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绝密★考试结束前
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（文科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 台体的体积公式
1V?h(S1?S1S2?S2)
3其中S1,S2分别表示台体的上、下面积，h表示台体的高 柱体体积公式V?Sh
其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 锥体的体积公式V?球的表面积公式
1Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 3S?4?R2
球的体积公式
4V??R3
3其中R表示球的半径
如果事件A,B互斥 ，那么
P(A?B)?P(A)?P(B)
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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知集合??xx2?2x?3，Q??x2?x?4?，则??Q?（ ） A．?3,4? B．?2,3? C．??1,2? D．??1,3? 2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ） A．8cm3 B．12cm3
4032cm3 D．cm3
333、设a，b是实数，则“a?b?0”是“ab?0”的（ ）
??C．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4、设?，?是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l??，m??（ ） A．若l??，则??? B．若???，则l?m C．若l//?，则?//? D．若?//?，则l//m
1??5、函数f?x???x??cosx（???x??且x?0）的图象可能为（ ）
x??
6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x?y?z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a?b?c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A．ax?by?cz B．az?by?cx C．ay?bz?cx D．ay?bx?cz 7、如图，斜线段??与平面?所成的角为60?，?为斜足，平面?上的动点?满足?????30?，则点?的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支
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8、设实数a，b，t满足a?1?sinb?t（ ）
A．若t确定，则b2唯一确定 B．若t确定，则a2?2a唯一确定
bC．若t确定，则sin唯一确定 D．若t确定，则a2?a唯一确定
2二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）
9、计算：log22? ，2log23?log43? ． 210、已知?an?是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1?a2?1，则
a1? ，d? ．
11、函数f?x??sin2x?sinxcosx?1的最小正周期是 ，最小值是 ．
?x2,x?1?12、已知函数f?x???6，则f? ?f??2???? ，f?x?的最小值是 ．?x??6,x?1x????????1??13、已知e1，e2是平面单位向量，且e1?e2?．若平面向量b满足b?e1?b?e2?1，则
2?
b? ．
14、已知实数x，y满足x2?y2?1，则2x?y?4?6?x?3y的最大值是 ．
bx2y215、椭圆2?2?1（a?b?0）的右焦点F?c,0?关于直线y?x的对称点Q在椭圆上，则
cab椭圆的离心率是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
?16.（本题满分14分）在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知tan(?A)?2.
4sin2A（1）求的值；
sin2A+cos2A?（2）若B?,a?3，求?ABC的面积.
4
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17.（本题满分15分）已知数列{an}和{bn}满足，a1?2,b1?1,an?1?2an(n?N*),
111b1?b2?b3???bn?bn?1?1(n?N*).
23n（1）求an与bn;
（2）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.
018.（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC-A1B1C1中，?ABC=90，AB=AC2,AA1=4,A1在底面
ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点. (1)证明: A1D?平面A1BC； (2)求直线A1B和平面BB1CC1所成的角的正弦值.
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19.（本题满分15分）如图，已知抛物线C1：y=12x，圆C2：x2+(y-1)2=1，过点P(t,0)(t>0)作不过4原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点. (1)求点A，B的坐标； (2)求?PAB的面积.
注：直线与抛物线有且只有一个公共点， 且与抛物线的对称轴不平行，则该直线 与抛物线相切，称该公共点为切点.
20.（本题满分15分）设函数f(x)?x2?ax?b,(a,b?R).
a2+1时，求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式； (1)当b=4(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点，0?b?2a?1，求b的取值范围.
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（文科）参考答案
一、 选择题
1. A 2.C 3.D 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B
二、 填空题
1213?223?,33,?1?;26?6?,2 12.29.2 10.3 11. 13.3
2 14.15 15.2
三、解答题
216. 【答案】(1)5；(2)9
（1）利用两角和与差的正切公式，得到tanA?
1
,利用同角三角函数基本函数关系式得到结论； 3
（2）利用正弦原理得到边b的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积 试题解析：（1）由tan?1????A??2,得tanA?,
3?4?sin2A2sinAcosA2tanA2???所以sin2A?cos2A2sinAcosA?cos2A2tanA?15
110310可得，sinA?. ;cosA?31010 (2) 由tanA?
a?3,B??4,由正弦定理知：b=35 又sinC?sin?A?B??sinAcosB?25, 5所以S?ABC=
1125absinC?×3×35×=9 225nn?1*a?2;b?nT?(n?1)2?2(n?N) nnn17. 【答案】(1)；(2)
（1）由a1?2,an?1?2an,得an?2.
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当n=1时，b1?b2?1,故b2?2 当n?2时，
1bn?1bn?bn?1?bn,整理得n?1?,所以bn?n nbnn（2）由（1）知，anbn?n?2n
所以Tn?2?2?22?3?23?????n?2n
232n?n?2n?1 2Tn?2?2?2?2?2??????n?1??4所以Tn??n?1?2n?1?2
718. 【答案】(1)略；(2)8
（1）设E为BC中点，由题意得A1E?平面ABC,所以A1E?AE. 因为AB?AC,所以AE?BC 所以AE?平面A1BC
由D,E分别为B1C1.BC的中点，得DE//BB1,从而DE//AA1且DE=AA1 所以AA1DE是平行四边形，所以A1D//AE
ABC,所以A1D?平面A1BC 因为AE?平面1(2)作
A1F?DE，垂足为F，连结BF.
ABC，所以BC?A1E.
因为AE?平面1AADE.
因为BC?AE，所以BC?平面1所以所以
BC?A1F,A1F?平面BB1C1C.
?A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成角的平面角.
?由AB?AC?2,?CAB?90，得EA?EB?2. ABC，得A1A?A1B?4,A1E?14.
由AE?平面1DE?BB1?4,DA1?EA?2,?DA1E?90，得
?由
A1F?72.
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所以
sin?A1BF?78
22t2t2t3A(2t,t),B(,)221?t1?t；(2)2 19. 【答案】(1)
（1）由题意可知，直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为
y?k?x?t?.
?y?k?x?t??y?1x22 所以?4消去y,整理得：x?4kx?4kt?0
2因为直线PA与抛物线相切，所以??16k?16kt?0，解得k?t.
所以x?2t，即点A(2t,t).
2x0?y0????12t?2?xt?y0?0C(x,y)由题意知，
设圆2的圆心为D(0,1)，点B的坐标为00，点B,O关于直线PD对称，故有?0，
2t2t22t2t2x0?,y0?B(,)22221?t1?t1?t1?t解得.即点.
(2)由(1)知，
AP?t1?t2，
2tx?y?t?0， 直线AP的方程为
d?所以点B到直线PA的距离为
t21?t2.
1t3S?AP?d?22. 所以?PAB的面积为
?a2?4?a?2,a??2,??g(a)??1,?2?a?2,?a2??a?2,a?2??420. 【答案】(1)；(2)[?3,9?45]
aa2a???1时，f?x???x???1,故其对称轴为x?? （1） 当b?242??2第 8 页 共 9 页
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a2当a??2时，g?a??f?1???a?2
4当-2
（2）设s,t为方程f?x??0的解，且-1?t?1，则由于0?b?2a?1，因此
?s?t??ast?b
?2t1?2t?s???1?t?1? t?2t?2?2t2t?2t2?b?. 当0?t?1时，
t?2t?22?2t21t?2t2?0和???9?45. 由于??3t?23t?2t所以?2?b?9?45 3t?2t2?2t2?b?当-1?t?0, t?2t?2?2t2t?t2由于?2?<0和?3?<0，所以-3?b<0.
t?2t?2综上可知，b的取值范围 是??3,9?45?
??
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