九年级数学上学期周练试卷(4)(含解析) 新人教版

2015-2016学年北京市北达资源中学九年级（上）周练数学试卷（4）

一、选择题（每题4分，共24分）

1．已知⊙O的半径是5，OP的长为7，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 2．若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．内含 D．外离或内含

3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（ ）

A．40° B．50° C．65° D．75°

4．如图所示，O是线段AB上的一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）

A．50° B．40° C．60° D．70°

5．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（ ）

A．2 B．3 C． D．2

6．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（ ）

A． B．4.75 C．5 D．4.8

二、填空题（每小题4分，共40分）

7．如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC= °．

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1

8．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为 （度）．

9．如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是 cm．

10．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知PA=7cm，则△PCD的周长等于 cm．

11．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF=3，则内切圆的半径r= ．

12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于 ．

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2

13．如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一点E，以BE为直径的☉O恰与AC相切于点D．若AE=2，AD=4．则☉O的直径BE= ；△ABC的面积为 ．

14．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 cm．

15．直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B，C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是 ．

16．已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC的度数是 ．

三、解答题（第17题16分，第18、19题每题10分，共36分） 17．如图，C为圆周上一点，BD是☉O的切线，B为切点．

（1）在图（1）中，AB是☉O的直径，∠BAC=30°，则∠DBC的度数为 ． （2）在图（2）中，∠BA1C=40°，求∠DBC的度数． （3）在图（3）中，∠BA1C=α，求∠DBC的大小． （4）通过（1）、（2）、（3）的探究，你发现的结论是 （5）如图（4），AC是☉O的直径，∠ACB=60°，连接AB，过A、B两点分别作☉O的切线，两切线交于点P．若已知☉O的半径为1，则△PAB的周长为 ． （6）如图（5），C是⊙O的直径AB延长线上的一点，CD切⊙O于D，∠ACD的平分线分别交AD、BD于E、F，试猜想∠DEF的度数并说明理由．

18．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于A、E、D，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，求

（1）∠BOC 的度数； （2）⊙O的半径； （3）AB+CD的值．

19．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上，CE=CA，AB，CE的延长线交于点F．

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3

，求BD的长．

第页（共17页）4

（1）求证：CE与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为3，EF=4

2015-2016学年北京市北达资源中学九年级（上）周练数学试卷（4）

参考答案与试题解析

一、选择题（每题4分，共24分）

1．已知⊙O的半径是5，OP的长为7，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【考点】点与圆的位置关系．

【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：∵⊙O的半径是5，OP的长为7，5＜7， ∴点P在圆外． 故选C．

2．若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．内含 D．外离或内含 【考点】圆与圆的位置关系． 【分析】此题要求两个圆的位置关系，可观察两个圆之间的交点个数，一个交点两圆相切（内切或外切），两个交点两圆相交，没有交点两圆相离（外离或内含）． 【解答】解：外离或内含时，两圆没有公共点．故选D．

3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（ ）

A．40° B．50° C．65° D．75° 【考点】切线的性质． 【分析】根据切线的性质可判断∠OBA=90°，再由∠BAO=40°可得出∠O=50°，在等腰△OBC中求出∠OCB即可．

【解答】解：∵AB是⊙O的切线，B为切点， ∴OB⊥AB，即∠OBA=90°， ∵∠BAO=40°， ∴∠O=50°，

∵OB=OC（都是半径）， ∴∠OCB==65°．

故选C．

4．如图所示，O是线段AB上的一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）

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5

A．50° B．40° C．60° D．70° 【考点】切线的性质；圆周角定理．

【分析】连接OC，由CE为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CE，即三角形OCE为直角三角形，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角∠CDB的度数，求出圆心角∠COB的度数，在直角三角形OCE中，利用直角三角形的两锐角互余，即可求出∠E的度数．

【解答】解：连接OC，如图所示：

∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC， ∴∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°， ∴∠BOC=40°，

又∵CE为圆O的切线， ∴OC⊥CE，即∠OCE=90°， 则∠E=90°﹣40°=50°． 故选A．

5．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（ ）

A．2 B．3 C． D．2

【考点】三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义．

【分析】欲求三角形的边长，已知内切圆半径，可过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解． 【解答】解：过O点作OD⊥AB，则OD=1； ∵O是△ABC的内心， ∴∠OAD=30°；

Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=1， ∴AD=OD?cot30°=，

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6

∴AB=2AD=2故选D．

．

6．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（ ）

A． B．4.75 C．5 D．4.8

【考点】切线的性质；勾股定理的逆定理；圆周角定理．

【分析】设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形OC+OD=EF，由三角形的三边关系知，CO+OD＞CD；只有当点O在CD上时，OC+OD=EF有最小值为CD的长，即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC?AC÷AB=4.8． 【解答】解：如图，∵∠ACB=90°， ∴EF是直径，

设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，CO，CD，则OD⊥AB． ∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴∠ACB=90°，

∴EF为直径，OC+OD=EF， ∴CO+OD＞CD=4.8，

∵当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值 ∴由三角形面积公式得：CD=BC?AC÷AB=4.8． 故选D．

二、填空题（每小题4分，共40分）

7．如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC= 115 °．

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7

【考点】三角形的内切圆与内心．

【分析】由三角形内切定义可知：IB、IC是∠ABC、∠ACB的角平分线，所以可得到关系式∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入即可解出∠BIC的值． 【解答】解：∵IB、IC是∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）==65°，

∴∠BIC=180°﹣65°=115°． 故答案为：115．

8．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为 55 （度）．

【考点】切线的性质．

【分析】首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．

【解答】解：连接OA，OB， ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， 即∠PAO=∠PBO=90°，

∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°， ∴∠C=∠AOB=55°． 故答案为：55．

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8

9．如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是 10 cm．

【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．

【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．

【解答】解：如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB=8cm，CD=2cm． 连接OC，交AB于D点．连接OA． ∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切， ∴OC⊥AB． ∴AD=4cm．

222

设半径为Rcm，则R=4+（R﹣2）， 解得R=5，

∴该光盘的直径是10cm． 故答案为：10

10．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知PA=7cm，则△PCD的周长等于 14 cm．

【考点】切线长定理．

【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．

【解答】解：如图，设DC与⊙O的切点为E； ∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B； ∴PA=PB=7cm；

同理，可得：DE=DA，CE=CB；

则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14cm； 故△PCD的周长是14cm．

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9

11．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF=3，则内切圆的半径r= 1 ．

【考点】三角形的内切圆与内心；切线长定理．

【分析】根据切线长定理得出AF=AE，EC=CD，DB=BF，进而得出△ABC是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可．

【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F， ∴AF=AE，EC=CD，DB=BF， ∵AE=2，CD=1，BF=3， ∴AF=2，EC=1，BD=3，

∴AB=BF+AF=3+2=5，BC=BD+DC=4，AC=AE+EC=3， ∴△ABC是直角三角形， ∴内切圆的半径r=

=1，

故答案为：1．

12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于 69° ．

【考点】圆内接四边形的性质．

【分析】由∠BOD=138°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，又由圆的内接四边四边形的性质，求得∠BCD的度数，继而求得∠DCE的度数 【解答】解：∵∠BOD=138°， ∴∠A=∠BOD=69°，

∴∠BCD=180°﹣∠A=111°， ∴∠DCE=180°﹣∠BCD=69°． 故答案为：69°．

13．如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一点E，以BE为直径的☉O恰与AC相切于点D．若AE=2，AD=4．则☉O的直径BE= 6 ；△ABC的面积为 24 ．

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10

【考点】切线的性质．

【分析】连接OD，由切线的性质可知△OAD为直角三角形，设半径为x，在Rt△AOD中由勾股定理可列方程，可求得x的值，则可求得BE的长；再由条件可证明△AOD∽△ACB，由相似三角形的性质可求得BC的长，则容易求得△ABC的面积． 【解答】解： 如图，连接OD， ∵AC与⊙O相切， ∴OD⊥AC，

设⊙O的半径为x， 则OE=OB=OD=x， ∴AO=AE+OE=2+x，

222

在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO=OD+AD， 即（2+x）2=x2+42，解得x=3， ∴BE=2x=6，

∴AB=AE+BE=2+6=8，

∵∠ABC=∠ADO=90°，∠OAD=∠CAB， ∴△AOD∽△ACB， ∴

=

，即=

，解得BC=6，

∴S△ABC=AB?BC=×8×6=24， 故答案为：6；24．

14．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 4或2 cm．

【考点】点与圆的位置关系．

【分析】解答此题应进行分类讨论，点P可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部． 【解答】解：当点P在圆内时，则直径=6+2=8cm，因而半径是4cm； 当点P在圆外时，直径=6﹣2=4cm，因而半径是2cm． 所以⊙O的半径为4或2cm． 故答案为：4或2．

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11

15．直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B，C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是 25°或155° ． 【考点】切线的性质．

【分析】连结OB，根据切线的性质得OB⊥BA，可求出∠AOB=50°，然后讨论：当点D在优弧BC上时，根据圆周角定理即可得到∠BDC=∠AOB=25°；当点D在劣弧BC上时，即在D′点处，则可根据圆内接四边形的性质求出∠BD′C=180°﹣25°=155°． 【解答】解：当点D在优弧BC上时，如图， 连结OB，

∵直线AB与⊙O相切于B点， ∴OB⊥BA， ∴∠OBA=90°， ∵∠A=40°， ∴∠AOB=50°， ∴∠BDC=∠AOB=25°；

当点D在劣弧BC上时，即在D′点处，如图， ∵∠BDC+∠BD′C=180°，

∴∠BD′C=180°﹣25°=155°， ∴∠BDC的度数为25°或155°． 故答案为：25°或155°．

16．已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC的度数是 15°或75° ． 【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】根据垂径定理和勾股定理可得．

【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E． ∵OE⊥AC，OD⊥AB，根据垂径定理得AE=AC=

，AD=AB=

，

∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，

根据特殊角的三角函数值可得∠AOE=60°，∠AOD=45°， ∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°， ∴∠BAC=45°+30°=75°， 或∠BAC′=45°﹣30°=15°． 故答案为：15°或75°．

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12

三、解答题（第17题16分，第18、19题每题10分，共36分） 17．如图，C为圆周上一点，BD是☉O的切线，B为切点．

（1）在图（1）中，AB是☉O的直径，∠BAC=30°，则∠DBC的度数为 30° ． （2）在图（2）中，∠BA1C=40°，求∠DBC的度数． （3）在图（3）中，∠BA1C=α，求∠DBC的大小． （4）通过（1）、（2）、（3）的探究，你发现的结论是 弦切角等于它夹的弧所对的圆周角 （5）如图（4），AC是☉O的直径，∠ACB=60°，连接AB，过A、B两点分别作☉O的切线，两切线交于点P．若已知☉O的半径为1，则△PAB的周长为 3 ． （6）如图（5），C是⊙O的直径AB延长线上的一点，CD切⊙O于D，∠ACD的平分线分别交AD、BD于E、F，试猜想∠DEF的度数并说明理由． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）由切线的性质和圆周角定理以及角的互余关系得出∠DBC=∠A=30°即可； （2）连接AC，由（1）得出∠DBC=∠A，由圆周角定理得出∠A=∠A1，即可得出∠DBC=∠BA1C=40°；

（3）由（2）得出∠DBC=∠BA2C=α即可；

（4）∠DBC等于所对的圆周角，得出弦切角定理；

（5）先在RtABC求出BC，再判断出三角形PAB是等边三角形即可求出结论；

（6）先判断出∠CAD=∠COD，∠ACE=∠ACD，再利用切线得出∠COD+∠ACD=90°，最后用三角形的外角的性质即可得出结论； 【解答】解：（1） ∵BD是⊙0的切线， ∴∠ABO=90°，

即∠ABC+∠DBC=90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°

∴∠A+∠ABC=90°， ∴∠DBC=∠A=30°； 故答案为：30°，

（2）连接BO交⊙O于A，连接AC，如图所示：

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13

由（1）得：∠DBC=∠A， 又∵∠A=∠A1，

∴∠DBC=∠BA1C=40°；

（3）由（2）得：∠DBC=∠BA2C=α； （4）∠DBC等于所对的圆周角； 弦切角等于它夹的弧所对的圆周角，

故答案为：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角； （5）连接如图OB，

在Rt△ABC中，AC=2OA=2，∠ACB=60°， ∴AB=，∠AOB=120° ∵PA，PB分别与⊙O相切， ∴∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB ∴∠APB=60°，

∴△PAB是等边三角形， ∴PA=PB=AB=，

∴△PAB的周长为3， 故答案为3； （6）如图5，

连接OD，

∴∠DAC=∠COD， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠ODC=90°，

∴∠ACD+∠COD=90°， ∵CE是∠ACD的角平分线， ∴∠ACE=∠ACD

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14

∴∠DEF=∠DAC+∠ACE=∠COD+∠ACD=（∠COD+∠ACD）=45°．

18．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于A、E、D，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，求

（1）∠BOC 的度数； （2）⊙O的半径； （3）AB+CD的值．

【考点】切线的性质． 【分析】（1）连接OA，OE，证明Rt△OAB≌Rt△OEB，由此可得∠ABO=∠OBE，再由平行的性质即可求解∠BOC 的度数；

（2）由勾股定理求得BC，再由三角形的面积求得⊙O的半径． （3）利用（1）中所得AB=BE、CE=CD即可． 【解答】解：（1）连接OA，OE．

∵直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于A、E、D， ∴OA⊥AB，OE⊥BC，

∴∠OAB=∠OEB=90°，OA=OE 在Rt△OAB 与Rt△OEB中

∴Rt△OAB≌Rt△OEB（HL） ∴∠ABO=∠OBE，AB=BE

同理可证：∠OCE=∠OCD，CE=CD， 又∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠DCB=180°， ∴∠OBC+∠OCB=90°， ∴∠BOC=90°

（2）在Rt△BOC中，BC=∴OB?OC=BC?r r=

=4.8

=10

即：⊙O的半径为4.8 （3）由（1）可知： AB=BE，CE=CD，

∴AB+CD=BE+CE=BC=10

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15

即：BC的值为10

19．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上，CE=CA，AB，CE的延长线交于点F． （1）求证：CE与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为3，EF=4，求BD的长．

【考点】切线的判定；勾股定理． 【分析】（1）连接OE，OC，通过三角形求得证得∠OEC=∠OAC，从而证得OE⊥CF，即可证得结论；

（2）根据勾股定理求得OF，解直角三角形求得

．进而求得AC=6，从而求得

△ABC是等腰直角三角形，根据勾股定理求得BC，然后根据等腰三角形三线合一的性质求得DB即可． 【解答】（1）证明：连接OE，OC． 在△OEC与△OAC中，

∴△OEC≌△OAC（SSS）， ∴∠OEC=∠OAC． ∵∠OAC=90°， ∴∠OEC=90°． ∴OE⊥CF于E． ∴CF与⊙O相切． （2）解：连接AD． ∵∠OEC=90°， ∴∠OEF=90°． ∵⊙O的半径为3， ∴OE=OA=3．

在Rt△OEF中，∠OEF=90°，OE=3，EF=4，

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16

∴，．

在Rt△FAC中，∠FAC=90°，AF=AO+OF=8， ∴AC=AF?tanF=6， ∵AB为直径，

∴AB=6=AC，∠ADB=90°． ∴BD=

．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°， ∴．

∴BD=

．

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