复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)第四章课后的习题答案

??(?1)0n?1z?nnzdz??(?1)nzn?n-1n?1?z1?z

所以

z1nn-1?(?1)?nz?()?,z?1?21?z(1?z)n?1

于是有：

??(?1)n?1?n?1?nz??z?(?1)n?nzn?1??nn?1?z(1?z)2z?1

(2) 令：

z2ns(z)??(?1)?(2n)! n?0?n?limn??Cn?11?lim?0.n?? Cn(2n?1)(2n?2)故R=∞, 由逐项求导性质

z2n?1s?(z)??(?1)?(2n?1)! n?1?ns??(z)??(?1)n?n?1???z2n?2z2mz2n由此得到??(?1)m+1?(m?n?1)???(?1)n?(2n?2)!m?0(2m)!(2n)!n?0s??(z)??s(z)

即有微分方程s??(z)?s(z)?0

故有：s(z)?Acosz?Bsinz， A, B待定。

z2n由S(0)?A?[?(?1)?]z?0?1?A?1

(2n)!n?0?nz2n?1s?(0)??sinz?Bcosz?[?(?1)?]z?0?0?B?0

(2n?1)!n?1?n所以

z2n(?1)??cosz.R????(2n)!n?0

?n11.设级数?Cn收敛，而?Cn发散，证明?Cnzn的收敛半径为1

n?0n?0n?0???证明：因为级数设

?Cn?0?n收敛

Cn?1Zn?1lim??z.nn??CnZ

若

?Cznn?0?n的收敛半径为1

则z?1?

??1

C现用反证法证明

?limn?1???10???1z?1若则，有n??Cn，即?Cn收敛，与条件矛盾。

n?0若

??1则z?1，从而?Cnz在单位圆上等于?Cn，是收敛的，这与收敛半径的概念

nn?0n?0??矛盾。

综上述可知，必有

??1，所以

R?1??1

?n12.若?Cznn?0在z0点处发散，证明级数对于所有满足z?z0点z都发散.

?nCzz?z?n0时，证明：不妨设当1在z1处收敛

n?0则对?z?z1点z0处收敛

，n?0?Czn?n绝对收敛，则n?0?Czn?n在

所以矛盾,从而?Cznn?0?n在z?z0处发散.

?zz?0点处展开为泰勒级数,(到z4项),并指出其收敛半

13.用直接法将函数ln(1?e)在

径.

1?ez解:因为ln(1?e)?ln(z)e

?z奇点为zk?(2k?1)πi(k?0,?1,...)

所以R?π 又

ln(1?e?z)?zz?0?ln2

z?0e?z[ln(1?e)]???1?e?z?z1??

2e?z[ln(1?e)]????(1?e?z)2?e?z?e?2z[ln(1?e)]????(1?e?z)3?zz?0??1 22z?0?0

123

[ln(1?e)]?z(4)e?z(1?4e?z?e?2z)?(1?e?z)4z?0??于是，有展开式

11214z?z?z?...,R?π2322!24!2

14z?1?2(z?1)14.用直接法将函数1?z2在点处展开为泰勒级数,(到项)

1z??i解：为1?z2的奇点，所以收敛半径R?2 ln(1?e?z)?ln2?又

f(z)?11,f(1)?1?z22 ?2z1?,f(1)??(1?z2)22

f?(z)??2?6z21??f??(z)?,f(1)?(1?z2)32 24z?24z3f???(z)?,f???(1)?0 24(1?z)f(4)24?240z2?120z4(4)(z)?,f(1)?0

(1?z2)5z?1处的泰勒级数为

于是，f(z)在

111132??(z?1)?(z?1)?(z?1)4?...,R?221?z2244! 15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其收敛性.

1z?0和z?1处

(1) 2z?3分别在

3sinz在z?0处 (2)

(3)

arctanz在z?0处

zz?2处

(4) (z?1)(z?2)在

(5) ln(1?z)在解 （1）

11111?2n3?????????(z),z? 2z?33?2z31?2z3n?0323?11111???????2n(z?1)n,z?1? 2z?32z?2?12(z?1)?11?2(z?1)2n?0z?0处

(?1)n2n?1z3z5?z???... (2) sinz??(2n?1)!z3!5!n?0?3?32n?12n?1nsinz??(?1)?z,z??

4n?0(2n?1)!31dz01?z2(3)

?z??i为奇点，?R?1?arctanz??z?z?11n2narctanz??dz???(?1)zdz??(?1)n??z2n?1,z?1 01?z202n?1n?0n?0z(4)

111111111????????(z?1)(z?2)z?1z?2z?2?3z?2?431?z?241?z?234

??1z?2n1z?2n??(?1)n?()??(?1)n?()3n?034n?04?11??(?1)n?(n?1?n?1)(z?2)n,z?2?334n?0(5)因为从z??1沿负实轴ln(1?z)不解析 所以,收敛半径为R=1

?1[ln(1?z)]????(?1)n?zn

1?zn?0ln(1?z)??

z?0?(?1)n?0n1?zdz??(?1)n??zn?1,z?1nn?0

n?16.为什么区域z?R内解析且在区间(?R,R)取实数值的函数f(z)展开成z的幂级数时，展开式的系数都是实数？

答：因为当z取实数值时，f(z)与f(x)的泰勒级数展开式是完全一致的，而在x?R内，

f(x)的展开式系数都是实数。所以在z?R内，f(z)的幂级数展开式的系数是实数. 2z?1f(z)?z?0为中心的各个圆环域内的罗朗级数. 17.求z2?z?2的以

z?0为中心的圆环域,其罗朗级数.分别解:函数f(z)有奇点z1?1与z2??2,有三个以

为：

在z?1内，f(z)??2z?1111?zn=???z?(?1)n()n??2z?z?2z?1z?22n?02n?0

??((?1)n?n?0?1?1)zn2n?111?z19.在1?z???内将f(z)?e展开成罗朗级数.

t?解:令

1,1?z则

1213?t??t?... 2!3!f(z)?et?1?t?t?而

11?z???内展开式为 在1?z1?11111?????(1??2?...) 1?zz1?1zzzz所以,代入可得

1111111f(z)?1??(1??2?...)??(1??2?...)2?...zzz2!zzz

111119?1??2?3???...z2z6z24z4120z520.有人做下列运算,并根据运算做出如下结果

z?z?z2?z3?... 1?z

习题四

1. 复级数?an与?bn都发散,则级数?(an?bn)和

n?1n?1n?1????ab发散.这个命题是否成立?为什

?nnn?1么?

答.不一定．反例: ???11?11an???i2,?bn????i2发散 ?nn?1nnn?1n?1nn?1但?(an?bn)??i?n?1n?1????2收敛

n22发散

(a?b)???nnn?1n?1n??11anbn??[?(2?4)]收敛. ?nnn?1n?12.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?

??n1?i2n?11?5in) (3) ?e (1)? (2)?(n2nn?1n?1n?1iπ??incosin(4) ? (5) ?n

2n?1lnnn?0?1?i2n?1?1?(?1)n?i?1(?1)n??????i 解 (1) ?nnnnn?1n?1n?1??11?i2n?1因为?发散,所以?发散

nn?1nn?1??1?5i26n?()发散 (2)??22n?1n?1?n1?5in15nlim()?lim(?i)?0 又因为n??n??2221?5i()发散 所以?2n?1??e1??发散,又因为nn?1nπin?n(3)

?n?1e???nn?1n?1?iπn?cosππ?isin?1ππnn?(cos?isin)收敛,所?nnnnn?1以不绝对收敛.

(4)

?n?1??in1?? lnnn?1lnn11?因为 lnnn?1所以级数不绝对收敛. 又因为当n=2k时, 级数化为

(?1)kln2k?k?1?收敛

k?当n=2k+1时, 级数化为?(?1)也收敛

k?1ln(2k?1)所以原级数条件收敛

cosin?1en?e?n1?en1?1n??()??() (5) ?n??n?222n?022n?02en?0n?02?1ne其中?()n 发散,?()收敛

n?02en?02??所以原级数发散.

?3.证明:若Re(an)?0,且?an和?an2收敛,则级数?an2绝对收敛.

??n?1n?1n?1证明:设

222an?xn?iyn,an?(xn?iyn)2?xn?yn?2xnyni

因为

?an和?an2收敛

n?1n?1??所以?xn,?yn,?(xn?yn),?xnyn收敛

2n?1n?1n?1n?1????又因为Re(an)?0,

xn?limxn?0 所以xn?0且limn??n??当n充分大时, xn?xn

22所以

2?xn?1?2n收敛

22222an?xn?yn?2xn?(xn?yn)

而

?2xn?1?2n收敛，

?(xn?1?2n2?yn)收敛

所以

?an?1?2n收敛，从而级数

?an?1?2n绝对收敛.

4.讨论级数?(zn?1?zn)的敛散性

n?0?k?1kn?1时,sn??1 解 因为部分和sn??(z?z)?z?1，所以，当z?1k?0n当z?1时,sn?0，当z??1时,sn不存在.

i?当z?e而??0时（即z?1,z?1），cosnθ和sinnθ都没有极限,所以也不收敛．

当z>1时,sn??.

故当z?1和z?1时,

??(zn?0?n?1?zn)收敛.

5.幂级数

?C(z?2)nn?0n能否在z=0处收敛而在z=3处发散.

解： 设limn??Cn?111??，则当z?2?时，级数收敛，z?2?时发散. Cn??若在z=0处收敛,则

1??2

若在z=3处发散, 则

1??1

?显然矛盾,所以幂级数

?C(z?2)nn?0n不能在z=0处收敛而在z=3处发散

6.下列说法是否正确?为什么?

(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.

(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.

答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散. (2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的. 7.若?Cnz的收敛半径为R,求?nn?0?Cnnz的收敛半径。 nbn?0?Cn?1Cn?1111bn?1lim?lim??解： 因为n?? Cnn??CbRbnnb所以 R??R?b 8.证明：若幂级数

?aznn?0?n的 系数满足limn??nan??，则

1(1)当0?????时, R?

?(2) 当??0时, R??? (3) 当????时, R?0 证明：考虑正项级数

?aznn?0?n?a1z?a2z2?...?anzn?...

nnazn?limna?nz???z，若0?????，由正项级数的根值判别法知，当由于limnnn??n????z?1时，即z?1?时，?anzn收敛。当??z?1时，即z?n?0?1?时，anzn不能趋

2nazn?1于零,lim级数发散.故收敛半径R?1nn???.

当??0时, ??z?1,级数收敛且R???.

n若????,对?z?0,当充分大时,必有anz不能趋于零,级数发散.且R?0

2

9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。

n(1)?(z?pi) n?0n? (2)

n?0

?n?12n?1?z2n?1(3) ?(?i)?2nn?0

?n?p?zninn(n?1)((4) ?)?(z?1)n?0n

解: (１)

?limn??1(n?1)pnp1p1?lim()?lim(1?)?1n??npn??n?1n?1?R?1z?i?1

收敛圆周

(2)

(n?1)plim?1pn??nR?1所以收敛圆周

z?1

n?1f(z)?(?i)?(3) 记 n2n?12n?1?z n22n?1由比值法,有

(2n?1)?2n?zfn?1(z)12lim?lim?z2n?1n??n??fn(z)2(2n?1)?22n?1?z

要级数收敛,则

z?2 级数绝对收敛,收敛半径为

R?2

所以收敛圆周

z?2 inf(z)?()?(z?1)n(n?1)(4) 记 nn

limnfn(z)?limnn??n??z?1(z?1)n(n?1)?limn??nnnn?1???,??????若????1若????1

所以

z?1?1时绝对收敛,收敛半径R?1

z?1?1

收敛圆周

10.求下列级数的和函数. 【(1)

n?1解: (1)

?(?1)?n?1z2n?nz (2)?(?1)?(2n)! n?0n?nlimn??Cn?1n?1?lim?1n??nCn

故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：

z11?1??2?... z?1zzzz??0,所以有结果

因为1?zz?1...?111?2??1?1?z?z2?z3?...?0 3zzz你认为正确吗?为什么?

z23?z?z?z?...要求z?1

答:不正确,因为1?zz11?1???...要求z?1

而1?zzz2所以,在不同区域内 zz111??...?6?2??1?1?z?z2?z3?...?0 1?zz?1zzz1f(z)?cos(z?)21.证明: z用z的幂表示的罗朗级数展开式中的系数为 Cn?12πcos(2cos?)cosn?d?.n?0,?1,... ?02π11cos(z?)cos(z?)z?0z??0?z??证明:因为和是内，z的奇点，所以在z的罗朗级

数为

n??1cos(z?)??Cnznzn???

其中Cn?1c2πi?1cos(??)??n?1d?,n?0,?1,?2,...

其中C为0?z??内任一条绕原点的简单曲线.

1cos(z?)1zdz,(z?ei?,0???2π)Cn?n?1??2πiz?1z12πcos(ei??e?i?)i?12πcos(ei??e?i?)?ied??d?2πi?0ei(n?1)?2π?0ein?12πi??i? ?cos(e?e)?(cosn??isinn?)d??02π12π?cos(2cos?)cosn?d?.n?0,?1,...2π?01z?0f(z)?22. 是函数cos(1z)的孤立奇点吗?为什么? 1z?0f(z)?解: 因为的奇点有 1cos(z)1π1?kπ??z?(k?0,?1,?2,...)

πz2kπ?2z?0的任意去心邻域，总包括奇点z?所以在

1π，当

kπ?2k??时，z=0。

z?0不是从而

1cos(1z)的孤立奇点.

33623. 用级数展开法指出函数6sinz?z(z?6)在z?0处零点的级.

解：

f(z)?6sinz3?z3(z6?6)?6sinz3?z9?6z311

?6(z3?z9?z15?...)?z9?6z33!5!故z=0为f(z)的15级零点

24. 判断z?0是否为下列函数的孤立奇点，并确定奇点的类型：

1/z⑴ e； ⑵

1?cosz z2解: 因为

1zz?0是e的孤立奇点

1z111e?1???...??...2nz2!zn!z

1z所以

z?0是e的本性奇点.

(2)因为

1?cosz?2z1?1?1214z?z?...1122!4!??z?... 2z2!4!z?0是

所以

1?coszz2的可去奇点.

25. 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出其点：

⑴

11sinz ⑵ ⑶

sinz2z3z2(ez?1)sinz?解: (1)z3所以

z?1315z?z?...11123!5!???z?... 32zz3!5!z?0是奇点,是二级极点.

解: (2)

z?2kπi(k?0,?1,...)

z?0是奇点,2kπi是一级极点,0是二级极点.

解: (3)

z?0sinz2

z?0?0,?cosz2?2z?0.??4z2?sinz2?2cosz2?2?0的二级零点

(sinz2)?(sinz2)??z?0z?0z?0是sinz222sinzsinzz??kπiz??kπ而是是的一级零点, 的一级零点

所以

z?0是

11?kπi,?kπ是sinz2的一级极点. sinz2的二级极点,

1/z226. 判定z??下列各函数的什么奇点？

⑴ e ⑵ cosz?sinz ⑶

1z解: (1)当z??时, e?1

22z 3?z21z所以, z??是e的可去奇点.

2

(2)因为

cosz?sinz?1?121411z?z?...?z?z3?z5?...2!4!3!5!

12131415?1?z?z?z?z?z?...2!3!4!5!所以, z??是cosz?sinz的本性奇点.

(3) 当z??时,

2z?0 3?z2所以, z??是

2z3?z2的可去奇点.

1在z?1处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式： 2z(z?1)27. 函数f(z)?

1111?????, z?1?1.

z(z?1)2(z?1)5(z?1)4(z?1)3我们得到“z?1又是f(z)的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么?

解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在0?z?1?1内得到的

在0?z?1?1内的罗朗展开式为

111111??????1?(z?1)?(z?1)2?... 222z(z?1)zz?1(z?1)(z?1)z?128.如果C为正向圆周z?3，求积分

??Cf(z)dz的值

z1f(z)?f(z)?(1)(z?1)(z?2) z(z?2) (2)

解：（1）先将展开为罗朗级数，得

1111?[?]z(z?2)2zz(1?2)z

1248?(2?3?4?...),2?z???2zzz而z =3在2?z???内，C?1?0,故

??Cf(z)dz?2πi?C?1?0

z(2)(z?1)(z?2)在2?z???内处处解析，罗朗展开式为

z1111?z[?]??(z?1)(z?2)z?1z?21?11?2zz

137??2?3?...,2?z???zzz而z=3在2?z???内，C?1?1,故

??

Cf(z)dz?2πi?C?1?2πi

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