§1 椭__圆
1．1 椭圆及其标准方程
[对应学生用书P43]
椭圆的定义 设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点，用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．
问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？
提示：相同．
问题2：这种游戏设计的原理是什么？
提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．
问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？ 提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点间的距离．
椭圆的定义 定义 焦点 焦距 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆 两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点 两焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距 集合语言 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a＞|F1F2|} 椭圆的标准方程 在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，－2)． 问题1：若动点P满足|PA|＋|PB|＝6，则P点的轨迹方程是什么？ 提示：＋＝1.
95
问题2：若动点P满足|PC|＋|PD|＝6，则动点P的轨迹方程是什么？
x2y2
提示：＋＝1.
95
椭圆的标准方程
y2x2
标准方程 焦点坐标 焦点在x轴上 焦点在y轴上 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2(±c,0) y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2(0，±c) a、b、c的关系 a2－b2＝c2 1．平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a， 当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是一条线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，点M的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程有两种形式，若含x项的分母大于含y项的分母，则椭圆的焦点在
2
2
x轴上，反之焦点在y轴上．
[对应学生用书P44]
椭圆的标准方程 [例1] 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a＝4，c＝3，焦点在y轴上； (2)a＋b＝8，c＝4；
(3)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．
[思路点拨] 求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定a和b的值．
y2x2
[精解详析] (1)焦点在y轴上，设标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，
ab则a＝16，b＝a－c＝16－9＝7.
2
2
2
2
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
167
??a＋b＝8，(2)?22
?a－b＝16???a＋b＝8，??
?a－b＝2?
y2x2
??a＋b＝8，??
?a＋b?
a－b＝16
??a＝5，??
?b＝3.?
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 259259
(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为
x2y2y2x2
x2y2
＋＝1(a＞b＞0)． a2b2
??依题意有?
??
2
3
2
a2a2
＋
2
－
2
b2
1
＝1，
－23
＋2＝1，
b
2
??a＝15，
解得?2
?b＝5.?
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
155
x2y2
y2x2
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．依题意有
ab??a?1??a＋2
－
2
2
＋－23
3
2
b2
2
＝1，
b2
＝1，
2
??a＝5，
解得?2
?b＝15.?
舍去，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
155
法二：设所求椭圆的方程为mx＋ny＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．
2
x2y2
??3m＋4n＝1，
依题意有?
?12m＋n＝1，?
x2
1
m＝，??15解得?1
n＝??5.
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
155
y2
[一点通]
求椭圆标准方程的一般步骤为：
x2y2
1．如果方程2＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
aa＋6
A．(3，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
??a＞a＋6，
解析：由于椭圆的焦点在x轴上，所以?
?a＋6＞0，?
2
??a＋
即?
?a＞－6.?
a－＞0，
解
得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.
答案：D
2．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为______________．
解析：由已知，2a＝8,2c＝215，∴a＝4，c＝15， ∴b＝a－c＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为＋x＝1.
16答案：＋x＝1
16
3．求焦点在坐标轴上，且过点A(2,0)和B?1，
2
2
2
y2
2
y2
2
??3?
?的椭圆的标准方程． 2?
x2y2
解：法一：若焦点在x轴上，设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab4??a＝1，
依题意，有?13
＋??a4b＝1，
222
2
解得a＝4，b＝1.
22
2
??a＝1，y2x2
若焦点在y轴上，设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，同理?2
ab??b＝4，
这与a>b矛盾．
故所求椭圆方程为＋y＝1.
4
法二：设椭圆的方程为mx＋ny＝1(m>0，n>0，m≠n)． 4m＝1，??
将A，B坐标代入得?3
m＋n＝1，??41??m＝，
解得?4
??n＝1，
2
x2
2
故所求椭圆方程为＋y＝1.
4
x2
2
椭圆的定义及应用
[例2] 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在椭圆上，
43
x2y2
F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
[思路点拨] 因为∠PF1F2＝120°，|F1F2|＝2c，所以要求S△PF1F2，只要求|PF1|即可．可由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a，并结合余弦定理求解．
[精解详析] 由已知a＝2，b＝3， 所以c＝a－b＝1，|F1F2|＝2c＝2， 在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF2|＝|PF1|＋|F1F2|－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°， 即|PF2|＝|PF1|＋4＋2|PF1|.① 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|.② 6将②代入①解得|PF1|＝，
5
116333
∴S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×＝. 22525
2
2
2
2
2
2
2
3
因此所求△PF1F2的面积是3.
5[一点通]
椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾股定理等知1
识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求面积，
2这时可把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|＋|PF2|＝4a－2|PF1||PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．
4．平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|＋|MB|为定值，q：点M的轨迹是以
2
2
2
A，B为焦点的椭圆．那么( )
A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件
D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件
解析：若|MA|＋|MB|为定值，只有定值>|AB|时，点M轨迹才是椭圆．故p为q的必要不充分条件．
答案：B
5．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|AF2|
259＋|BF2|＝12，则|AB|＝________.
解析：由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|AF2|＋|BF2|)＝20，即|AB|＝8.
答案：8
6．点P在椭圆＋y＝1上，且PF1⊥PF2，求S△PF1F2.
4解：∵点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF1|＋|PF2|＋2|PF1||PF2|＝16， 又PF1⊥PF2，∴|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝12， ∴|PF1||PF2|＝2，
1
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝1.
2
2
2
2
2
2
x2y2
x2
2
与椭圆有关的轨迹问题 [例3] 已知圆B：(x＋1)＋y＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．
[思路点拨] P为AC垂直平分线上的点，则|PA|＝|PC|，而BC为圆的半径，从而4＝|PA|＋|PB|，可得点P轨迹为以A，B为焦点的椭圆．
[精解详析] 如图所示，连接AP，∵l垂直平分AC， ∴|AP|＝|CP|.
∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4， ∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∵2a＝4,2c＝|AB|＝2， ∴a＝2，c＝1，b＝a－c＝3. ∴点P的轨迹方程为＋＝1.
43[一点通]
求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：
(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程； (2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a，b的值，得到标准方程．
7．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0，－6)，边AB，AC所在直线的斜率的乘2
积是－，求顶点A的轨迹方程．
3
解：设顶点A的坐标为(x，y)，由题意得
2
2
222x2y2
y－6y＋62x2y2
·＝－，化简整理，得＋＝1， xx35436
又A，B，C是△ABC的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，因此y≠±6，所以顶点A的轨迹方程为＋＝1(y≠±6)．
5436
8．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)＋y＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆M和定圆B内切于点C，由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心M到两定点A(－3,0)，B(3,0)的距离之和
2
2
x2y2
等于定圆的半径，
∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 且2a＝8,2c＝6，b＝a－c＝7， ∴M的轨迹方程是＋＝1.
167
1．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设为Ax＋By＝1(A>0，B>0，A≠B)求解．
2．解决与椭圆有关的轨迹问题时，要注意检验所得到的方程的解是否都在曲线上． 3．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a求解，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．
[对应课时跟踪训练十四
1．椭圆25x＋16y＝1的焦点坐标是( ) A．(±3,0) 3
C．(±，0)
20
1
B．(±，0)
33
D．(0，±)
20
2
2
2
2
2
2
x2y2
11222
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y轴上，其中a＝，b＝，所以c11162525161193322
＝a－ b＝－＝，故c＝.所以该椭圆的焦点坐标为(0，±)，故选
16254002020
答案：D
2．若椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为( ) 259A．5 C．4
B．6 D．1
D.
x2y2
x2y2
解析：由椭圆的定义知a＝5，点P到两个焦点的距离之和为2a＝10.因为点P到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.
答案：A
3．已知椭圆的焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )
A.
＋＝1 169
x2y2
B.
＋＝1 1612
x2y2
C.＋＝1 43
x2y2
D.＋＝1 34
x2y2
解析：∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴|F1F2|＝2， 又∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项， ∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，即2a＝4. 又c＝1，∴b＝3.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
43答案：C
3??5
4．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P?，－?的椭圆的标准方程
2??2是( )
A.
＋＝1
106
2
x2y2
x2y2
B.
＋＝1 106
y2x2
C.＋＝1 92544
解析：由椭圆定义知：2a＝210.
∴a＝10.∴b＝a－c＝6. 答案：A
22x2y2
D.＋＝1 92544
y2x2
?5＋2?2＋?－3?2＋?2??2??????5－2?2＋?3?2＝310＋10＝
?2??2?22????
5．椭圆5x－ky＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝________. 解析：椭圆方程可化为：x＋
2
22
＝1，
5－
y2
k522
则a＝－，b＝1，又c＝2，
k5
∴－－1＝4，∴k＝－1.
k答案：－1
6．设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是其左、右两焦点，若|PF1|·|PF2|＝8，则|OP|
95＝________.
解析：由题意，|PF1|＋|PF2|＝6，两边平方得|PF1|＋2|PF1|·|PF2|＋|PF2|＝36.因为|PF1|·|PF2|＝8，所以|PF1|＋|PF2|＝20.以PF1，PF2为邻边做平行四边形，则|OP|正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP|)＋(2c)＝2(|PF1|＋|PF2|)．所以4|OP|＋(2×2)＝2×20，所以|OP|＝6.
答案：6
7．求以椭圆9x＋5y＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，6)的椭圆的标准方程． 解：法一：方程9x＋5y＝45可化为＋＝1.
59则焦点是F1(0,2)，F2(0，－2)．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
x2y2
y2x2
设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab∵M在椭圆上，∴2a＝|MF1|＋|MF2| ＝
2－0
2
＋6－2
2
＋2－0
2
＋6＋2
2
＝(23－2)＋(23＋2) ＝43，
∴a＝23，即a＝12. ∴b＝a－c＝12－4＝8. ∴椭圆的标准方程为＋＝1.
128
法二：由题意知，焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，则 设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，
λ＋4λ64
将x＝2，y＝6代入，得＋＝1，
λ＋4λ解得λ＝8，λ＝－2(舍去)． 所求椭圆方程为＋＝1.
128
8．点P为椭圆＋y＝1上一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
4
2
2
2
2
y2x2
y2x2
y2x2
x2
2
解：由题意知，a＝2，b＝1，c＝3，|PF1|＋|PF2|＝4.① 在△F1PF2中，
|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|－2|PF1||PF2|cos 60°， 即12＝|PF1|＋|PF2|－|PF1||PF2|.② ①得：|PF1|＋|PF2|＋2|PF1||PF2|＝16.③ 4
由②③得：|PF1||PF2|＝.
3
11433
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin 60°＝××＝.
22323
1．2 椭圆的简单性质
[对应学生用书P46]
中国第一颗探月卫星－－“嫦娥一号”发射后，首先进入一个椭圆形地球同步轨道，在第16小时时它的轨迹是近地点200 km，远地点5 100 km的椭圆，地球半径约为6 371 km.
问题1：此时椭圆的长轴长是多少？
??a－c＝6 371＋200，
提示：?
?a＋c＝6 371＋5 100?
2
2
2
2
2
2
2
2
?2a＝18 042 (km)．
问题2：此时椭圆的离心率为多少？ 提示：∵a＝9 021，c＝2 450， ∴e＝＝0.271 6.
椭圆的简单性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 ca图像 标准方程 范围 顶点 对称性 轴长 离心率 x2y2＋＝1(a＞b＞0) a2b2|x|≤a，|y|≤b (±a,0)，(0，±b) y2x2＋＝1(a＞b＞0) a2b2|x|≤b，|y|≤a (0，±a)，(±b,0) 对称轴：坐标轴 对称中心：(0,0) 长轴长2a，短轴长2b ce＝∈(0,1) a1．椭圆上到中心距离最远和最近的点：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴端点A1和A2到中心O的距离最远．
2．椭圆上一点与焦点距离的最值：点(a,0)，(－a,0)与焦点F1(－c,0)的距离，分别是椭圆上的点与焦点F1的最大距离和最小距离．
3．椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a＝b＋c，所以＝1－e，因此，当e越趋近于1时，越接近于0，椭圆越扁；当e越趋近于0时，越接近于1，椭圆越接近于圆．当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x＋y＝a.所以e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆．
[对应学生用书P47]
2
2
2
2
2
2
ba2
baba 椭圆的简单性质 [例1] 已知椭圆x＋(m＋3)y＝m(m＞0)的离心率e＝223，求m的值及椭圆的长轴和2短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
[思路点拨] 将椭圆方程化为标准形式，用m表示出a，b，c，再由e＝值，然后再求2a,2b，焦点坐标，顶点坐标．
3
，求出m的2
x2y2
[精解详析] 椭圆方程可化为＋＝1(m>0)，
mmm＋3
∵m－∴m＞＝m＋3
mmmm＋m＋3
2
＞0，
2
，即a＝m，b＝. m＋3m＋3
2
2
m∴c＝a－b＝ 由e＝
3
，得 2
mm＋m＋3
.
m＋23
＝，解得m＝1， m＋32
2
∴椭圆的标准方程为x＋＝1.
1413
∴a＝1，b＝，c＝.
22
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为
y2
F1?－
?
?3??3?，0?，F2?，0?， 2??2?
顶点坐标分别为
A1(－1,0)，A2(1,0)，B1?0，－?，B2?0，?.
22
??
1??
??
1??
[一点通] 求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，准确地写出a，b的数值，进而求出c及椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
1．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则( )
124168A．C1与C2顶点相同 C．C1与C2短轴长相同
B．C1与C2长轴长相同 D．C1与C2焦距相等
x2y2x2y2
解析：由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为42，故选D.
答案：D
2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是( )
A．(±1,0) C．(±7，0)
B．(0，±1) D．(0，±7)
2
2
2
2
解析：由题意，椭圆的焦点在y轴上，a＝4，b＝3，所以c＝a－b＝4－3＝7，所以椭圆的焦点坐标是(0，±7)，故选D.
答案：D
3．已知椭圆方程为4x＋9y＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解：把椭圆的方程化为标准方程＋＝1.
94
可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝3，短半轴长b＝2；又得半焦距c＝a－b＝9－4＝5.
因此，椭圆的长轴长2a＝6，短轴长2b＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e＝5
. 3
222
2
x2y2
椭圆性质的简单应用 [例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程． 2
(1)离心率e＝，短轴长为85；
3
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.
x2y2y2x2
[思路点拨] (1)焦点的位置不确定，可设标准方程为2＋2＝1或2＋2＝1(a>b>0)．
abab(2)画出图形，结合图形明确已知条件．
x2y2
[精解详析] (1)设椭圆的标准方程为2＋2＝1
aby2x2
或2＋2＝1(a>b>0)． abc2
由已知得e＝＝，2b＝85，
a3c2a2－b242
∴2＝2＝，b＝80. aa9
∴a＝144.
∴所求椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1.
1448014480
2
x2y2y2x2
(2)如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且OF＝c，A1A2＝2b，
∴c＝b＝3，∴a＝b＋c＝18， 故所求椭圆的方程为＋＝1. 189
[一点通]
利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置．
(2)设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)． (3)根据已知条件建立关于参数的方程，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式为b＝a－c，e＝等．
4．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
23
2
2
2
2
2
2
x2y2
cax2y2
?2323?A.?－，?
3??3
B.?
23??23??
，＋∞?∪?－∞，－?
3??3??
?4?C.?，＋∞?
?3?
4??D.?－∞，－?
3??
解析：因为点P在椭圆＋＝1的外部，
23
x2y2
2323
所以＋＞1，解得a＞或a＜－，故选B.
2333答案：B
5．已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若2
椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程为____________．
3
2
解析：∵椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA＝，
3∴点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
a212
c2
∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3，∴＝. 33
∴c＝2，b＝3－2＝5.
∴椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.
9559答案：＋＝1或＋＝1
9559
6．已知椭圆的对称轴为坐标轴，椭圆上的点到焦点的最近距离为4，短轴长为85，求椭圆的方程．
2
2
2
x2y2x2y2
x2y2x2y2
?b＝45，
解：由题意得，?a－c＝4，
?a＝b＋c，
2
2
2
y2
??a＝12，解得?
?c＝8，?
∴椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
1448014480
x2y2x2
椭圆的离心率
[例3] 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
[思路点拨] 求椭圆的离心率就是设法建立a，c的关系式，此题可利用kPF2＝kAB以及a＝c＋b来建立a，c的关系．
2
2
2
x2y2
[精解详析] 设椭圆的方程为2＋2＝1(a>b>0)．
ab则有F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)， 直线PF1的方程为x＝－c，
x2y2b2
代入方程2＋2＝1，得y＝±，
abab??∴P?－c，?.又PF2∥AB，∴kPF2＝kAB， a??b2－b∴＝，即b＝2c. －2acac21
∴b＝4c，∴a－c＝4c，∴2＝.
a5
2
2
2
2
2
2
152
∴e＝，即e＝，
55所以椭圆的离心率为[一点通]
1．求椭圆离心率的方法：
5
. 5
c(1)直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝
ab2
1－2求解； a(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成关于的方程，即为关于离心率e的方程，进而求解．
2．求离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围．
cax2y2
7.如图，A，B，C分别为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABCab＝90°，则该椭圆的离心率为( )
A.
5－1
22－1
2
2
2
B.
3－1
25＋1
4
2
C.D.
解析：∵∠ABC＝90°，∴|BC|＋|AB|＝|AC|， ∴c＋b＋a＋b＝(a＋c)，又b＝a－c， ∴a－c－ac＝0. ∴e＋e－1＝0，e＝答案：A
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5－1?－5－1?
?e＝舍去?. 2?2?
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，要先化成标准形式，再确定焦点位置，求准a，b.
2．求离心率e时，注意方程思想的运用．
[对应课时跟踪训练十五
x2y210
1．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是( )
5m5
A．3 C.15
25
B．3或
3515
D.5或 3
解析：若焦点在x轴上，则a＝5，由＝∴b＝a－c＝3，∴m＝b＝3. 若焦点在y轴上，则b＝5，a＝m.∴25∴m＝. 3答案：B
2
2
2
2
2
ca10
得c＝2， 5
m－52
＝， m5
1
2．(广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方
2程是( )
A.＋＝1 34C.＋＝1 42
x2y2x2y2
B.＋＝1 43D.＋＝1 43
x2y2
x2y2
1c122
解析：由右焦点为F(1,0)可知c＝1，因为离心率等于，即＝，故a＝2，由a＝b2a2＋c知b＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.故选 D.
43
答案：D
2
2
x2y2
x2y23a3．(新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝
ab2
上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
1
A. 23
C. 4
2
B. 34D. 5
?3?解析：由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2?a－c?＝2c. ?2?
3
∴3a＝4c.∴e＝. 4答案：C
4．已知P(m，n)是椭圆x＋＝1上的一个动点，则m＋n的取值范围是( )
2A．(0,1] C．(0,2]
2
2
y2
22
B．[1,2] D．[2，＋∞)
解析：因为P(m，n)是椭圆x＋＝1上的一个动点，所以m＋＝1，即n＝2－2m，
22所以m＋n＝2－m，又－1≤m≤1，所以1≤2－m≤2，所以1≤m＋n≤2，故选B.
答案：B
5．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________． 解析：由题意2b>2c，即b>c，即a－c>c， ∴a－c>c，则a>2c.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y2
2
n2
22
c212
∴2<，∴0 答案：?0， ? ?2?? 2? 4 6．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，离心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离2， 5 N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________． c4 解析：∵|F1F2|＝2c＝8，e＝＝，∴a＝5， a5 ∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8. 又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点， 1 ∴ON是△F1F2M的中位线，∴|ON|＝|MF2|＝4. 2答案：4 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为和为12； 3 ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之2 (2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)． x2y2 解：(1)依题意设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的 ab距离之和为12， ∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为 3， 2 2 ca2－b2336－b32 ∴e＝＝＝，∴＝，∴b＝9. aa262 ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 369 x2y2 y2x2 (2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，则b＝ ab9， 因为c＝7，所以a＝b＋c＝81＋49＝130， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 13081 2 2 2 y2x2 x2y2 8．已知F1，F2是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一 ab点，若AF2·F1F2＝0，椭圆的离心率等于 解：如图，∵AF2·F1F2＝0， ∴AF2⊥F1F2， ∵椭圆的离心率e＝＝2 ，△AOF2的面积为22，求椭圆的方程． 2 ca2， 2 122 ∴b＝a，设A(x，y)(x>0，y>0)， 2由AF2⊥F1F2知x＝c， c2y2 ∴A(x，y)代入椭圆方程得2＋2＝1， abb2 ∴y＝.∵△AOF2的面积为22， a1b∴S△AOF2＝c·＝22， 2a而＝2 ca2222 ，∴b＝8，a＝2b＝16， 2 故椭圆的标准方程为：＋＝1. 168 x2y2 百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库高中数学第三章圆锥曲线与方程3_1椭圆教学案北师大版选修2_1在线全文阅读。
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