高数下册复习题

高等数学下册试题库

一、填空题

1. 设z?x,则dz?_____________ y2. 设

yf(x,y)?ln(x?),则fy'(1,0)?__________

2x3. 设

f(x,y)?x2y3,则dz|(1,?2)?______________

y4. z?x,则?z?z?______________. =_________________ ?x?y____________ 5. 设 u?x,y??xlny?ylnx?1 则 du?__________6. 交

换

积

分

次

序

?0dy?07. 8.

D1yf(x,y)dx??dy?122?y0f(x,y)dx=___________________

I???(3x?2y)dxdy?________，其中D是由两坐标轴及直线x?y?2所围 I???Da2?x2?y2dxdy?___________，其中D：x2?y2?a2 (x?y)22?129.

?dx?01xx2dy?___________

的敛散性是__________

?10. 级数

??n?1???1?2nn?n?211.

?an?1nx在x=-3时收敛，则?anxn在x?3时

nn?112. 已知级数

?un?1?n的前n项和sn?n，则该级数为 n?1n213. 幂级数?xn的收敛区间为 n?1n?14. 级数

?n?1??x?2?n4n2n的收敛域为 ______

15. 设

D

是由

|x?y|?1及

|x?y|?11

所围成的闭区域，则

??dxdy?_______________

D16.

22(x?y)dx?________________,其中L是抛物线y?x2上从点?0,0?到?L点

?2,4?的一段弧。

二、选择题

1. 设z?z(x,y)由方程F(x?az,y?bz)?0所确定，其中F(u,v)可微，a,b为常数，

则必有（ ） (A) a?z?z?z?z?b?1 (B) b?a?1 ?x?y?x?y?z?z?z?z?b?1 (D) b?a?1 ?x?y?x?y(C) a2. 设函数f?x,y?在点?x0,y0?处偏导数存在，则f?x,y?在点?x0,y0?处 ( ) (A).有极限 (B).连续 (C).可微 (D).以上都不成立

?xy22,x?y?0?23. 设f(x,y)??x?y2，则在(0,0)点关于f(x,y)叙述正确的是

22?0,x?y?0?（ ）

(A) 连续但偏导也存在 (B) 不连续但偏导存在 (C) 连续但偏导不存在 (D) 不连续偏导也不存在 4. 函数 z?x2?y2在点?0,0?处 ( )

(A).不连续 (B)．连续且偏导数存在 (C).取极小值 (D).无极值

??2zx?5. 设 z?ln??xy?y??,则 ?x?y = ( )

??(A).0 (B)．1 (C).

1y

(D).2 xy?1

6. 设 x?z?yfx?z?22z?z

+ y = ( ) ?则 z??x?y

(A).x (B)．y (C).z (D).yfx?z7. 判断极限lim?22?

x???

x?0x?yy?0(A).0 (B)．1 (C).不存在 (D).无法确定

2

8. 设f?x,y,z??yz2ex，其中z?g?x,y?是由方程x?y?z?xyz?0确定的隐函数，

则fx??0,1,?1????

(A).0 (B)．-1 (C).1 (D).-2 9. 已知I????cosyD2?sinx2d?，其中D是正方形域：0?x?1,0?y?1，则( )

2 (C).0?I?2 (D).0?I?2

?(A).1?I?2 B．1?I?10. 函数f?x,y??4?x?y??x2?y2的极值为（ ）

(A).极大值为8 (B)．极小值为0 (C).极小值为8 (D).极大值为0 11.

x2?y2?1??5x2?y2d?的值是( )

(A)

5?5?10?10? (B) (C) (D) 36711x2y2??1的周长为l，则?(3x?2y)2ds?（ ） 12. 设椭圆L：

L43 (A) l (B) 3l (C) 4l (D) 12l

13. 下列级数中收敛的是（ ）

??n?143n（A）? （B）? （C）? （D） ?nnn?1n(n?2)n?1nnn?1(n?1)(n?3)n?1n?2?1?14. 下列级数中绝对收敛的是（ ）

???1(?1)n?1(?1)n?1(?1)n?1（A）?(?1) （B）? （C）? （D）?

nlnnnlnnn?1n?2n?1nnn?2?n???15. 当

?(an?1n?bn)收敛时，?an与?bn（ ）

n?1n?1（A）必同时收敛 （B）必同时发散 （C）可能不同时收敛 (D)不可能同时收敛

16. 下列结论中，正确的为（ ）

??11（A）若?un发散，则?发散(un?0)； （B）若?un收敛，则?发散(un?0)

n?1n?1n?1unn?1un????（C）若

?un收敛，则?(un?n?1?n?11)收敛； 10100（D）若

?un?1n与

?vn?1?n发散，则

?(un?1?n?vn)发散

3

n(2x?a)17. 若级数?的收敛域为3,4?，则常数a=（ ） 2n?1n?1??（A）3 （B）4 （C）5 （D）以上都不对 18. 若幂级数

?a?x?1?在x??1处收敛，则该级数在x?2处（ ）

nnn?12?（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不能确定 19. 函数f(x)?e?x展开成x的幂级数为（ ）

???x2nxn(?1)n?xn(?1)n?x2n（A）? （B）? （C）? （D）?

n!n!n!n!n?0n?0n?0n?0?x420. 函数f?x??展开成x的幂级数是（ ） 21?x（A）

?n?1?x （B）?(?1)x （C）?x （D）?(?1)nx2n

2nn2n2nn?1n?2n?2???三、计算题

1、下列函数的偏导数

?x2?（1）z?xln(x?y)；（2）z?tan??y??；

??2222．设f(x,y)?x?y? （1）u?x2?y2，求fx(3,4)及fy(3,4)。

（2）u?ln(x?y?z)。

2223．求下列函数的全微分：

x2?y2?z2；

4. 计算下列重积分: （1）

,其中

是矩形闭区域:

,

（2） ,其中是由两条抛物线 ,所围成的闭区域.

（3）计算

??xD4y2dxdy, 其中区域D:|x|?|y|?1.

（4）计算

围成的四面体.

,其中 为平面 ,

,

, 所

4

(5) ,其中 是由曲面

及

所围成的闭区域

(6) 计算

I?????(x2?y2)dxdydz, 其中?是曲线y2?2z，x?0绕z轴旋转一周而成

的曲面与平面z?2,z?8所围的立体

5.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积

(1)

及

(含有

轴的部分).

(2) 及

二.计算下列对弧长的曲线积分和曲面积分 (1)

,其中

为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段

及抛物线

所围成的区域的整个边界.

(按逆时针方向绕行).

(2) ,其中 为由直线

(3) ,其中 为圆周

(4)

的一段弧.

,其中 为曲线 ,, 上对应 从0到

,其中

为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形

(5) 正向边界

dS222 其中是球面,x?y?z?4被平面z?1截出的顶部. ?2??z?（6）计算曲面积分

（7）计算

222xyzdxdy,其中是球面x?y?z?1外侧在x?0,y?0的部分. ????第三部分 级数

1.判别下列级数的收敛性

（1） (2)

?

(3)

1?1? (4) ??1?nn?1??.

2?n?n?1?5

n2

3.求下列幂级数的收敛区间 (1)

(2)

4.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数.

(1)

? (2)

?(n?1)n?02xn

的幂级数,并求展开式成立的区间.

5.将下列函数展开成 (1)

(2)

6

3.求下列幂级数的收敛区间 (1)

(2)

4.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数.

(1)

? (2)

?(n?1)n?02xn

的幂级数,并求展开式成立的区间.

5.将下列函数展开成 (1)

(2)

6

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