Y的分布函数为 FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}. 当y≤0时， FY(y)?0，fY(y)?0； . 16 当0＜y＜1时， FY(y)?P{?y?X?y}?P{?y?X?0}?P{0?X?y}?3y， 4fY(y)?38y； 当1≤y<4时， FY(y)?P{?1?X?0}?P{0?X?y}?11?y 当y≥4时，FY(y)故Y的概率密度为(2) 故 (3) 24f1Y(y)?8y； ，fY(y)?0. ??38y,0?y?1,?f(y)?0?Y?1??8y,1?y?4, ??0, 其他. E(X)=?+?-?xf01X(x)dx??-12xdx??2104xdx?14, E(Y)=E(X2)=?+?201-?xfX(x)dx??-12x2dx??2104x2dx?56), E(XY)=E(Y2)=?+?301-?xfX(x)dx??-12x3dx??2104x3dx?78, Cov(X,Y) =E(XY)-E(X)?E(Y)=23. F(?12,4)?P{X??1122,Y?4}?P{X??2,X?4} ?P{X??112,?2?X?2}?P{?2?X??2} ?P{?1?X??112}?4. 17 ?1 百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库2024修订版概率论与数理统计课后答案(4)在线全文阅读。
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