数值分析简明教程课后习题答案(第二版)

0.1算法

1、 （p.11，题1）用二分法求方程x3?x?1?0在[1,2]内的近似根，要求误差不

超过10-3.

【解】 由二分法的误差估计式|x*?xk|?2k?1b?a2k?1?12k?1???10?3，得到

?1000.两端取自然对数得k?3ln10ln2?1?8.96，因此取k?9，即至少需

二分9次.求解过程见下表。 k ak bk xk f(xk)符号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 1.5 + 2、（p.11，题2） 证明方程f(x)?ex?10x?2在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过?10?2。

21【解】 由于f(x)?e?10x?2，则f(x)在区间[0,1]上连续，且

01f(0)?e?10?0?2??1?0，f(1)?e?10?1?2?e?8?0，即f(0)?f(1)?0，由连续函数的介值定理知，f(x)在区间[0,1]上至少有一个零点.

x又f'(x)?ex?10?0，即f(x)在区间[0,1]上是单调的，故f(x)在区间[0,1]内有唯一实根.

由二分法的误差估计式|x*?xk|?两端取自然对数得k?2ln10ln2b?a2k?1?12k?1???12?10?2，得到2k?100.

?2?3.3219?6.6438，因此取k?7，即至少需二分

7次.求解过程见下表。 k ak bk xk f(xk)符号 0 1

0 1 0.5

2 3 4 5 6 7 0.2误差

1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值x1?2.7，x2?2.71，x2=2.71，x3?2.718各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：

因为|e?x1|?0.01828??0.05?因为|e?x2|?0.00828??0.05?1212?10?1012?1，所以x1?2.7有两位有效数字； ，所以x2?2.71亦有两位有效数字；

?3?1因为|e?x3|?0.00028??0.0005??10，所以x3?2.718有四位有效数字；

?r1?|e?x1|x1|e?x2|x2|e?x3|x3?0.052.70.052.71?1.85%；

?r2???1.85%；

?r3??0.00052.718?0.0184%。

评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；

（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.

2．（p.12，题9）设x1?2.72，x2?2.71828，x3?0.0718均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。

【解】 ?1?0.005，?r1??1x1?0.0052.72?1.84?10?3；

?2?0.000005，?r2??2x2??0.0000052.71828?1.84?10?6；

?3?0.00005，?r3??3x30.000050.0718?6.96?10?4；

评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.

3．（p.12，题10）已知x1?1.42，x2??0.0184，x3?184?10?4的绝对误差限均为

0.5?10?2，问它们各有几位有效数字？

【解】 由绝对误差限均为0.5?10?2知有效数字应从小数点后两位算起，故x1?1.42，有

三位；x2??0.0184有一位；而x3?184?10?4?0.0184，也是有一位。

1.1泰勒插值和拉格朗日插值

1、（p.54，习题1）求作f(x)?sinx在节点x0?0的5次泰勒插值多项式p5(x)，并计算

p5(0.3367)和估计插值误差，最后将p5(0.5)有效数值与精确解进行比较。

【解】由f(x)?sinx，求得ff(4)(1)(x)?cosx；f(6)(2)(x)??sinx；f(3)(x)??cosx；

(5)(x)?sinx；f(5)(x)?cosx；f(1)(x)??sinx，所以

p5(x) ?f(x0)?f

?f(0)?f?x?13!3(x0)(x?x0)?f(2)f(2)(x0)2!x???2(x?x0)???f(5)2f(x0)5!(x?x0)

5(1)(0)x?15!x

5(0)(0)2!5!x

5x?(6)插值误差：R5(x)?|f(?)|6!(x?x0)?0.33673!36|sin(?)|6!0.33675!?65(x?x0)?616!6x，若x?0.5，则

p5(0.3367)?0.3367???0.3303742887?5，而

6!故取p5(0.3367)?0.33037，与精确值f(0.3367)?sin(0.3367)?0.330374191?相比

R5(0.3367)?0.33676?2.02?10?0.5?10，精度到小数点后5位，

较，在插值误差的精度内完全吻合！

2、（p.55，题12）给定节点x0??1,x1?1,x2?3,x3?4，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：

（1）f(x)?4x?3x?2； （2）f(x)?x?2x

f(4)433【解】依题意，n?3，拉格朗日余项公式为 R3(x)?（1）f(4)(?)34!?(x?xi?0i)

(x)?0 → R3(x)?0；

（2）因为f(4)(x)?4!，所以

(4)R3(x)?f(?)4!(x?1)(x?1)(x?3)(x?4)?(x?1)(x?1)(x?3)(x?4)

3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算sin(0.3367)的近似值并估计误差。

i 0 0.32 0.314567 1 0.34 0.333487 (4)2 0.36 0.352274 3xi sin(xi)

【解】依题意，n?3，拉格朗日余项公式为 R3(x)?（1） 线性插值

因为x?0.3367在节点x0和x1之间，先估计误差

f''(?)2!0.0122f(?)4!?(x?xi?0i)

R1(x)?(x?x0)(x?x1)?sin(?)2(x?x0)(x1?x)?max(x?x0)(x1?x)2

??12?10；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。

4y(x1-x0)2/4y=(x-x0)(x-x1)0P1(x) ?x?x1x0?x110.0210.02x0sin(x1)?x11x1?x0x

sin(x0)?x?x0x1?x0?(x?x0)sin(x1)?(x1?x)sin(x0)?

P1(x) ??(0.3367?0.0167?0.32)sin(0.34)?(0.34?0.3367)sin(0.32)? ?sin(0.34)?0.0033?sin(0.32)?

?

?0.3304

（2） 抛物线插值 插值误差：

?R2(x)

f'''(?)3!(x?x0)(x?x1)(x?x2)??cos(?)63(x?x0)(x1?x)(x?x2)

?max(x?x0)(x1?x)(x2?x)6?3?0.016?12?10?6

yy=(x-x0)(x-x1)(x-x2)Max=3(x1-x0)3/80抛物线插值公式为： P2(x)

(x?x1)(x?x2)(x0?x1)(x0?x2)10.022x0x1x2x

?sin(x0)?(x?x0)(x?x2)(x1?x0)(x1?x2)sin(x1)?(x?x1)(x?x0)(x2?x1)(x2?x0)sin(x2)

?(x1?x)(x?x0)?(x1?x)(x2?x)?sin(x)?(x?x)(x?x)sin(x)?sin(x)00212??22??P2(0.3367) 10?52?0.0210?5?3.8445?3.8445?sin(0.32)?38.911?sin(0.34)?2.7555?sin(0.36)?

?0.022?sin(0.32)?38.911?sin(0.34)?2.7555?sin(0.36)? ?0.33037439?

经四舍五入后得：P2(0.3367)?0.330374，与sin(0.3367)?0.330374191较，在插值误差范围内完全吻合！

?精确值相比

1.3分段插值与样条函数

?x3?x21、（p.56，习题33）设分段多项式 S(x)??32?2x?bx?cx?10?x?11?x?2

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