2024年湖南省高中数学竞赛真题及答案解析(A卷)word

2014年湖南高中数学竞赛试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1.设M?{a|a?x2?y2,x,y?Z}，则 ( ) A．9?M,10?M B．9?M,10?M C．9?M,10?M D． 9?M,10?M

?2?m?n?4,?0?m?1,m,nq条件：实数满足?则 ( )

0?mn?3;2?n?3.?? A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件

C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件又不是q的必要条件 3. 若{an}是等差数列，若a1?0,a2013?a?0，则使前n项和Sn?0成立的最大2014?0,a2013?a2014自然数n是 ( ) A．4025 B．4026 C．4027 D．4028

1?31?34. 给定平面向量a?(1,1)，平面向量b?(,)是向量a经过 ( )

22 A．顺时针旋转60所得 B．顺时针旋转120所得 C．逆时针旋转60所得 D．逆时针旋转120所得

5. 在如图所示的三棱柱中，点A、BB1的中点M及B1C1的中点N所决定的平面

2. 设条件p：实数m,n满足?把三棱柱割成体积不同的两部分，则较小部分与原三棱柱的体积之比为 ( )

23131312 B． C． D． 36362323*6. 已知圆C:x2?y2?r2，两点P、P在以O为起点的射线上，并且满足|OP|?|OP*|?r2，则称P、P*关于圆对称，那么双曲线x2?y2?1上的点P(x,y)关于圆C:x2?y2?1的对称点P*所满

A．

足的方程是 ( ) A．x?y?x?y B．x?y?(x?y) C．x?y?2(x?y) D．x?y?2(x?y)

二、填空题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）

7.已知f(x)?x2?53x?196?|x2?53x?196|，则f(20)?f(14)?________________. 8.已知0?x?224422222224422222?2,sinx?cosx??4,若tanx?1a可以表示成的形式(a,b,c为正整数)，则tanxb??ca?b?c?_______________.

9.不等式|x|3?2x2?4|x|?3?0的解集是__________________.

10.已知一无穷等差数列中有3项（顺序排列单不一定相连）：13,25,41.则可以判断得出2013_________(填“是”、“不是”或“不能确定”)数列中的一项.

11.随机摸选一个三位数I，则I含有因子5的概率为_______________.

?x?y?0?22212.已知实数x,y满足?x?y?5?0.若不等式a(x?y)?(x?y)恒成立，则实数a的最大值是

?y?3?0?_____________.

三、解答题（本大题共4小题，共72分）

*13.（本小题满分16分）已知O为?ABC的内部一点，?BAO??CAO??CBO??ACO，试研究?ABC的三边满足的关系，并证明你的结论.

14.（本小题满分16分）某旅游区每年各月份接待的人数近似的满足周期性规律，即第n个月从事旅游服务工作的人数f(n)可近似地用函数f(n)?100[Acos(?n??)?k]来刻画，其中正整数n表

*示月份且n?N.例如n?1表示1月份，A和k是正整数，??0,??(0,?2).统计发现，该地区每

年各月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：

①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；

②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；

③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多. （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的f(n)的表达式；

（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.

15.（本小题满分20分）若实数x0满足f(x0)?x0，则称x?x0为函数f(x)的一个不动点.已知

f(x)?x3?ax2?bx?3（其中a,b为常数）有互异的两个极值点x1和x2.试判断是否存在实数组(a,b)，使得x1和x2皆为不动点，并证明你的结论.

16.（本小题满分20分）已知数列{xn}满足xn?2?2xn?1?xn,x，数列{yn}满足1?2,x2?6，求证：存在正整数n0，使得对任意n?n0都有xn?yn. yn?2?yn?1?2yn,y1?3,y2?9

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