《大学物理学》第二版上册课后答案

大学物理学习题答案

习题一答案 习题一

1.1 简要回答下列问题：

(1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相

等？

(2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？

(3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什

么？ (4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一

定保持不变？ ??dv????dv(5) ?r和?r有区别吗？?v和?v有区别吗？?0各代表什么运动？ ?0和

dtdt(6) 设质点的运动方程为：x?x?t?，y?y?t?，在计算质点的速度和加速度时，有人先求

出r?x?y，然后根据

drdt22v? 及 a?drdt22

而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

v??dx??dy?????? 及 a??dt??dt?22?d2x??d2y? ?2???2??dt??dt?22你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？

(7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？

(8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？

(9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？

(10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，an、at、a三者的大小是否随时间改变？ (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？

1.2 一质点沿x轴运动，坐标与时间的变化关系为x?4t?2t2，式中x,t分别以m、s为单位，试计算：(1)在最初2s内的位移、平均速度和2s末的瞬时速度；(2)1s末到3s末的平均

1

加速度；(3)3s末的瞬时加速度。

解：

(1) 最初2s内的位移为为： ?x?x(2)?x(0)?0?0?0(m/s) 最初2s内的平均速度为： vave?t时刻的瞬时速度为：v(t)?dxdt?x?t?02?0(m/s)

?4?4t

2s末的瞬时速度为：v(2)?4?4?2??4m/s

(2) 1s末到3s末的平均加速度为：aave? (3) 3s末的瞬时加速度为：a?dvdt??v?td(4?4t)dt?v(3)?v(1)2?2?8?02??4m/s

2??4(m/s)。

1.3 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为a0，质点出发后，每经过?时间，加速度均匀增加b。求经过t时间后，质点的速度和位移。 解: 由题意知，加速度和时间的关系为

a?a0?b?t

利用dv?adt，并取积分得

v?dv?0b?a?0????0tb2?t t?dv，v?a0t?2??再利用dx?vdt，并取积分[设t?0时x0?0]得

xt?x0dx??vdt，?x?012a0t?2b6?t

3????1.4 一质点从位矢为r(0)?4j的位置以初速度v(0)?4i开始运动，其加速度与时间的关系

为a?(3t)i?2j.所有的长度以米计，时间以秒计.求：

（1）经过多长时间质点到达x轴；

（2）到达x轴时的位置。 解： v(t)?v(0)????32????a(t)dt?4?ti?(2t)j ???02??tt???? r(t)?r(0)??13????24t?t?i??4?t?j ?0v?t?dt??2??2（1） 当4?t?0，即t?2s时，到达x轴。

2

??（2） t?2s时到达x轴的位矢为 ：r(2)?12i

即质点到达x轴时的位置为x?12m,y?0。

1.5 一质点沿x轴运动，其加速度与坐标的关系为a???2x，式中?为常数，设t?0时刻的质点坐标为x0、速度为v0，求质点的速度与坐标的关系。

dxdt222解：按题意

???x

由此有 ??x?2dxdt22?dvdt?dvdxdxdt?vdvdx，

即 vdv???2xdx， 两边取积分 得

12?2vv0vdv???1222?xx0xdx，

212v?v0??1?x?22?x0

222由此给出 v???

?v?2222A?x，A??0??x0

???????21.6 一质点的运动方程为r(t)?i?4tj?tk，式中r，t分别以m、s为单位。试求： ?????dv?dr?(8t)j?k， a??8j 解：(1) 速度和加速度分别为： v?dtdt????2 (2) 令r(t)?xi?yj?zk，与所给条件比较可知 x?1，y?4t，z?t

(1) 质点的速度与加速度；(2) 质点的轨迹方程。

所以轨迹方程为：x?1,y?4z2。

2?11.7 已知质点作直线运动，其速度为v?3t?t(ms)，求质点在0~4s时间内的路程。

解: 在求解本题中要注意：在0~4s时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出

44现往返。如果计算积分?vdt，则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分?vdt。

002令v?3t?t?0，解得t?3s。由此可知：t?3s时，v?0，v?v； t?3s时，v?0；

而t?3s时，v?0，v??v。因而质点在0~4s时间内的路程为

3

4343242 s??0vdt??vdt?0?(?v)dt?3??3t?t?dt???3t?t?dt

031?3213??3213???t?t???t?t??6(m)。

3?0?23?33?2341.8 在离船的高度为h的岸边，一人以恒定的速率v0收绳，求当船头与岸的水平距离为x时，船的速度和加速度。

解: 建立坐标系如题1.8图所示，船沿X轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方程，由图题1.8，可得出

O X

r h v0

x Y 习题1.8图

x?r?h

222?两边求微分，则有

2xdxdtdxdt?2rdrdt

船速为

v??rdrxdt

按题意

drdt??v0(负号表示绳随时间t缩短)，所以船速为

v??x?hx22v0

负号表明船速与x轴正向反向，船速与x有关，说明船作变速运动。将上式对时间求导，可得船的加速度为

a?dvdt??hv0x322

负号表明船的加速度与x轴正方向相反，与船速方向相同，加速度与x有关，说明船作变加速运动。

4

1.9 一质点沿半径为10cm的圆周运动，其角坐标?(以弧度rad计)可用下式表示

3??2?4t

其中t的单位是秒(s)试问：(1)在t?2s时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？ (2)当?等于多少时其总加速度与半径成45?角 ？

解：(1) 利用 ??2?4t3，??d?/dt?12t2，??d?/dt?24t，

得到法向加速度和切向加速度的表达式

an?r?2?144rt4，at?r??24rt

在t?2s时，法向加速度和切向加速度为：

an?144r4t?14?40?.142??223m0.?s4，( )

?2)at?24rt?24?0.1?2?4.8(m?s(2) 要使总加速度与半径成45?角，必须有an?at，即144rt4?24rt

解得 t3?1/6，此时 ??2?4t3?2.67rad

1.10 甲乙两船，甲以10km/h的速度向东行驶，乙以15km/h的速度向南行驶。问坐在乙船上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？

??解：以地球为参照系，设i、j分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为

????v1?10ikm/h，v2??15jkm/h 根据伽利略变换，当以乙船为参照物时，甲船速度为

????? v?v1?v2?(10i?15j)km/h

15?22?v?10?15?18.1km/h，??arctg?56.31

10?即在乙船上看，甲船速度为18.1km/h，方向为东偏北56.31 ?同理，在甲船上看，乙船速度为18.1km/h，方向为西偏南56.31。

1.11 有一水平飞行的飞机，速率为v0，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度v向前射击。略去空气阻力，

(1) 以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程；

(2) 以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程； (3) 以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？

2解：(1) 以地球为参照系时，炮弹的初速度为v1?v?v0，而x?v1t，y??0.5gt 消去时间参数t，得到轨迹方程为：

y??gx222(v?v0)（若以竖直向下为y轴正方向，则负号去掉，下同）

(2) 以飞机为参照系时，炮弹的初速度为v，同上可得轨迹方程为y??gx2v22

5

(3) 以炮弹为参照系，只需在(2)的求解过程中用?x代替x，?y代替y，可得 y?gx2v22.

1.12如题1.12图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为D，速率为v，一艘速率为u?v的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证明：如果快艇在尽可能最迟的时刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为x?Dvuv?u22Dv?uu22；快艇截

住这条船所需的时间为t? Y v

。

D u ? X x 港口

习题1.12图

证明：在如图所示的坐标系中，船与快艇的运动方程分别为 ?x1?vt?x2?x?ucos??t ? 和 ?

y?usin??ty?D?2?1拦截条件为：

cos??t?x1?x2?vt?x?u 即 ????t?D?usin?y1?y2所以

x?D?v?ucos?usin??，

x取最大值的条件为：dx/d??0，由此得到cos??u/v，相应地sin??1?(u/v)。

2因此x的最大值为

x?Dv?uu22

x取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为

6

t?Dusin??Dvuv?u22。

习题二答案 习题二

2.1 简要回答下列问题：

(1) 有人说：牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而

它是多余的.你的看法如何？ (2) 物体的运动方向与合外力方向是否一定相同？ (3) 物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？ (4) 物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？ (5) 物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？

(6) 为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？

(7) 合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物

体动能的增量？

(8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明. (9)判断下列说法是否正确，并说明理由：

(a)不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.

(b)内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒. (c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.

(10) 在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？ (11) 放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何？为什么在空中焰火总是以球形

逐渐扩大？(忽略空气阻力)

2.2 质量为m质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力F??kv（k为常数）作用，

t?0时质点的速度为v0，证明：

?ktm（1）t时刻的速度为v?v0e；

?ktm]； （2）由0到t的时间内经过的距离为x?(mv0k)?[1?e（3）停止运动前经过的距离为mv0k。

证明： (1) 由 ma?mvv0dvdt?F??kv 分离变量得

t0dvv??kmdt，积分得

?dvv???kmdt ，lnvv0??kmt，v?v0e?ktm

7

(2) x??vdt??t0v0e?kt/mdt?mv0k(1?e?kt/m)

(3) 质点停止运动时速度为零，即t??，故有x????0v0e?kt/mdt?mv0k。

2.3一质量为10 kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t?0时，物体的速度为零，物体在力

F?3?4t(N)(t以s为单位)的作用下运动了3s，求它的速度和加速度.

解. 根据质点动量定理,

330?Fdt?mv?mv03,

??3?4t?dt?mv

02v??3t?2t2???0m?3?3?2?310?2.7(ms)

?1根据牛顿第二定律，F?ma

a?Fm??3?4t?t?3m?3?4?310?1.5(m/s)

2

2.4 一颗子弹由枪口射出时速率为v0 ms-1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为

，其中t以秒为单位： F?(a?bt)N（a,b为常数）

（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；

（2）求子弹所受的冲量； （3）求子弹的质量。 解：

(1)由题意，子弹到枪口时，有F?(a?bt)?0, 得t?tab

ab(2)子弹所受的冲量I??0(a?bt)dt?at?12bt2，将t?2代入，得I?a22b

(3)由动量定理可求得子弹的质量 m?

Iv0?a2bv0

???2.5 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为r?acos?ti?bsin?tj，求质点

的动量及t?0到t??2?时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。 解：质点的动量为

??????p?mv?mr?m???asin?ti?bcos?tj?

将t?0和t??2?分别代入上式，得

8

???? p1?m?b，jp2??m?ai

动量的增量，亦即质点所受外力的冲量为

?????I?p2?p1??m?(ai?bj)

2.6 作用在质量为10kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s。 （1）求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量；

（2）为了使这力的冲量为200Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和

一个具有初速度?6jm?s?1的物体，回答这两个问题。

解：(1)若物体原来静止，则

??t?4??1?p1??Fdt??(10?2t)idt?56i[kg?m?s]，沿x轴正向，

?????p1???1?1?v1??5.6i[m?s],I1??p1?56i[kg?m?s]

m???1若物体原来具有初速度v0??6jm?s，则

00?????p0??mv0,????p(t)??mv0????t0?Fdt

于是 ?p2?p(t)?p0??p 1??同理， ?v2??v1,?? 1I2?I这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多

大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即I?2令10t?t?200，解得t?10s。

?t0(10?2t)dt?10t?t

2

2.7 一小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。

L

S人 S船 习题2.7图 解：由动量守恒 M

船V船?m人v人?0

9

又 S船?s人??t0V船dt， M船?t0v人dt??t0m人V船dt?M船m人S船，

s 如图，船的长度 L?S船?人所以 S船?1?LM船m人?3.61?10050?1.2m

即船头相对岸边移动S船?1.2m

??2.8 质量m?2kg的质点,从静止出发沿X轴作直线运动，受力F?(12t)i(N)，试求开始3s内该力作的功。

解 A?而

vx?vx0??LFxdx??L(12t)dx??30(12tvx)dt

?t0axdt??30t0Fxmdt?122?t0tdt?3t

2所以

A???12t?3t?dt??2023?364?36tdt??t??729(J)

?4?0332.9 一地下蓄水池，面积为s?50m，水深度为1.5m，假定水的上表面低于地面的高度是

5.0m，问欲将这池水全部抽到地面，需作功多少?

O

h0 y

h1 dy

Y 习题2.9图

解:建坐标如习题2.9图，图中h0表示水面到地面的距离，h1表示水深。水的密度为

10

33??10kgm，对于坐标为y、厚度为dy的一层水，其质量dm??sdy，将此层水抽到

地面需作功

dA?dmgy??sgydy

将蓄水池中的水全部抽到地面需作功

A??h0?h1h0dA??h0?h1h0?sgydy?21222?sg??h0?h1??h0?

????12312?sg?h1?2h0h1?

2?10?50?9.8??1.5?2?5.0?1.5??4.23?10(J)

62.9一炮弹质量为m，以速度v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为v?2kTm ，v?2Tkm。

?证明：设一块的质量为m1，则另一块的质量为m2?km1。利用m1?m2?m，有 m1?mk?1， m2?kmk?1 ①

又设m1的速度为v1，m2的速度为v2，则有

T?12m1v1?212m2v2?212mv ②

2m1v1?m2v2?mv [动量守恒] ③

联立①、③解得

v1?kv2?(k?1)v，v1?(k?1)v?kv2 ④

联立④、②解得

2Tkm?(v2?v)，于是有v2?v?22Tkm

将其代入④式，有

?v1?(k?1)v?k?v???2T??v???km?2kTm 又因为爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，当k?1时只能取 v1?v?2kTm,v2?v?2Tkm。

2.10一质量为m的子弹射入置于光滑水平面上质量为M并与劲度系数为k的轻弹簧连着的木块后使弹簧最大压缩了L，求子弹射入前的速度v0.

11

M m v0

习题2.10图

解： 子弹射入木块到相对静止的过程是一个完全非弹性碰撞，时间极短，木块获得了速度，尚未位移，因而弹簧尚未压缩.此时木块和子弹有共同的速度v1，由动量守恒，

?m?M?v1?mv0

?m?M?v1212kL

2 此后，弹簧开始压缩，直到最大压缩，由机械能守恒，

12?由两式消去v1，解出v0得 v0?Lmk?m? ?M2.11质量m的物体从静止开始，在竖直平面内沿着固定的四分之一圆周从A滑到B。在B处时，物体速度的大小为vB。已知圆的半径为R，求物体从A滑到B的过程中摩擦力所作的功：(1)用功的定义求； (2)用动能定理求；(3)用功能原理求。 A

?fNR

m g B

习题2.11图

解 方法一：当物体滑到与水平成任意?角的位置时，物体在切线方向的牛顿方程为

mgcos??f?mat?mdvdt

即

??m ?f??mgcosdvdt

???注意摩擦力f与位移dr反向，且|dr|?Rd?，因此摩擦力的功为

Af?????mgR??20?20mgcos?Rd??m?vB0vB0?|dr|dtdv 12mvB

2cos?d??m?vdv??mgR? 12

方法二： 选m为研究对象，合外力的功为

A???????mg?f?N?dr

???考虑到?N?dr?0，因而

? A?Af??mgcos??|dr?|fA?mos?d??gRc?0?2fA? mgR由于动能增量为?Ek?12mvB?0，因而按动能定理有

12mvB，Af??mgR?22Af?mgR?12mvB。

2

方法三：选物体、地球组成的系统为研究对象，以B点为重力势能零点。 初始在A点时，Ep0?mgR、Ek0?0 终了在B点时，Ep?0，Ek?12mvB

12mv?mgR

22由功能原理知：Af??E?E1?E0?经比较可知，用功能原理求最简捷。

2.12 墙壁上固定一弹簧，弹簧另一端连接一个物体，弹簧的劲度系数为k，物体m与桌面间的摩擦因素为?，若以恒力F将物体自平衡点向右拉动，试求到达最远时，系统的势能。 mF f? X

fk习题2.12图

解：物体水平受力如图，其中fk?kx，f???mg。物体到达最远时，v?0。设此时物体的位移为x, 由动能定理有

??F-kx-?mg?dx?0?0

0x即 Fx-12kx-?2mg?x0

解出 x?2?F??mg?k

2系统的势能为 Ep?2.13 一双原子分子的势能函数为

12kx?22?F??mg?k

13

6??r?12?r??Ep(r)?E0??0??2?0??

?r?????r??式中r为二原子间的距离，试证明： ⑴r0为分子势能极小时的原子间距； ⑵分子势能的极小值为?E0； ⑶当Ep(r)?0时，原子间距离为

r06；

2证明：（1）当

dEP(r)dr?0、

dEP(r)dr22?0时，势能有极小值EP(r)min。由

?r012r06???13?7??0

r??rdEP(r)dr6??r?12?r???E0??0??2?0???12E0dr?r?????r??d?r?得 ?0??r?12?r???0? ?r?6所以r?r0，即r0为分子势能取极值时的原子间距。另一方面，

dEP(r)drdEP(r)dr22226?r012r0??12E0?1314?78?

r??r当r?r0时，

?137?72E0?12E0?2?2???0，所以r?r0时，EP(r)取最小值。 2r0?r0?r06??r?12???r00?E0????2?????E0

r??r0????0??（2）当r?r0时，EP(r)min6??r?12?r??00（3）令EP(r)?E0????2????0，得到

?r?????r??66??r?12?rrr0????000????2????0，???2，r?6 ?r??2?r????r??

2.14 质量为7.2×10-23kg，速度为6.0×107m/s的粒子A，与另一个质量为其一半而静止的粒子B相碰，假定这碰撞是弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为5×10m/s，求：

⑴粒子B的速率及偏转角；

⑵粒子A的偏转角。

v?A

7

14

? vA ?

? vB习题2.14图

解：两粒子的碰撞满足动量守恒

???mAvA?mAv'A?mBv'B

写成分量式有

mAvA?mAv'Acos??mBv'Bcos?

mAv'Asin??mBv'Bsin?

碰撞是弹性碰撞，动能不变：

12mAvA?212mAv'A?212mBv'B

2利用

mA?7.2?10?23kg， mB?7mA2?3.6?10?23kg，

vA?6.0?10m/s，v'A?5.0?10m/s，

7可解得

v'B?4.69?10m/s，??544'，??2220'。

7??2.15 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为r0时重物达到平衡。今在M1的下方再挂一质量为M2的物体，如题2-15图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少？

M1

M2

15

r0m

习题2.15图

解：在只挂重物M1时，小球作圆周运动的向心力为M1g，即

M1g?mr0?02 ①

挂上M2后，则有

(M1?M2)g?mr???2

②

重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．

即 r0mv0?r?mv??r02?02?r?2??2 ③ 联立①、②、③得

?0?M1gmr0,???M1g?M1?M2???mr0?M1?2/3,??M1r????M?M?12?3/2?r0

2.16 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为r1?8.75?1010m时的速率是v1?5.46?104ms?1，它离太阳最远时的速率是v2?9.08?102ms?1，这时它离太阳的

距离r2是多少？（太阳位于椭圆的一个焦点。）

解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有

? r1mv1r1v1v28.75?1010rm v 22412∴ r2?

??5.46?1029.08?10?5.26?10[m]

2.17 查阅文献，对变质量力学问题进行分析和探讨，写成小论文。

参考文献：

[1]石照坤，变质量问题的教学之浅见，大学物理，1991年第10卷第10期。 [2]任学藻、廖旭，变质量柔绳问题研究，大学物理，2006年第25卷第2期。 2.18 通过查阅文献，形成对惯性系的进一步认识，写成小论文。

参考文献：

[1]高炳坤、李复，“惯性系”考，大学物理，2002年第21卷第4期。 [2]高炳坤、李复，“惯性系”考(续)，大学物理，2002年第21卷第5期。

16

习题三答案 习题三

3.1简要回答下列问题：

(1) 地球由西向东自转，它的自转角速度矢量指向什么方向？ 作图说明.

(2) 刚体的转动惯量与那些因素有关？“一个确定的刚体有确定的转动惯量”这句话对吗？ (3) 平行于z轴的力对z轴的力矩一定为零，垂直于z轴的力对z轴的力矩一定不为零.这种说法正确吗？

(4) 如果刚体转动的角速度很大，那么作用于其上的力是否一定很大？作用于其上的力矩是否一定很大？

(5) 两大小相同、质量相同的轮子，一个轮子的质量均匀分布，另一个轮子的质量主要集中在轮子边缘，两轮绕通过轮心且垂直于轮面的轴转动。问：(a)如果作用在它们上面的外力矩相同，哪个轮子转动的角速度较大？(b)如果它们的角加速度相同，哪个轮子受到的力矩大？(c)如果它们的角动量相等，哪个轮子转得快？

(6) 为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能

只与外力矩有关，而与内力矩无关？

(7) 下列物理量中，哪些与参考点的选择有关，哪些与参考点的选择无关：(a) 位矢；(b)位移；(c)速度；(d)动量；(e)角动量；(f)力；(g)力矩. (8) 做匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心并与圆平面垂直的轴上任一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？ (9) 一人坐在角速度为?0的转台上，手持一个旋转着的飞轮，其转轴垂直于地面，角速度为?'。如果忽然使飞轮的转轴倒转，将发生什么情况？设转台和人的转动惯量为I，飞轮的转动惯量为I'。

3.2质量为m长为l的均质杆，可以绕过B端且与杆垂直的水平轴转动。开始时，用手支住A端，使杆与地面水平放置，问在突然撒手的瞬时，(1)绕B点的力矩和角加速度各是多少？(2)杆的质心加速度是多少？

B A ?

习题3.1图

?m解：(1)绕B点的力矩M由重力产生，设杆的线密度为?，??，则绕B点的力矩为

lmgml1M?xdG?gxd?m?gx?dx mgl?0?0?02 17

杆绕B点的转动惯量为 I??m0xdm?MI?342?l0x?dx?213ml

2角加速度为 ?? (2)杆的质心加速度为 a?

l23g2lg

??3.3 如图所示，两物体1和2的质量分别为m1与m2，滑轮的转动惯量为I，半径为r。

⑴如物体2与桌面间的摩擦系数为?，求系统的加速度a及绳中的张力T1与T2(设绳子与滑轮间无相对滑动)；

⑵如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a及绳中的张力T1与T2。 T2 m2

T1 m1

习题3.2图

解：⑴先做受力分析，物体1受到重力m1g和绳的张力T1，对于滑轮，受到张力T1和T2，

对于物体2，在水平方向上受到摩擦力?m2g和张力T2，分别列出方程

m1g?T1?m1a [T1?m1?g?a?] T2??m2g?m2a [T2?m2?a??g?]

?T1?T2?r?M?I??Iar

通过上面三个方程，可分别解出三个未知量 a??m1??m2?gr2?m1?m2?r2?I?1???m2r2g?Ig，T1?m1?m1?m2?r2?I，T2?1???m1r2g??Ig?m2?m1?m2?r2?I

⑵ 在⑴的解答中，取??0即得

m1gr2a??m1?m2?r2?I， T1?m1m2rg?Ig2?m1?m2?r2?I，T2?m1m2rg2?m1?m2?r2?I。

3.4 电动机带动一个转动惯量为I=50kg·m2的系统作定轴转动。在0.5s内由静止开始最后达

18

到120r/min的转速。假定在这一过程中转速是均匀增加的，求电动机对转动系统施加的力矩。

解：由于转速是均匀增加的，所以角加速度?为

??120r/min?2?rad/r2????8?rad/s

?t0.5s?60s/min从而力矩为

M?I??50?8??1.257?10kgms32?2

3.5 一飞轮直径为0.30m，质量为5.00kg，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀的加速，经0.50s转速达到10r/s。假定飞轮可看作实心圆柱体，求：

⑴飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数； ⑵拉力及拉力所作的功；

⑶从拉动后t=10s时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。

解：⑴ 飞轮的角加速度为 ?? 转过的圈数为

n?12?10r/s?0.5s?2.5r 12mr， 所以，拉力的大小为 ?12mr??12?5?0.3?125.?7247N.1 ()2???t?10r/s??2rad/r?125.r7ad0.5s2/s

⑵ 飞轮的转动惯量为 I? F? 拉力做功为

Mr?I?r W?FS?F??n ⑶从拉动后t=10s时，轮角速度为

d?47.1?2.5?3.1?40?.3 1J ????t??125.?7 轮边缘上一点的速度为

v????r?1.25?7 轮边缘上一点的加速度为

1?0 1.?257ra1d0(s3/)31?00?.15m188s (/)?0.1?5 a??r?125.71m8.8s(。 /2)

3.6 飞轮的质量为60kg，直径为0.50m，转速为1000r/min，现要求在5s内使其制动，求制动力F。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。

0.5m0.75mF?Ad闸瓦?19

习题3.6图

解：设在飞轮接触点上所需要的压力为F?，则摩擦力为?F?，摩擦力的力矩为?F?制动过程中，摩擦力的力矩不变，而角动量由mvdd2，在有

2ddd ?F?t?m??

222变化到0，所以由

?Mdt?L?L0解得F??m?d2?t?785.4N。由杆的平衡条件得 F?0.51.25F??314.2N。

3.7 弹簧、定滑轮和物体的连接如图3.7所示，弹簧的劲度系数为2.0N m-1；定滑轮的转动惯量是0.5kg m2，半径为0.30m，问当6.0kg质量的物体落下0.40m时，它的速率为多大？

假设开始时物体静止而弹簧无伸长。

习题3.7图

解：当物体落下0.40m时，物体减少的势能转化为弹簧的势能、物体的动能和滑轮的动能， 即

mgh?12kh?212mv2?Iv2r22，

22 将m?6kg，g?9.8kgm/s，h?0.4m，I?0.5kgm，r?0.3m代入，得

v?2.01m/s

3.8 在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为m的人。圆盘的半径为R，转动惯量为J，角速度为?。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。 解：系统的角动量在整个过程中保持不变。 人在盘边时，角动量为 L?I???J?mR人走到盘心时角动量为 L?I????J?? 因此 ???2??

?J?mR??

2J人在盘边和在盘心时，系统动能分别为

W1?

12m?R22?12J?，W2?212J???21J?mR2J?2?2?

20

2

(2) 绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；

(3) 求x?0.2m处质点在t?1s时的位相，它是原点处质点在哪一时刻的位相？ 解(1)：由y?0.05cos?10?t?4?x?得到：

A?0.05，??10?，v?5Hz，T?0.2s，c?2.5ms?1，??cT?0.5m

(2) Vmax?A??0.05?10??1.57ms amax?A?2?0.05?100?2?1

?2?49.3ms

(3) ??10?t?4?x,将t?1s，x?0.2m代入，??9.2? 在原点处 x?0 ? 10?t?9.2? ? t?0.92s

6.16 一平面波在介质中以速度c?20ms?1沿x轴负方向传播，如题图6.16所示。已知P点

的振动表达式是yp?3cos4?t，式中y以米计，t以秒计。 (1) 以P点为坐标原点写出波动方程；

(2) 以距P点5m处的Q点为坐标原点写出波动方程。 c

Q 5m P X

题图6.16

解(1)：y(x,t)?3cos4??t???x?? 20???5???3cos?4?t??? 20?(2) Q点振动方程为：yQ?3cos4??t?波动方程为 y(x,t)?3cos?4??t??????x????? 20??

6.17 一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为0.08m?s图形曲线如题图6.17所示。

(1) 写出波动方程；

T时的波形图。 (2) 绘出t?18?1，波长为0.2m，t?0时的波形

Y(m)

0.04 x(m)

题图6.17

46

解：（1）由题意：A?0.04m，V?0.08ms? v?V?0.080.2?1，??0.2m，

??0.4Hz，??2?v?0.8?

令波动方程为 y?0.04cos?0.8??t??????????? 0.08??x将t?0时，x?0，y?0代入： 0?0.04cos? ? cos??0 ? ???由于 V?0 ? sin??0 ? ??????x?2

?2

因此 y?0.04cos?0.8??t?（2）t?1T时的波形图 80.04?????? 0.08?2?0.020.05-0.020.10.150.20.25-0.04 6.18 如题图6.18所示，已知t1?0时和t2?0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b)，

设波沿x轴正向传播，试根据图中绘出的条件求： (1) 波动方程； (2) P点的振动方程。

Y(cm) 4 (a) (b) P ?4 1 2 3 4 5 6 X(m) 题图6.18 解(1) 由图可知：A?4cm,??4m 设y?x,t??Acos???t?????x?????? c?? 47

c?10.5?2ms，??2?T?2???????c??2?42??

由y?0,0??0????2

x????t????? 2??2???y?x,t??0.04cos???（2）将x?3代入，得 y?t??0.04cos??t?

6.19 一平面余弦波，沿直径为0.14m的圆柱形管传播，波的强度为9.0?10?3J?m?2?s?1，

频率为300Hz，波速为300m?s?1，求： (1) 波的平均能量密度和最大能量密度； (2) 两个相邻的同相面之间的波段中波的能量。

解(1)：由 I?wc ? w??5Ic??39?10300?3?3?10?5Jm?3

wmax?2w?6?10Jm

(2) ??cv?300300?1m

?W?w?sl?3?10?5?0.14??7??????1?4.6?10J

?2?2

6.20 如题图6.20，A和B是两个同位相的波源，相距d?0.10m，同时以30Hz的频率发

出波动，波速为0.50m?s 。P点位于与AB成300角、与A相距4m处，求两波通过P点的位相差。

P

A 30 B 题图6.20 解：由三角形关系知: r2?而且 ??cv?0.530?160m

0?1r1?d22?2r1dcos?6?3.9137m

48

由????2??1?2?得到 ???2??

r1?r2?，其中 ?2??1?0

?10.36?

4?3.91371/606.21 如题图6.21所示，S1与S2为两相干波源，相距1?，且S1较S2位相超前0.5?，如4果两波在S1S2连线方向上的强度相同[均为I0]且不随距离变化，求： (1) S1S2连线上S1外侧各点处合成波的强度； (2) S1S2连线上S2外侧各点处合成波的强度。

S1 S2

题图6.21

解：由题意 S1S2??4， ?1??2??2

(1) P1在S1外侧时： ????2??1?2?r2?r1????2?2???/4????

即在S1外侧两振动反相 ? A?A1?A2?0 ? 合成波强度I?0 (2) P2在S2外侧时：

r2?r1????2??1?2?????2?2????/4??0

即在S2外侧两振动同相 ? A?A1?A2?2A1 ? I?4I0 所以，S2外侧各点波的强度是单一波源波的强度的4倍。

6.22 如题图6.22所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动方程为

y1?2?10?3cos2?t；C点发出的平面横波沿CP方向传播，它在C点的振动方程

?3为y2?2?10cos(2?t??)，本题中y以米计，t以秒计。设BP?0.4m、

CP?0.5m，波速c?0.2m?s?1，

(1) 求两波传到P点时的位相差；

（2）若在P点处相遇的两波的振动方向相同，求P处合振动的振幅； （3）若在P点处相遇的两波的振动方向相互垂直，再求P处合振动的振幅。

49

B

P

C

题图6.22

解(1)：由 ??Vv?2?V??0.2m

得到 ????C??B?2?rC?rB????2??0.10.2?0

即在P处两波同相位。

(2) 由于两波同相位，且振动方向相同

? A?A1?A2?4?10?3m

(3) 当???0，且两振动方向垂直时

A?A1?A2?222A1?2.83?10?3m

6.23 如题图6.23所示，三个同频率、振动方向相同[垂直纸面]的平面简谐波，在传播过程

中于P点相遇。若三个简谐波各自单独在S1、S2和S3的振动方程分别是

??t?1??，y2?Acos??t?，y1?Acos??t?1??， y1?Acos22 且S2P?4?，S1P?S3P?5?[?为波长]，求P点的振动方程[设传播过程中各波

的振幅不变]。

P S1 S2 S3

题图6.23

解：S1在P点的振动为：

??5??????????y1?Acos???t?????Acos??t?5?2????Acos??t????Asin?t

c?2?2?2?????S2在P点的振动为：

50

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