2024届北京市海淀区高三数学查漏补缺试题_3

∴{Sn+1}是首项为3，公比为3的等比数列且Sn?3n?1,n?N*.

（Ⅱ）n=1时，a1=S1=2,

n>1时，an1n?Sn?Sn?1?(3?1)?(3n??1)

?3n?1(3?1) ?2?3n?1.

故an?2?3n?1,n?N*.

2?3n?12?3n?1 （Ⅲ） ?b11n?(3n?1)2?(3n?1?1)(3n?1)?3n?1?1?3n?1,?n?1? ?b1?b12?...?bn?2?(11111131?1?32?1)?(32?1?33?1)?????(3n?1?1?3n?1)2．解：（１）?an?1?n2?2n(n?1)an?1a?，???n?2. nn?1nan 由?nan?为等比数列，知?n?2与n无关，故??0.

当??0时，数列?nan?是以１为首项，以?2为公比的等比数列.

（２）当??3时，

(n?1)an?1na?3n?2.

n

取n为１，２，３，?,n?1，累乘得:

nan1a?1?4?7???(3n?5) （n?2）. 1

?a1?1,

?1?4???(3n?5)

?a?(n?2)，n???n ?1 (n?1).

当n?2时，

an?1a?(3n?2)n?1?an?1?an. nn?1

而a4?50,a5?56,a6?80，?m?5

（３）当??0时，

an?1?a?2nn?1?0， n 说明an?1与an异号，此时不存在正整数N，

使得当n?N时，有an?1?an.

当??0时，必存在正整数N3?9?4?0（取大于

2?的正整数即可），

使得当n?N2n0时，有

?n2?n?1?1，

?12?12?13n?1?1.

即存在正整数N10，使得当n?N0时，有

an?a?1； n 因为存在正整数N，使得当n?N时，恒有an?1?an成立，

取N1为N0与N的较大者，则必存在正整数M?N1，使得当n?M时，an?0.

?存在正整数M，使得当n?M时，有an?0.

立体几何

1．证明：（1）连接AC11交B1D1于O1，连结AO1.

D1C1 在平行四边形AAC11C中，C1O1//AO，C1O1?AO， AO11B1 ?四边形AOC1O1为平行四边形.

D ?CC1O//AO1.

AOB ?C1O?平面AB1D1，AO1?平面AB1D1，

?C1O//平面AB1D1.

（2）在直平行六面体AC1中，A1A?平面A1B1C1D1， ?A1A?B1D1.

?四边形A1B1C1D1为菱形， ?B1D1?AC11.

?AC11?AA1?A1，AC11?平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1， ?B1D1?平面ACC1A1.

?B1D1?平面AB1D1，

? 平面AB1D1?平面ACC1A1.

（3）过C作CH?AO1交AO1于H. ?平面AB1D1?平面ACC1A1，平面AB1D1?平面ACC1A1?AO1， ?CH?平面AB1D1.

?AH为AC在平面AB1D1上的射影. ??CAH是AC与平面AB1D1所成的角.

设AB?2，在菱形ABCD中，?DAB?60?，

?AC?23.

在Rt?AAO11中，AO1?7. zD1C1AO11B1D1C1AO11HB1DCAOB

?AO1?CH?AC?OO1，

?CH?421. 7CH27. ?AC727. 7

?sinCAH?

??CAH?arcsin （3）解法二：

OB,OC,OO1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 连AC11交B1D1于O1，分别以

设AB?2，在菱形ABCD中，?DAB?60，

??AC?23,BD?2.

则A（0，?3，0），C（0，3，0）， ，O1（0，0，2）. B1（1，0，2）

?????????，AB1?（1，3，2）. ?AO1?（0，3，2）

设平面AB1D1的法向量n?（x，y，z），

???????n?AO1?0，则????? ??n?AB1?0.??3y?2z?0， ????x?3y?2z?0.3?x?0.令y?3，则z??.

23n?（0，3，?）.

2设AC与平面AB1D1所成的角为?.

????n?AC?sin???????nAC623?214?27. 7

???arcsin27. 7PM2．解：（Ⅰ）∵平面PCBM?平面ABC，

AC?BC，AC?平面ABC,

=B．C 平面ABC?平面 PCBM ∴AC?平面PCBM.

A 又∵BM?平面PCBM, ∴AC?BM.

（Ⅱ）取BC的中点N，则CN?1．连接AN、MN．

∵平面PCBM?平面ABC，

平面PCBM?平面ABC?BC，PC?BC．

NCHB

∴PC?平面ABC．

∵PM//CN，PM=CN，

∴MN//PC,MN?PC，从而MN?平面ABC． 作NH?AB于H，连结MH， 则由三垂线定理知AB?MH．

从而?MHN为二面角M?AB?C的平面角． ∵直线AM与直线PC所成的角为60°， ∴?AMN?60? ．

在?ACN中，由勾股定理得AN?2． 在Rt?AMN中，MN?AN?cotAMN?

2?36． ?33

在Rt?BNH中，NH?BN?sinABC?BN?AC15． ?1??AB55

6MN30?3?在Rt?MNH中，tanMHN? NH355故二面角M?AB?C的大小为arctan

30 3 （Ⅱ）如图以C为原点建立空间直角坐标系C?xyz．

设P(0,0,z0)(z0?0)，由题意可知B(0,2,0)，A(1,0,0)，M(0,1,z0)．

?????????AM?(?1,1,z0)，CP?(0,0,z0)

由直线AM与直线PC所成的角为60°，得

zPM??????????????????AM?CP?AM?CP?cos60?

2

即z0?126z0?2?z0，解得z0?． 23CANBy

?????????6∴AM?(?1,1,)，AB?(?1,2,0)

3设平面MAB的一个法向量为n1?(x,y,z)，则

x

??????6?z?0,?n1?AM?0,??x?y?由?， ??????3??n1?AB?0.???x?2y?0.取z?

6，得n1?(4,2,6).

取平面ABC的一个法向量为n2?(0,0,1) 则cos?n1,n2??

n1?n2639 ??n1?n21326?1

由图知二面角M?AB?C为锐二面角，故二面角M?AB?C的大小为arccos39． 13 （Ⅲ）因为PM//BN,PM?BN，所以PMBN是平行四边形，

所以PN//BM，因为PN?平面AMB， 所以PN//平面MAB.

所以P点到平面ABM的距离等于N点到平面ABM的距离,

11616， VM?ABN?MN?S?ABN????1?1?333218又S?ABM?

39，由等积可知， 6613926，解得h?， ??h?18361326. 13

VM?ABN? P点到平面ABM的距离为

????6方法二、PA?(1,0,?)，

3

????PA?n126所以P点到平面ABM的距离d?|. |?|n1|13

概率 1．解：（Ⅰ）设“如果某客户只能使用A或B型号的ATM机， 则该客户需要等待” 为事件M P(M)?

111?? 3261. 6答：如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，该客户需要等待的概率为

（Ⅱ）设“至多有三台ATM机被占用” 为事件N

111229P(N)?1?????

322530答：至多有三台ATM机被占用的概率为

29. 30 （Ⅲ）?的可能取值为0，1，2，3，4.

21131????, 32251011132113P(?=1)=创?创?32253225P(??0)?2113创?32252112创?322519, 60

1113111311122113P(??2)?????????????????3225322532253225

2112211211 ????????，3225322530P(??3)?111311121112211211????????????????, 32253225322532256011121P(??4)?????,

322530

2010届北京市海淀区高三数学查漏补缺试题

三角函数

1．在?ABC中，?A、?B、?C所对的边长分别是a、b、c.满足2acosC?ccosA?b. （1）求C的大小； （2）求sinA?sinB的最大值.

2．已知f(x)?sinxcosx?cosx?21. （1）求f(x)的对称轴方程；2 （2）将函数f(x)的图象按向量a平移后得到函数g(x)的图象，若y?g(x)的图象关于点(

?2,0)对称，求a的最小值.

数列

1．设数列?an?的前n项和为Sn，且满足S1=2,Sn+1=3Sn+2?n=1,2,3??. （Ⅰ）求证：数列Sn+1为等比数列； （Ⅱ）求通项公式an； （Ⅲ）设bn?

{}an,求证：b1?b2?...?bn?1. 2Snan?1?n2?2n2．无穷数列?an?满足：（??0为常数）. ?ann?1（1）若a1?1,且数列?nan?为等比数列，求?； （2）已知a1?1,??3，若50?am?80，求m；

（3）若存在正整数N，使得当n?N时，有an?1?an，求证：存在正整数M，使得当n?M时，有an?0.

立体几何

1．在直平行六面体AC1中，ABCD是菱形，?DAB?60，AC?BD?O，AB?AA1. （1）求证： （2）求证：平面AB1D1?平面ACC1A1；C1O//平面AB1D1； （3）求直线AC与平面AB1D1所成角的大小.

?D1A1B1C1

DAOBC

2．如图，二面角P?CB?A为直二面角，∠PCB=90°, ∠ACB=90°，PM∥BC，

线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2，PM=1. （Ⅰ）求证：AC⊥BM;

（Ⅱ）求二面角M-AB-C的正切值； （III）求点P到平面ABM的距离.

直线AM与直

概率

1．理：某自助银行共有4台ATM机，在某一时刻A、B、C、D四台ATM机被占用的概率分别为

刻这家自助银行被占用的ATM机的台数为?

（Ⅰ）如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，求该客户需要等待的概率； （Ⅱ）求至多有三台ATM机被占用的概率； （Ⅲ）求?的分布列和数学期望.

1112、、、，设某一时32252．文：某自助银行共有4台ATM机，在某一时刻A、B、C、D四台ATM机被占用的概率分别为如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，求该客户需要等待的概率；

（Ⅱ）求至多有三台ATM机被占用的概率； （Ⅲ）求恰有两台ATM机被占用的概率.

1112、、、. （Ⅰ）32253．小明一家三口都会下棋.在假期里的每一天，父母都交替与小明下三盘棋，已知小明胜父亲的概率是

12，胜母亲的概率是. 23 （1）如果小明与父亲先下，求小明恰胜一盘的概率；

（2）父母与小明约定，只要他在三盘中能至少连胜两盘，就给他奖品，那么小明为了获胜希望更大，他应该先与父亲下，．．

还是先与母亲下？请用计算说明理由.

解析几何

1．已知动点P到直线x??4233的距离是到定点（?3,0）的距离的倍. 33 （Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）如果直线l:y?k(x?1)(k?0)与P点的轨迹有两个交点A、B，求弦AB的垂直平分线在y轴上的截距y0的取值范围.

2．已知点A,B分别是直线y?x和y??x的动点（A,B在y轴的同侧），且?OAB的面积为9????????8，点P满足AP?2PB. 试求点P的轨迹C的方程；

（2）已知F

?2,0?，过O作直线l交轨迹C于两点M,N，若?MFN?23?，试求?MFN的面积. （3）理：已知F?2,0?，矩形MFNE的两个顶点M,N均在曲线C上，试求矩形MFNE 面积的最小值.

函数、导数 1．设f(x)?ax?1x?1 (a?R)，曲线y = f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y = x+3. （1）求f(x)的解析式； （2）若x∈[2,3]时，f(x)≥bx恒成立，求实数b的取值范围.

2．（理）已知函数f(x)?3x(x?a)（x?0，a?R） （1）求函数f(x)的单调区间；

（2）求函数f(x)在?1,8?上的最大值和最小值．

1）

（

2．（文）设函数f(x)?tx2?2t2x?t?1(x?R，t?0)． （Ⅰ）求f(x)的最小值h(t)； （Ⅱ）若h(t)??2t?m对t?(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．

不等式

21．已知函数y?f(x)和y?g(x)的图象关于y轴对称，且f(x)?2x?4x

（I）求函数y?g(x)的解析式； （Ⅱ）解不等式

f(x)?g(x)?|x?1|；

22?1的解集为A，不等式x2?(2?a)x?2a?0的解集为B. x?1 （1）求集合A及B； （2）若A?B，求实数a的取值范围.

2．已知不等式

数学参考答案

三角函数 1．解：（1）由正弦定理及2acosC?ccosA?b得，

AcosC?sinCcosA?sinB. 2sin 在?ABC中，A?B?C??，

?A?C???B，即sin(A?C)?sinB.

?2sinAcosC?sinCcosA?sin(A?C)?sinAcosC?sinB?sinAcosC?sinB

AcosC?0 ?sin 又?0?A??，0?C??，

?sinA?0. ?cosC?0.

?C??2.

（2）由（1）得C??2 ?sinA?sinB?sinA?cosA ?2sin(A? ?，?A?B??2，即B??2?A.

?4?)，0?A?3?. 4?2，

?4?A??4 ?当A??4时，sinA?sinB取得最大值2.

2．解：（1）f(x)?11?cos2x1sin2x?? 222

?12?(sin2x?cos2x)?sin(2x?) 224 由2x?

k???,k?Z.

4228k???,k?Z. ?f(x)的对称轴方程为x?28??k???得x? （2）由题意可设a?(m,0)则g(x)?2?sin(2x?2m?) 242?sin(???2m)?0， 24

又因为g(x)的图象关于点(即

?2,0)对称，则有

5?5?k??2m?k?,?m??,k?Z. 482

?a?5?k??,k?Z 82

所以当k?1时，?amin??8.

数列

1．证明：（Ⅰ）?Sn+1=3Sn+2,

∴Sn+1+1=3(Sn+1).

又?S1+1=3,

? p 0 1 2 3 4

1191111 106060301191111126E(?)?0??1??2??3??4??.

106030603015111??. 3261 302．解：（Ⅰ）设“如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，则该客户需要等待” 为事件M. P(M)?

答：如果某客户只能使用A或B型号的ATM机，该客户需要等待的概率为

1. 6 （Ⅱ）设“至多有三台ATM机被占用” 为事件N.

111229P(N)?1?????.

322530答：至多有三台ATM机被占用的概率为

29. 30 （Ⅲ）设“恰有两台ATM机被占用” 为事件S.

1113111311122113P(S)?????????????????3225322532253225

2112211211 ????????3225322530答：恰有两台ATM机被占用的概率为

11. 30

3．解：(1) 记“小明在第i盘胜父亲”为事件Ai?i?1,2,3?，“小明在第i盘胜母亲”为事件Bi?i?1,2,3?， 则P?Ai??12，P?Bi??. 23 所以小明恰胜一盘的概率为PA1?B2?A3?A1?B2?A3?A1?B2?A3 ???1111211111???????? ?23223223231答：小明恰胜一盘的概率为.

3 （2）若与父亲先下，则小明获胜的概率为PA1?B2?A1?B2?A3

??121211??????； 232322若与母亲先下，则小明获胜的概率为PB1?A2?B1?A2?B3

??211124??????. 32323914∵?, 29

∴小明应先与父亲下.

解析几何

1．解：（Ⅰ）设动点P(x,y)，由题意知x?4233?(x?3)2?y2. 33

x2??y2?1.

4

x2?y2?1. 即动点P的轨迹方程是4（Ⅱ）联立方程组

?y?k(x?1),? ?x2

2??y?1.?42222得：(1?4k)x?8kx?4k?4?0.

????48k2?16?0，?8k2?，从而 ?x1?x2??2

1?4k??4k2?4.?x1?x2?21?4k?4k2k(?,) 弦AB的中点坐标为：

1?4k21?4k2

k14k2弦AB的线段垂直平分线方程为y?1?4k2??k(x?1?4k2). 3ky??所以垂直平分线在y轴上的截距为：01?4k2，?k?0?.

故弦AB的线段垂直平分线在y轴上的截距的取值范围为[?33,0)?(0,]. 442．解：（1）设A?x1,x1?，B?x2,?x2?，P?x,y?，则

x1?2x2?x?,??????????3由AP?2PB可得??y?x1?2x2?3?因为?OAB的面积为

(1)

(2)

9， 89112x1?2x2?x1x2?x1x2. 所以?OAOB?8228xx(1)2?(2)2得：x2?y2?12?1.

9所以，点P的轨迹C的方程为x?y?1.

22 （2）显然F

?2,0为C的右焦点，设其左焦点为F'?2,0.

???连接F'M,F'N，由双曲线的对称性可知四边形F'MFN为平行四边形， 故?F'MF????MFN??3.设MF'?r1，MF?r2.

22则由双曲线定义得： r1?r2?2rr12?4. 1?r2?2，即r在?MF'F中，由余弦定理得： r1?r2?2r1r2cos两式作差得：r1r2?4.

22?3=FF'2?8.

所以，?MFN的面积S?S?MFF'?12rr?12sin3?3. （3）（理）

当直线MN?x轴时，FN:y?x?2， 所以，直线MN的方程为x?3122，此时，矩形MFNE面积为

4. 设直线MN:y?kx?m，代入x2?y2?1，消去y

得：?1?k2?x2?2mkx??m2?1??0.

??x2mk1?x2??1?k2,

设M?xx??1,y1?,N?2,y2?，则?x1x2???m2?1?,?1?k2 ????4?1?k2?m2??0,??1?k2?0 由????FM?????FN??0得：3k2?1?22mk?0.

矩形MFNE面积

S?FMFN?ex2?1?3k2?21?2?ex22?2?2x1x2?2?x2?x1??1??2?4k2?k2?1?

若k2?1，则令t?3k2?1?2，

故S??2?t24??2?9?1.

t2?t?2??94???1?12?4t?t2??

综上所述，可知当直线MN?x轴时，矩形MFNE面积最小为

14.

函数、导数

1．解：（1）由条件得f(2)=5，则（2，5）在f(x)上， 有2a?1?5即a?2.

?f(x)?2x?1x?1 （2）x∈[2,3]时，f(x)≥bx恒成立等价于b?f(x)1x?2?x(x?1)恒成立，

令h(x)?2?1135x(x?1) x∈[2,3]，所以h(x)?[6,2]

?b?136 若k2?1，显然S?2，

2．解：（1） f?x??x?ax

4313，

2?4114x?a故f??x??x3?ax3?

32333x若a?0，则f??x??0，因此f?x?在?0,???上是增函数． 若a?0，则由f??x??0得x??因此f?x?的单调递增区间是??a， 4a??a??,???，单调递减区间是?0,??．

4??4?? （2）若a??4，则f??x??0（x??1,8?），

因此f?x?在?1,8?上是增函数．

那么f?x?在x??1,8?上的最小值是f?1??a?1，最大值是f?8??2a?16； 若a??32，则f??x??0（x??1,8?），

因此f?x?在?1,8?上是减函数．

那么f?x?在x??1,8?上的最小值是f?8??2a?16，最大值是f?1??a?1． 若?32?a??4，则 x 1 a??1,??? 4??? ?0 a 4?a???,8? ?4?+ ↗ 8 f??x? f?x? f?1??a?1 ↘ 极小值 f?8??2a?16 所以f?x?在x??1,8?上的最小值是f??当f?1??a?1?f?8??2a?16，

?a?33a??a?， 44??4即?32?a??15时，最大值是a?1；当?15?a??4时，最大值是2a?16． 2．解：（Ⅰ）?f(x)?t(x?t)2?t3?t?1(x?R，t?0)，

?当x??t时，f(x)取最小值f(?t)??t3?t?1，

即h(t)??t?t?1?t?0?．

33 （Ⅱ）令g(t)?h(t)?(?2t?m)??t?3t?1?m，

2由g?(t)??3t?3?0得t?1，t??1（不合题意，舍去）．

当t变化时g?(t)，g(t)的变化情况如下表：

t g?(t) (0，1) 1 (1，2) ? 0 ? g(t)

递增 极大1?m 值递减 ?g(t)在(0，2)内有最大值g(1)?1?m．

h(t)??2t?m在(0，2)内恒成立等价于g(t)?0在(0，2)内恒成立，

即等价于1?m?0， 所以m的取值范围为m?1． 不等式

1．解：（I）设函数y?g(x)图象上任意一点P(x,y)，

由已知点P关于y轴对称点P'(?x,y)一定在函数y?f(x)图象上， 代入得y?2x2?4x，所以g(x)?2x?4x （II）

2f(x)?g(x)?|x?1|

22

?2x2?x?1?2x2?1?x或? ?2x?|x?1|???x?1?0?x?1?0

1??x????1?x?或???2 x?1???x?1??1?x?1 222?1?xx?1?1，得?0即?0. 2．解：（1）由

x?1x?1x?1 解得?1?x?1.

?A?x?1?x?1.

由x2?(2?a)x?2a?0，得(x?2)(x?a)?0. ①若a?2，则B?（2，a）； ②若a?2，则B??；

③若a?2，则B?（a，2）. （2）要使A?B，则a?2. 并且a??1.

所以，当a??1时，A?B.

??

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