中考数学复习指导：《一元二次方程》知识点分类解析

一元二次方程知识点分类解析

一元二次方程及其应用是中考数学考查的基础内容。关于一元二次方程的解法、一元二次方程的根的判别式及其应用一般都以常规题的形式出现.下面结合中考题，分析一元二次方程一章的知识点，供同学们学习. 一、一元二次方程的定义与解

例1 (2O17?威海)若1?3是方程x?2x?c?0的一个根，则c的值为( )

A. -2 B. 43?2 C. 3?3 D. 1?3 分析:将方程的根1?3直接代入该方程中，得到关于c的方程，解此方程即可. 解:根据题意，得(1?3)2?2(1?3)?c?0.

化简，得2?c?0. 解得c??2.故选A.

评注:已知一元二次方程的一个解求方程中字母的值，将方程的解代入该方程中，将方程转化为以字母为未知数的方程，解此方程即可求出字母的值.

例2 (2017?温州)我们知道方程x?2x?3?0的解是x1?1,x2??3，现给出另一个方程(2x?3)2?2(2x?3)?3?0，它的解是( )

A. x1?1,x2?3 B. x1?1,x2??3 C. x1??1,x2?3 D. x1??1,x2??3

分析:将2x?3看作一个整体，运用整体的思想求新方程的解，然后再求x的值.

2 解:设2x?3?y，故原方程可转化为y?2y?3?0.

22 解得y1?1,y2??3. ?2x?3?1或2x?3??3. 解得x1??1,x2??3.故选D.

评注:本题考查了数学整体思想的应用，即运用整体思想把新得到的方程与原方程联系起来，由此可简捷地求出方程的解.但有些学生先化简方程，然后再解方程，复杂的计算更容易出现错误.

例3 (2017?菏泽)关于x的一元二次方程(k?1)x?6x?k?k?0的一个根是0，则

22k的值是 .

分析:将0代入该一元二次方程中，由此得到关于k的一元二次方程，解关于k的一元二次方程即可.注意k的值必须使得二次项系数不为0. 解:把x?0代入方程，得k?k?0.

2 解得k1?1,k2?0.

又关于x的方程是一元二次方程， ?k?1?0，则k?1.故k的值是0.

评注:当一元二次方程的二次项系数出现字母时，一定要考虑字母的取值，使得该方程的二次项系数不为0.

例4 (2017?内江)若实数x满足x?2x?1?0，则2x?7x?4x?2017= . 分析:将已知条件灵活变形，注意整体代入，使得所求代数式逐步降幂求解. 解:由x?2x?1?0，得x?2x?x?0①，或x?2x?1②.

将①②代入所求多项式中，

原式=2(x3?2x2?x)?3(x2?2x)?2017?0?3?1?2017??2020.

评注:求解此类问题时，注意运用整体代入法，使得计算过程变得简单，不易出错. 二、一元二次方程的解法 例5 解方程:

(1)(2016?淄博)解方程: x?4x?1?0. (2)(2017?丽水)解方程: (x?3)(x?1)?3. 分析:(1)运用配方法解此方程;

(2)先化简方程，然后运用因式分解法解此方程. 解:(1)移项，得x?4x?1.

2 配方，得x?4x?4?1?4，即(x?2)?5.

2222322232 开平方，得x??2?5. 解得x1??2?5,x2??2?5. (2)化简该方程，得x?4x?0. 因式分解，得x(x?4)?0. 解得x1?0,x2?4.

评注:解一元二次方程时，先观察方程的结构，根据方程的形式选择合适的方法. 例6 (2017?滨州)根据要求，解答下列问题: (1)①方程x?2x?1?0的解为 ;

②方程x?3x?2?0的解为 ; ③方程x?4x?3?0的解为 ;

2222 (2)根据以上方程的特征及其解的特征，请猜想: ①方程x?9x?8?0的解为 ;

②关于x的方程 的解为x1?1,x2?n.

(3)请用配方法解方程x?9x?8?0，以验证猜想结论的正确性.

分析:(1)运用因式分解法求解每一组方程;

(2)总结归纳方程的解与一次项系数和常数项之间的关系，找出变化规律，根据规律解解决问题;

(3)配方解此方程，验证方程的解.

解:(1)①(x?1)2?0，解得x1?x2?1. 所以方程x?2x?1?0的解为x1?x2?1. (2)(x?1)(x?2)?0，解得x1?1,x2?2. 所以方程x?3x?2?0的解为x1?1,x2?2. ③(x?1)(x?3)?0，解得x1?1,x2?3. 所以方程x?4x?3?0的解为x1?1,x2?3. …

(2)①x1?1,x2?8. ②x?(1?n)x?n?0. (3)移项，得x?9x??8.

22222228181949??8?，即(x?)2? 442497直接开平方，得x???.

22配方，得x?9x?2 所以该方程的解为x1?1,x2?8.

所以猜想正确.

评注:结合数字变化规律来考查一元二次方程是常见的考查方式，解题的关键是把方程的根与系数的变化结合起来，归纳出一般规律.有些学生不能用联系的观点发现问题、总结问题，因而归纳不出事物的发展规律. 三、一元二次方程的根的判别式

例7 (2017?枣庄)已知关于x的一元二次方程ax?2x?1?0有两个不相等的实数根，则ax?2x?1?0的取值范围是 .

22 分析:根据一元二次方程的定义和根的判别式列出关于a的不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围.

解:根据题意，得V?(?2)2?4a?(?1)?0且a?0.

解得a??1且a?0.

评注:运用根的判别式分析一元二次方程的根的情况时，一定要注意一元二次方程的定义，即二次项系数不能为0.

例8 (2017?北京)关于x的一元二次方程x2?(k?3)x?2k?2?0.

(1)求证:方程总有两个实数根;

(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围.

分析:(1)由一元二次方程的根的判别式证明该方程有两个实数根; (2)将字母k看作常数，利用因式分解法解此方程，然后根据方程的一个根小于1确定k的取值范围.

解:(1)证明:根据一元二次方程的根的判别式，得

V?[?(k?3)2?4?1?(2k?2)?k2?2k?1?(k?1)2?0.

?该方程总有两个实数根.

(2)因式分解，得(x?2)(x?k?1)?0, 解得x1?2,x2?k?1.

Q方程有一根小于1， ?k?1?1. 解得k?0.

?k的取值范围为k?0.

评注:在解含有字母的方程时，可将字母看作常数求解，但计算结果要注意字母的取值范围和所列表达式是否有意义.

例9 (2017?十堰)已知关于x的方程x?(2k?1)x?k?1?0有两个实数根x1,x2. (1)求实数k的取值范围;

(2)若x1,x2满足x12?x22?16?x1x2，求实数k的值.

分析:(1)由一元二次方程根的判别式列出关于k的不等式，解此不等式即可;

(2)根据一元二次方程的根与系数之间的关系，直接将x1?x2和x1?x2的值代入等式，得到关于k的方程，解此方程即可.

解:(1) Q关于x的方程x?(2k?1)x?k?1?0有两个实数根x1,x2. ?V?(2k?1)?4(k?1)??4k?5?0,

解得k?2222225. 4?实数k的取值范围为k?5. 4 (2)根据一元二次方程的根与系数之间的关系，得x1?x2?1?2k,x1?x2?k2?1，

?x12?x22?(x1?x2)2?2x1?x2?16?x1?x2. ?(1?2k)2?2(k2?1)?16?(k2?1).

化简，得k?4k?12?0. 解得k1??2,k2?6?25 (不合题意，舍去). 4 ?实数k的值为-2.

评注:考查一元二次方程中含有字母的取值范围时，一般由方程的定义和根的判别式列出关于字母的不等式(组)即可求出字母的取值范围;若进一步解字母的方程时，所求得的字母的值必须要满足该字母的取值范围，否则字母的根没有意义. 四、一元二次方程的应用 1.增长率的应用

例10 (2017?烟台)今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元.

(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率; (2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案.

试问去哪个商场购买足球更优惠?

分析:(1)设平均每年降低的百分率为x,连续降价两年后，2017年足球单价可表示为

200(1?x)2元，由题意可列方程;

(2)根据两种不同的促销方案计算100个足球的价格，然后比较价格的高低. 解:(1)设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x. 根据题意，得 200?(?1x2)?. 621 解得x1?0.1?10%,x2??1.9 (不合题意，舍去).

答:2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%. (2)根据题意，得100?10?90.91 (个)， 11 在A商城需要的费用约为162×91=14 742(元)，在B商城需要的费用为

162?100?9?14580 (元). 10 ?14 742>14 580,

?去B商场购买足球更优惠.

例11 (2017?襄阳)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元.

(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率;

(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元?

分析:(1)设平均每年增长率为x，连续增长两年后，2017年利润表示为2(1?x)2亿元，由此列方程;

(2)根据(1)中的增长率计算2017年的利润，与3.4亿元比较大小即可. 解:(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x. 根据题意，得2(1?x)2?2.88.

解得x1?0.2?20%,x2??2.2 (不合题意，舍去).

答:这两年该企业年利润平均增长率为20%.

所)无

(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88 (1 +20% )=3.456. Q3.456>3.4

?该企业2017年的利润能超过3.4亿元.

评注:有关增长率的问题，往往要用到公式: M?a(1?x)，这里a表示增长的基数，x表示每次的增长率，n表示增长的次数，M表示增长n次后的量. 2.几何图形面积的应用

例12 (2017?潍坊)工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)在图1中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形边长多大?

n

答:2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%. (2)根据题意，得100?10?90.91 (个)， 11 在A商城需要的费用约为162×91=14 742(元)，在B商城需要的费用为

162?100?9?14580 (元). 10 ?14 742>14 580,

?去B商场购买足球更优惠.

例11 (2017?襄阳)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元.

(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率;

(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元?

分析:(1)设平均每年增长率为x，连续增长两年后，2017年利润表示为2(1?x)2亿元，由此列方程;

(2)根据(1)中的增长率计算2017年的利润，与3.4亿元比较大小即可. 解:(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x. 根据题意，得2(1?x)2?2.88.

解得x1?0.2?20%,x2??2.2 (不合题意，舍去).

答:这两年该企业年利润平均增长率为20%.

所)无

(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88 (1 +20% )=3.456. Q3.456>3.4

?该企业2017年的利润能超过3.4亿元.

评注:有关增长率的问题，往往要用到公式: M?a(1?x)，这里a表示增长的基数，x表示每次的增长率，n表示增长的次数，M表示增长n次后的量. 2.几何图形面积的应用

例12 (2017?潍坊)工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)在图1中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形边长多大?

n

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