高等数学下册知识点总结
主要公式
第八章 空间解析几何与向量代数 1、
二次曲面
1）
x2y22??z椭圆锥面： a2b2x2y2z2x2y2z2?2?2?1 旋转椭球面：2?2?2?1 椭球面：2aacabcx2y2z2x2y2z2?2?2?1 双叶双曲面：2?2?2?1 单叶双曲面：2abcabcx2y2x2y2?2?z 双曲抛物面（马鞍面）?2?z 椭圆抛物面：：22abab2）
3）
4）
5）
x2y2x2y2?2?1 双曲柱面：2?2?1
椭圆柱面：2abab2x?ay 抛物柱面：
6）
（二） 平面及其方程 1、
点法式方程：
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0
? 法向量：n?(A,B,C)，过点(x0,y0,z0)
2、
一般式方程：
Ax?By?Cz?D?0
3、
xyz???1 截距式方程：
abc??,B,C)n两平面的夹角：n1?(A，1112?(A2,B2,C2)，
A1A2?B1B2?C1C2A?B?C?A?B?C212121222222cos??
?1??2? A1A2?B1B2?C1C2?0 ；?1//?2?
4、
点
A1B1C1??A2B2C2
P0(x0,y0,z0)到平面Ax?By?Cz?D?0的距离：
A?B?C222d?Ax0?By0?Cz0?D
（三） 空间直线及其方程
1 1、
??A1x?B1y?C1z?D1?0一般式方程：?
??A2x?B2y?C2z?D2?0对称式（点向式）方程：
2、
x?x0y?y0z?z0??mnp
方向向量：s3、
??(m,n,p)，过点(x0,y0,z0)
两直线的夹角：s1???(m1,n1,p1)，s2?(m2,n2,p2)，
cos??m1m2?n1n2?p1p2m?n?p?m?n?p212121222222L1?L2? m1m2?n1n2?p1p2?0 ；L1//L2?
4、
直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，
m1n1p1??m2n2p2
sin??Am?Bn?CpA?B?C?m?n?p222222
L//?? Am?Bn?Cp?0 ；L??? A?B?C
mnp
第九章 多元函数微分法及其应用 1、 2、
连续：
(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0)
偏导数：
fx(x0,y0)?lim 3、
?x?0f( x0??x,y0)?f( x0,y0)f(x0,y0??y)?f(x0,y0)f(x,y)?lim ；y00
?y?0?y?x方向导数：
?f?f?f?cos??cos??l?x?y4、
其中
?,?为
l的方向角。
??梯度：z?f(x,y)，则gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j。
全微分：设
5、
z?f(x,y)，则dz??z?zdx?dy ?x?y（一） 性质 1、
函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
2
1 2 偏导数连续 充分条件
函数可微 偏导数存在 必要条件 4 3 定义 2 函数连续 2、 1） 若
微分法
复合函数求导：链式法则
z?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y)，则
，
?z?z?u?z?v?????x?u?x?v?x（二） 应用
?z?z?u?z?v?????y?u?y?v?y
1）
??fx?0求函数z?f(x,y)的极值 解方程组 ? 求出所有驻点，对于每一个驻点(x0,y0)，令
??fy?0A?fxx(x0,y0)，B?fxy(x0,y0)，C?fyy(x0,y0)，
① 若② 若③ 若
2、 1）
几何应用
曲线的切线与法平面
AC?B2?0，A?0，函数有极小值， 若AC?B2?0，A?0，函数有极大值；
AC?B2?0，函数没有极值； AC?B2?0，不定。
?x?x(t)??曲线?:?y?y(t)，则?上一点M(x0,y0,z0)（对应参数为t0）处的
???z?z(t)x?x0y?y0z?z0??切线方程为：
x?(t0)y?(t0)z?(t0)法平面方程为：2）
x?(t0)(x?x0)?y?(t0)(y?y0)?z?(t0)(z?z0)?0
曲面的切平面与法线
3 曲面
?:F(x,y,z)?0，则?上一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为：
Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0
x?x0y?y0z?z0?? 法线方程为：
Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)
第十章 重积分
（一） 二重积分 ：几何意义：曲顶柱体的体积
1、 2、 1）
定义：
?f(???f(x,y)d??lim?D?0k?1nk,?k)??k
计算： 直角坐标
b?2(x)??1(x)?y??2(x)?D??(x,y)?， ??f(x,y)dxdy??adx??1(x)f(x,y)dy
a?x?bD??d?2(y)??1(y)?x??2(y)?D??(x,y)?， ??f(x,y)dxdy??cdy??1(y)f(x,y)dx
c?y?dD?? 2）
极坐标
??2(?)??1(?)????2(?)?D??(?,?)? ， ??f(x,y)dxdy???d???1(?)f(?cos?,?sin?)?d?
?????D??
（二） 三重积分
1、 2、 1）
定义： 计算：
????f(x,y,z)dv?lim?f(?k,?k,?k)?vk??0k?1n
直角坐标
????f(x,y,z)dv???dxdy?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz -------------“先一后二”
???2）
?f(x,y,z)dv??dz??abDZf(x,y,z)dxdy -------------“先二后一”
柱面坐标
?x??cos????y??sin????z?z3）
球面坐标
，
????f(x,y,z)dv????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz
?4
?x?rsin?cos????y?rsin?sin????z?rcos?
???曲面
?f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d??
（三） 应用.
S:z?f(x,y),(x,y)?D的面积：
1?(?z2?z2)?()dxdy ?x?yA???
D第十一章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分
1、 2、
定义：计算：
?Lf(x,y)ds?lim?f(?i,?i)??si??0i?1n
设
??x??(t),(??t??)，其中?(t),?(t)在[?,?]f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为???y??(t),上具有一阶连续导数，且
??2(t)???2(t)?0，则
??Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt ,(???)
?（二） 对坐标的曲线积分 1、
定义：设 L 为
xoy面内从 A 到
nB 的一条有向光滑弧，函数
nP(x,y)k，
Q(x,y)在 L 上有界，定义
.
?LP(x,y)dx?lim?P(?k,?k)?xk??0k?1，
?Q(??Q(x,y)dy?lim?L?0k?1,?k)?yk向量形式：2、
?L?F?dr??P(x,y)dx?Q(x,y)dy
L计算：
设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续, L的参数方程为
??x??(t),22???(t),?(t)[?,?](t:???)?(t)??(t)?0，则 ，其中在上具有一阶连续导数，且???y??(t),?
LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt
??3、 两类曲线积分之间的关系：
5
L： ?x??(t)设平面有向曲线弧为
???，L上点(x,y)处的切向量的方向角为：?,?，
?y??(t)cos????(t)??2，(t)???2(t)cos????(t)??2(t)???2(t)，
则?LPdx?Qdy??L(Pcos??Qcos?)ds.
（三） 格林公式 1、
格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数P(x,y),Q(x,y)在D 上具有连续一阶偏导数,
则有
??????Q?P???x??y??dxdy??Pdx?Qdy
D?L2、G为一个单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数，
则
?Q?x??P?y ?曲线积分 ?Pdx?Qdy在G内与路径无关
L
（四） 对面积的曲面积分 1、 定义：
设
?为光滑曲面，函数f(x,y,z)是定义在?上的一个有界函数，
n定义 ???f(x,y,z)dS?lim??0?f(?i,?i,?i)?Si
i?12、
计算：———“一单二投三代入”
?:z?z(x,y)，(x,y)?Dxy，则
??2?f(x,y,z)dS???Df[x,y,z(x,y)]1?z)?z2xyx(x,yy(x,y)dxdy
（五） 对坐标的曲面积分 1、 定义：
设
?为有向光滑曲面，函数
P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在
?上的有界函数，??n?R(x,y,z)dxdy?lim??0?R(?i,?i,?i)(?Si)xy 同理，
i?1??n?P(x,y,z)dydz?lim?P(?i,?i,?i)(?Sn??0i)yz ；???Q(x,y,z)dzdx?lim??0?R(?i,?i,?i)(?Si)zx
i?1i?1
2、 性质：
1）???1??2，则
6 定义
??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?????1?2Pdydz?Qdzdx?Rdxdy
计算：——“一投二代三定号”
?:z?z(x,y)，
(x,y)?DxyDxy，
z?z(x,y)在
Dxy上具有一阶连续偏导数，
R(x,y,z)在
?上连续，则
???R(x,y,z)dxdy????， ?为下侧取“ - ”. R[x,y,z(x,y)]dxdy,?为上侧取“ + ”
3、 两类曲面积分之间的关系：
???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????Pcos??Qcos??Rcos??dS
?其中?,?,?为有向曲面?在点(x,y,z)处的法向量的方向角。
（六） 高斯公式 1、 则有
高斯公式：设空间闭区域?由分片光滑的闭曲面?所围成, ?的方向取外侧, 函数P,Q,R在?上有连续的一阶偏导数,
??P?Q?R????????x??y??z??dxdydz ????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy
??或
??P?Q?R????????x??y??z??dxdydz ????Pcos??Qcos??Rcos??dS
???通量与散度
?2、
?通量：向量场A?(P,Q,R)通过曲面?指定侧的通量为：????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy
??P?Q?R散度：divA????x?y?z（七） 斯托克斯公式 1、
斯托克斯公式：设光滑曲面 ? 的边界 ?是分段光滑曲线, ? 的侧与 ? 的正向符合右手法则,
P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含? 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
??R?Q???P?R???Q?P???????dydz??dzdx?????y?z???z?x???x??y??dxdy ???Pdx?Qdy?Rdz
???????为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
???dydzdzdxdxdy?????Pdx?Qdy?Rdz
??x?y?zPQR环流量与旋度
2、
?环流量：向量场A?(P,Q,R)沿着有向闭曲线?的环流量为?Pdx?Qdy?Rdz
? 7
旋度：rot A??
第十二章 无穷级数 （一） 常数项级数 1、
定义：
???R?Q?P?R?Q?P???y??z, ?z??x, ?x??y?? ??1）无穷级数：
?un?1?n?u1?u2?u3???un??
部分和：Sn??uk?u1?u2?u3???un，
k?1?nn正项级数：
?un?1，un?0
交错级数：
?(?1)n?1?nun，un?0
2）级数收敛：若limSnn???S存在，则称级数
?un?1?n收敛，否则称级数
?un?1?n发散
3）条件收敛：
?un?1n?n收敛，而
?un?1?n发散；
绝对收敛：
?un?1?收敛。
2、 1）
性质：
改变有限项不影响级数的收敛性；
2） 级数
?a，?bnn?1???n收敛，则
n?1?(an?1?n?bn)收敛；
3） 级数
?an?1n收敛，则任意加括号后仍然收敛；
4） 3、
必要条件：级数
?un?1?n收敛
limun?0.（注意：不是充分条件！?n）
??审敛法
正项级数：1）
?un?1?n，un?0 ?S存在；
定义：limSnn??2）
?un?1?n收敛
??S?有界；
n8 3）
比较审敛法：
?un?1?n，
?vn?1?n为正项级数，且un?vn (n?1,2,3,?)
发散，则
若
?vn?1??n收敛，则
?un?1?n收敛；若
?un?1?n?vn?1?n发散.
4） 比较法的推论：
?u，?vnn?1?n为正项级数，若存在正整数
m，当n?m时，u?nn?1?kvn，而?vn收敛，则?un收
n?1n?1??敛；若存在正整数
m，当n?m时，un?kvn，而?vn发散，则?un发散.
n?1n?1??n?1n?1?un?l (0?l???)，而?vnvnn?1?5）
比较法的极限形式：?un，?vn为正项级数，若limn???收敛，则
?un?1?n收敛；若
?unun???，而?vnlim?0或limn??vn??vn?1nn?发散，则
?un?1n发散.
6）
比值法：?un为正项级数，设limn?1??un?1l?1l?1?l，则当时，级数?un收敛；则当时，级数?un发散；当l?1n??un?1n?1n时，级数
?un?1?n可能收敛也可能发散.
7）
根值法：?un为正项级数，设limnun?l，则当l?1时，级数?un收敛；则当l?1时，级数?un发散；当l?1n?1???n??n?1n?1时，级数
?un?1?n可能收敛也可能发散.
??8）
极限审敛法：?un为正项级数，若limn?un?0或limn?un???，则级数?un发散；若存在p?1，使得
n?1n??n??n?1limn?un?l (0?l???)，则级数?un收敛.
pn???n?1交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数：任意项级数：
?(?1)nun，unn?1??0满足：un?1?un (n?1,2,3,?)，且limun?0，则级数?(?1)nun收敛。
?n??n?1?n?1?un绝对收敛，则
?un?1?n收敛。
? p?1?收敛， q?11??收敛，? ； p -级数： ?aq ?p?n?1n?n?0 p?1 q?1??发散，?发散，?n常见典型级数：几何级数：
?（二） 函数项级数 1、
定义：函数项级数
?un?1?n(x)，收敛域，收敛半径，和函数；
2、 幂级数：
?axnn?0?n
9
3、
收敛半径的求法：liman?1n??an?1??, 0??????? ??，则收敛半径 R??0, ????????, ??0??4、 泰勒级数
?f(x)??n?0f(n?1)(?)f(n)(x0)n ? limRn(x)?lim(x?x0)n?1?0 (x?x0)n??n??(n?1)!n!展开步骤：（直接展开法） 1） 2）
求出求出
f(n)(x), n?1,2,3,?；
f(n)(x0), n?0,1,2,?；
3） 写出
?n?0?f(n)(x0)(x?x0)n； n!4）
(n?1)f(?)验证limRn(x)?lim(x?x0)n?1?0是否成立。
n??n??(n?1)!间接展开法：（利用已知函数的展开式） 1）ex?1nx, x?(??,??)； ?n?0n!?2）sinx??(?1)n?1n?0?1x2n?1, x?(??,??)；
(2n?1)!3）cosx??(?1)n?1n?0?12nx, x?(??,??)； (2n)!4）
?1??xn, x?(?1, 1)； 1?xn?0?15）??(?1)nxn, x?(?1, 1) 1?xn?0n(?1)6）ln(1?x)??xn?1, x?(?1, 1] n?0n?1??1??(?1)nx2n, x?(?1, 1) 21?xn?07）
8）(1?x)5、 1）
m?1??m(m?1)?(m?n?1)nx, x?(?1, 1)
n!n?1?傅里叶级数 定义：
1,sin正交系：
零。
x,cosx,sin2x,cos2x,?,sinnx,cosnx?函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[??, ?]上积分为
10
傅里叶级数：
a0?f(x)???(ancosnx?bnsinnx)
2n?11??a??n????f(x)cosnxdx(n?0,1,2,?)系数：?
?1??b?f(x)sinnxdx(n?1,2,3,?)n??????2）
收敛定理：(展开定理)
设 f (x) 是周期为2?的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
x为连续点?f(x), a0? ???ancosnx?bnsinnx?????f(x)?f(x)2n?1?, x为间断点2??3） 傅里叶展开：
1??a??n????f(x)cosnxdx(n?0,1,2,?)①求出系数：?；
?1??b?f(x)sinnxdx(n?1,2,3,?)n??????②写出傅里叶级数
a0?f(x)???(ancosnx?bnsinnx)；
2n?1③根据收敛定理判定收敛性。
11
傅里叶级数：
a0?f(x)???(ancosnx?bnsinnx)
2n?11??a??n????f(x)cosnxdx(n?0,1,2,?)系数：?
?1??b?f(x)sinnxdx(n?1,2,3,?)n??????2）
收敛定理：(展开定理)
设 f (x) 是周期为2?的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
x为连续点?f(x), a0? ???ancosnx?bnsinnx?????f(x)?f(x)2n?1?, x为间断点2??3） 傅里叶展开：
1??a??n????f(x)cosnxdx(n?0,1,2,?)①求出系数：?；
?1??b?f(x)sinnxdx(n?1,2,3,?)n??????②写出傅里叶级数
a0?f(x)???(ancosnx?bnsinnx)；
2n?1③根据收敛定理判定收敛性。
11
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