量子力学习题解答第八章

??????222???[JZ?(S?r)]?JZ?(S?r)?(S?r)?JZ????????2????JZ(S?r)?(S?r)JZ(S?r)?(S?r)JZ（7） ??(S?r?)?[J???(S?r?)2J?Z?????Z,(S?r)](S?r)?(S?r)[J???Z,(S?r最后一式说明，?[J?r?)2?Z,(S?]归结为较简单的[J??Z,(S?r)]的运算

[J???r?Z,(S)]?[Lz?Sz,Sx(x1?x2)?Sy(y1?y2)?Sz(z1?z2)] ?[L?z,x1?x2]S?x?[Lz,y1?y2]S?y

?[Lz,z1?z2]S?z?[S?z,S?x](x1?x2)?[S?z,S?y](x1?x2)再注意到： [L?

z,x1?x2]?[l?1z?l?2z,x1?x2]?[l?

1z,x1]?[l?2z,x2] 运用两个业已证明过的对易式（第四章）

[l??,x??]??????ix? [S??,S??]??i????S??

[J?,(S??r?z)]?[l?1z,x1]S?x?[l?2z,x2]S?x?[l?1z,y1]S?y?[l?2z,y2]Sy?[S?z,S?x](x1?x2)?[S?z,S?y](y1?y2)??i(y1?y2)S?x??i(x1?x2)S?y??i(x1?x2)S?y??i(y1?y2)S?x?0将此结果代入（7）式，得到

?[J??2z,(S?r)]?0

所以最终得到：

[J?z,H?]?0 （J?z是守恒量 ） （d）总角动量平方J?2 ： 前一步骤出发，再计算J?2??z 与(S?r)的对易关系

[J?2??z,(S?r)]?J?2????z(S?r)?(S?r)J?2 ?J?2?z?z(S?r)?J???z(S?r)J?z?J?(S??r?z)J???z?(S?r)J?2 ?J?z[J???z??z,(S?r)]?[J?z,(S?r)]J?z (8) 9） （10）

（ 现在将（8）代入（10），立即又有

??2?[Jz,(S?r)]?0

???,(S?r我们在（c）一小题中计算[J)]时全部用了直角座标，因此座标 z?x1（10）式也是如此，因而应该也有下式： y1z1,x2y2z2?有轮换的对称，

????22?? [Jx,(S?r)]?0, [Jy,(S?r)]?0 (11)

将（10）和（11）的两式相加，得

????2222???? [Jx?Jy?Jz,(S?r)]?[J,(S?r)]?0 (12) 从而也得到交换式

?2是守恒量 ） ?2,H?]?0 （J [J????2? （e）L,S这两算符不能是守恒量，因为它们不和(S?r)对易。

（2）最后证明，在双电子体系的单态中，张量力等于零。

设第一电子的态用?(1),?(1)表示，第二电子用?(2),?(2)表示，在单态的情形，体系总自旋的本征值S=0，自旋波函数是反对称的，写作 ??{?(1)?(2)??(1)?(2)}/2 (13)

在此态中求张量力势能算符的平均值V，这计算式只有一项

??6(S?r)r2 V??*{VT(r)[将此式分别计算

?2]}? (14) ?2S??1?*(S?r)??{?(1)?(2)??(1)?(2)}{(x1?x2)(?1x??2?(z1?z2)(?1z??2z2x)?(y1?y2)(?1y??2y))}??2

?{?(1)?(2)??(1)??(2)}?1x,??1y,??1z等只能运算与，?(1),?(1)；??2x..........而运算于 在以上运算式中，??(2),?(2)，再注意到

?x???,??x???;??y??i?,??y???i?;??z???,??z?????

前式成为：

?4{?(1)?(2)??(1)?(2)}{(x1?x2)[?(1)?(2)??(1)?(2)??(1)?(2)??(1)?(2)]?(y1?y2)[?(1)?(2)i??(1)?(2)i??(1)?(2)i??(1)?(2)i]?(z1?z2)[?(1)?(2)??(1)?(2)??(1)?(2)??(1)?(2)]}?0

又 ?*S2???*S(S?1)???*?0(0?1)??0 （S 是总自旋量子数）

将以上两部分计算结果代入（14），知道V?0。

[8] 自旋为s的两个粒子所具有的，对称和反对称的自旋波函数各有几个？s?12,s?32情况下，对称和反对称自旋态各有几个？

[解] 自旋为s指的是自旋角量子数是s（它和轨道运动中的l相当），在轨道运动中，角量子数给定后（l）,角动量z分量的本征值m?有2l+1种不同值： m???l?,?(l?1)?,.....?.?..,0,?......l.?..1()?,l?

推广到自旋的情形若自旋自旋角量子数（不一定是1/2，例如原子核的自旋）则自旋磁量子数有2s+1种值

ms??s?,....s.?. .但s可以是整数，也可以是半整数。

自旋的不同态用ms来区别，第一电子的自旋波记作xms(sz1)或xms(1)，第二电子的自旋波函数记作?m?s(sz2)或?m?s(2)

是（?s,?s?1,.........s?1,s） ms,m? s中任意两个。

描写两电子体系的波函数是个别电子波函数的相乘积或其线性式，根据§8.4的理论，

?2,S?的本征态，?只有三种形式的归一化波函数： 要使体系的波函数?成为总自旋SZ（1） ???ms(1)?ms(2) 计算2s+1种 （2） ??12[?ms(1)?m?s(2)??ms(2)?m?s(1)]

(2s?1)2s2这种波函数种数等于2s+1文字中选择不同文字的种数计有 以上二类对称自旋波函数的总数目

n=

种。

(3) ??12[?ms(1)?m?s(2)??ms(2)?m?s(1)]

(2s?1)2s2这种波函数还是反对称的，波函数总数目和（2）相同，计有s指定时，可能的合成自旋波函数的总数目有：

n?2s?1?(2s?1)s?(2s?1)?(2s?1)

2种。自旋角量子数

[9]证明，[?,??a]?2ia??，a是与?对易的矢量算符。

（证明） 待证一式是矢量的对易式，应当分别对它的x,y,z 分量进行计算：

?????[?,a??]?2ia??的x分量式：

??????? [?x,ax?用矩阵式来证明： [?x,ax??ay?x?ay?y?y??z?a?z??y) ?az?z]?2i(axy?0?az?z]????11??az??0????ax?iay??ax?iay??azax?iay??az????az????ax?iayax?iay??0???az??1??1??0???ax?iay????az?2iay????2az??ax?iay???ax?iay?????azazi???ay???az?2az??ay??2i???2iay????azi0??0??az???1????i

??1??2i?ay???0??i??????y??z?a?z??y}?2i(a??)x???2i{a0?????y,??z也照此方式计算，因??x??y??z无轮换对称，应分别计算其结果。 关于a 另一种证明方式是用矢量式矩阵：

??k???????i?ij???i?ij??? ?k????azax?iay??azax?iay???i?ij????????????[?,a??]?????????i?ij???az??az??k????ax?iay??i???ax?iay????????(i?ij)(a?x?ia?y)?(i?ij)(a?x?ia?y)???x2k(ax?iay)?2(i?ij)a???????????????x?2(i?ij)ax?2k(ax?iay)(i?ij)(ax?iay)?(i?ij)(a????????ayi?axj(azj?ayk)?i(axk?azi)???2i?????????(aj?ak)?i(ak?ai)??ayi?axjyxz?z?????[(ay?z?az?y)i?(az?x?ax?z)j?(ax?y?ay?x)k]2i???2i(a??)?k?k??ij???y)?ia??i?i??k?j???? [10]证明：（1）e?j?i??jSin? （ j?x,y,z） ?Cos??i??Cos??i????Sin?

（2） e????i??其中 ??? ???

???

?矢量与σ对易, θ表示θ方向的单位矢量。

（证）

? ?2j??1 (j=x,y,z)

?0?2?4???????1 (1) ?jjj5?j???3??j ?????? ?jjn（1）

e?j?i???n?j?)(i?n！｛1??22!??44!??｝I??i{???33!??55!???}?j

?jsin??cos??i?（2） e???i?????n(i???)n!??n

??z?x?x???y?y???z?z?? ???????x?i?y??x?i?y???z? ?

?z?2(???)?????x?1i?y

?x?i?y????z???????x?1i?y?z?x?i?y???z??x2??y2??z2?????0??0?2x??2y????2??z??2?I

第八章：自旋

[1]在??x表象中，求??x的本征态

（解） 设泡利算符?2，?x，的共同本征函数组是： x1?sz? 和x2?12?sz? （1）

或者简单地记作?和?，因为这两个波函数并不是??x的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），??x的本征函数可表示：

??c1??c2? (2)

c1,c2待定常数，又设??x的本征值?，则??x的本征方程式是：

?x???? (3) ?将（2）代入（3）：

?x?c1??c2?????c1??c2?? (4) ?根据本章问题6（P．264），??x对??z表象基矢的运算法则是：

?x??? ?x??? ??此外又假设??x的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： c1??c1???c1???c2?

比较?,?的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：

?c1??c2????????????(6a)? ?c2??c1????????????(6b)

?c2?c2?1????????????(6c)2?12前二式得??1，即??1，或???1

当时??1，代入（6a）得c1?c2,再代入(6c)，得： c1?12e c2?i?12ei?

? 是任意的相位因子。

当时???1，代入（6a）得

c1??c2

代入(6c)，得：

c1?12i?e c2??12ei?

最后得??x的本征函数：

ei?x1?2ei?(???) 对应本征值1

x2?2(???) 对应本征值-1

?x??2共同表象中，采用sz作自变量时，既是坐标表以上是利用寻常的波函数表示法，但在?象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ?c1??1??0? ???? ???? ???? （7）

?0??1??c2?

??x的矩阵已证明是

?0? ?x???11?? 0?因此??x的矩阵式本征方程式是： ?0 ??01??c1??c1????? （8） ???1??c2??c2?其余步骤与坐标表象的方法相同，??x本征矢的矩阵形式是： x1?ei?i??1?e?1??? x2??? 2?1?2??1?

[2]在?z表象中，求??n的本征态，n(sin方向的单位矢。

??????cos?,sin?sin?,cos?)是(?,?) （解） 方法类似前题，设??n算符的本征矢是：

x?c1??c2? (1)

它的本征值是?。又将题给的算符展开：

?x?sin?sin???y?cos?z (2) ???? ??n?sin?cos??写出本征方程式：

?sin?cos???x?y?cos???z??c1??c2?????c1??c2?? (3) ?sin?sin???z??2的共同本征矢?，?，运算法则是 根据问题（6）的结论，??x,??y对??y??i? ， ?x??? ， ??x??? ， ? ??y??i? ， ??z??? ， ??z???? （4） ?将这些代入（3），集项后，对此两边?，?的系数：

?c1?(sin?cos??isin?sin?)??c1?cos ? （5）

(sin?cos??isin?sin?)?cos?c??c22??i??(co?s??)c1?sin?e?c2?0或 ? （6） i?s??)c2?0?sin?e?c1?(co?（6）具有非平凡解（平凡解c1?0 ，c2?0）条件是久期方程式为零，即

cos???sin?ei?sin?e?i??cos????0它的解?2?1 （7）

??1 时，代入（6）得：

c2?tg?2ei??c1 （8）

（1） 的归一化条件是： c1将（8）代入（9），得： c1?ei(???)2?c22?1

cos c2?e2?i?sin?2

归一化本征函数是：

???? ?1?e?i??e?i?cos??sin?? （10）

?22????1时，c1,c2的关系是：

c2??ctg?2e?i??c1

归一化本征函数是：

?2?e??e?i???i?sin?2??cos?2?? （11）

???是任意的相位因子。

本题用矩阵方程式求解：运用矩阵算符：

?0??x???11??0?? ，?y??0??i?i??1?? ，?z??0??00?? （12） ?1????cos???n??i??sin?esin?e?? (13)

?cos???i?本征方程式是：

?i??cos?sin?e??c2??c2??? ?????? (14) i?c?cos???2??c2??sin?e????n的本征矢是：

?i(???)??i(???)???cosesine????222? 1?? , (15) ??i???i???sine???cose?22????补白：本征矢包含一个不定的 相位因式ei?，由于?可以取任意值，因此?1,?2的形式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。

?1?22[3]在自旋态下?1(sz)???，求?sx和?sy

?0?2?x的均方偏差 （解）?sx是s22 ?sx?sx?(sx)

?y的均方偏差 ?sy是，s22222 ?sy?sy?(sy)

??1(sz)?s22x222?242x?1(sz)

22s2x??1(sz)???1(sz)s22?4

?x?1(sz)??1(sz)sx??1(sz)s222?2??12(sz)??2

?1(sz)?2?12(sz)?0因此?s?2x?24?y对称，因而 ?x,s在?1(sz)态下，s2 ?s?2y?24

2 [4]求在下列状态下?jz的可能测值。 j和? （1）?1??1(sz)?11(?,?) (1)

2 （2）?2??1?2?(s)?(?,?)??(s)?(?,?)?? (2) 1z101z11?3?22??2?1(sz)?10(?,?)? (3) ?2? （3）? （4）?31????1(sz)?1?1(?,?)?3?24???12(sz)?1?1(?,?) (4)

（解） 依§8.2总角动量理论，若电子的轨道运动的态用量子数?l,m?表示，在考虑到自

2旋的情形下，若用(l?2,?j,?jz)共同表象，则电子的态可有四种；若l?m，有以下二态：

?l?m?1??(?,?)??l,m12l?1? （5） j?l?,?(?,?,sz)??2?l?m??l,m?1(?,?)?2l?1?????l?m?l,m(?,?)???12l?1? （6） j?l?,?(?,?,sz)??2?l?m?1??l,m?1(?,?)??2l?1??若l?m，有以下的二态：

??l,l(?,?)? j?l?,?(?,?,sz)??? （7）

02??10?? j?l?,?(?,?,sz)??? （8）

?(?,?)2?l,?l?1

将题给的态和一般公式对照，发现（1）（2）（3）式与（7）（5）（6）（8）式相当，总角动量

2平方算符?j，总角动量分量算符?jz可能测值如下：

状态 数值 算符 的量子数 的量子数 （1） （2） （3） （4） 3/2 3/2 3/2 1/2 3/2 -1/2 3/2 -3/2

???[5]令 ?l??l?1???l2l?1??? ，?l??l???l2l?1???????1 (??1) ，?ll证明：

???ljmj?l???ljmj???0???0????ljmj??(j?l?12 1(j?l?)21))???ljmj?l(j?l?2 1(j?l?)2?是两个带有相加的常数分子的算符 ?,? （证明）本题的?ll????xl?x???yl?y???zl?z ??l??根据总角动量理论内，前两算符可变形如下：

??l?1111???2?2?s??2)?????l???(j?ll(1)?2l?12l?12l?12l?1 ? ??111122??????2)(2)???l???(?j?l??sl2l?12l?12l?12l?1?22j共同本征态）假设l?m，试将（1）式运算于合成角动量的本征态?ljmj（l?,?，首先，

对于j?l?12有：

?a?l,m?1?l?1?222??????l?ljmj????(j?l?s)???2l?12l?1???b?l,m?1????3?a(l?1)?j(j?1)?l(l?1)????l,m?1??4????3?2l?1??b?(l?1)?j(j?1)?l(l?1)???l,m?1???4???????133?a(l?1)?l(l?)(l?)?l(l?1)????l,m?1??224??? （3） ?133?2l?1??b?(l?1)?l(l?)(l?)?l(l?1)???l,m?1???224?????(2l?1)a?l,m????2l?1?(2l?1)b?l,m?1?1??ljmj式中a?l?m?12l?112；b?l?m2l?1。

其次，可对于j?l?的本征态计算：

??bYl,m?l?11?222????)}???l?l,j,m,j?{?(j?l?s2l?12l?1??aYl,m?1?? 113???b{l?1?(l?)(l?)?l(l?1)?}Yl,m?1?224????01132l?1?a{l?1?(l?)(l?)?l(l?1)?}Yl,m?1?224????又因为?l??l?1，所以

???)???(1??l,j,m,jl,j,m,j?l?l)??2 ??1???l,j,m,j(j?l?)20(j?j?1

??[6] 一个具有两个电子的原子，处于自旋单态（s=0）。证明自旋轨道耦合作用 ?(?)s。L对

能量无贡献。 [解]、整个原子的角动量看作每一个电子角动量矢量和，此外每一电子角动量又包括轨道运动和自旋。

?????????????????????????????? (1) J?j1?j2,L?l1?l2,S?s1?s2,j1?l1?s1,j2?l2?s2 整个体系的哈氏算符是：

???? H?H0??(?)L?S （此式中r是电子相对位矢）

将自旋轨道相互作用算符用角动量算符表示，由于：

??????J?L?S

??????????2???2???2?J?(L?S)?(L?S)?L?S?2L?S ?2)??H??1?(?)(J?2?L?2?SH02

(2)

?2,J?2,J?）的共同本征函数?原子的状态可以用（L，运算于这个L,J,J表示，将算符（2）ZZ本征函数，可以求的能量贡献（修正量）

?2}}?????1?(?){J?2?L?2?SH?{HL,J,JZ0L,J,JZ21222???H??(?){J(J?1)??L(L?1)??S(S?1)?}?L,J,JZ0L,J,JZ2

(3)

但当原子处在自旋的单重态时， S1??S2,S?0???

总自旋量子数s=0，有从（1）式的关系看出

?????????? J?j1?j2?l1?s1?l2?s2?l1?l2?L

因此J=L，（3）式成为：

???H0L,J,JZ

?? HL,J,JZ?????S所以，轨道自旋的耦合作用对能量本征值没有影响，因H0不含?L

[7]设两个自旋为

12的粒子的相互作用为：

V(r)?VO(r)?VT(r)S12

第一项为中心力，第二项为张量力的证明：

?2?不?2及总的z向分角动量J?均为守恒量，但L?2和S（1） 宇称л、总自旋S、总角动量J是守恒量。

（2） 在自旋单态下，张量力为零。

（解）题中张量力（本章中问题13.P283）如下：

??????23(?1?r1)(?2?r2)??6(S?r)?2 (1) S12??(?1??2)??2S22rr???但r?r1?r2。（前一公式的来源不在本题中讨论）

（1） （a）宇称?：体系的哈密顿算符包括两粒子的能量和势能

??22??????p1?p2?V(r)?V?r?6S?r?2S2 (2) H??OT22?12?2r????按*§5．3（P。176）一体系若具有空间反射不交性，则其宇称是守恒的，即

?]?0 (3) ?,H [? 在本题的情形，这条件是成立的，注意，粒子的动能可能梯度表示。

(2)式用坐标显示为： ???H112222?1?x(??(?221?222?221?y??222?221?z))???2?2?x?y?z (4)

???2?6[S?(r1?r2)]?????2}?VO(r1?r2)?VT(r1?r2){?2S??2r1?r2当参考系发生空间反射时，

x1??x1,x2??x2,y1??y1,y2??y2,z1??z1,z2??z2,r1?r2?r2?r1。但?????r1?r2不变，此外总的自旋角动量S依赖与自旋坐标sz1和sz2，与空间坐标r1,r2无关，因

????2而S,[S?(r1?r2)]也不随空间反射而变更，又因为

?221?x??22?(?x1)

??等，所以动能部分也不随反射而变化，所以（4）式整个不随反射变化，若(r1,r2,sz1,sz2)是

任意函数，我们有：

???H???H?? ??]?0,??,H?是守恒量 即 [?

?2： （b）总自旋平方算符S??2? 自旋和一切轨道运动的量都能对易，只需检验S与 (S?r)2的对易性：

??2?2(x?x)?S?2(y?y)?S?2(z?z)(S?r)?Sx12y12z12

?S?(x?x)(y?y)?2Sxy1212?S?(y?y)(z?z)?2Syz1212?S?(z?z)(x?x)?2SZX1212

?2,S?2]?0等，因此有： ?2,S?]?0等，又[S因[SXx?2,H?]?0 （6） [S

? ： （c）总角动量分量JZ?与轨道运动部分的诸力学算符相对易， 总角动量分量J这在第六章中心力场和第四章§Z?与H?的势能部分的对易性就足够。 4.1都有过讨论，只需证明JZ????1z?s?2z 又 Jz?Lz?Sz?l?1z?l?2z?s????只与角度有关，与相对矢径r?r1?r2无关，所以J?Z与一切与r有关的算符对易

?,H?]?[J?,V?(r)][JZZ?]?,V?(r)?V?(r)S?[JZoT12?]?,V?(r)S?[JZT12??26(S?r)?2}] ?,V?(r){?[J?2SZT2r?(r)??6V2T?,(S?r?[J)]Z2r???2?2V(r){J,S}TZ

因此???的性质与?j?相同：

(???)??,(???)????(???)2n?? (???)3??2(???)??(???)2n?1??代入（2）式即得到待证明的结果。

????????????[11]证明?(??A)?A?A?(??A)??iA??, A是与?对易的任何矢量算符。 ??????2n????22??44??2n

??(???)

（证明）这是矢量关系式，可先证明x分量

???????)?A??i(A?????x(??xA?yA?zA?z?A?y) ?xyzxyz该式左方2??????A??x?x??yA?x??zA??Ax??yzx

??i???i???A??xA?yA?Axyzx

=该式右方。

又这个证明对x,y,z有轮换性，故可不需重负对y,z运算。又

??(????????)??xA?yA?zA?xAxxyz2?????????x?y??xA?z??xA?AAx??xyz

?i(?zAy??yAz)?等式最右方。?]?0。 ?,A前式中用了对易式[?

??e[12]设Ui??????2?? 证明：（?是沿矢量?方向的单位矢量）

??U??1 （1） （1）U???????U?(????)???(????)???cos??????sin? （2） （2）U（证明）设?，?任意函数：

??*U??d????(ei??????2??)*?d?。

?U??e?i?????2

?ei??????2（1）UU?ei?????2?1

?????U?e（2）Ui?2?????e?i?2????

利用习题9的第二式子

ie2????? ?cos??i????sin2?????????????U?U?(cos?i???sin)?(cos?i???sin)2222

?????????????2??2??cos??sin(???)?(???)?isincos[(???)???(???)]2222利用题9的公式于最后两项，利用题11的公式于第二项，得： ?? cos??sin22?22?(???)[??i(???)]?sin?(???)] ??????再利用矢量三重积公式：

????? ???(????)?(????)???(??)2??(????)????

代入（3），整理后得待证公式（2）。

[13]证明不存在非0的二维矩阵，能和三个泡利矩阵都反对易 ，即设 ?????0 ?? A??A?0 则A?a（证明）先设：A???cb???]?0

x?? 代入[A,?d??a ???c?b?c即??d?ab??0??d????11??0???0????11??a??0????cb???0 d??a?d?b??c?0 得 ?c?b?a??因此A的矩阵是 A???a ???b?a??bb???]?0

y?? 再代入[A,??a??i??0???0??i?i??a??0???bb???0 ?a?b??0???a??i即??2bi?00???0 即b=0 2bi?于是A只能是形式

?a? A????00??,??z]??0 ? 再代入[A?a??0??a???1??00???0 ?a? ??a?00??1???a??00??1????1??0?2a即 ???00???0 即a=0 2a???0?00??，而定理得证。 0?于是，满足三个对易关系的二维矩整，只能是? 另一方法，用矢量矩阵-

b????A??? ? 代入A??cd????????ab??ki?ij??ki?ij??ab? ??????0 ?????????????k??k??cd????cd???i?ij??i?ij????????(b?c)i?(b?c)j?2ak(a?d)i?i?a?d?j?作简化：????0 ?????(a?d)i?i?a?d?j(b?c)i?(b?c)j?2dk???仍设A???a从任何两个元素都能得到一组解

a=b=c=d=0

[14]证明找不到一种表象，在其中（1）三个泡利矩阵均为实矩阵或（2）二个是纯虚矩阵，另一个为实矩阵。

（证明）根据角动量定义：

?x??y???y??x?2i??z????y??z???z??y?2i??x ??????????z?x??x?z?2i?y又根据第八章问题（1）的结论

?x??y??z?i ?不论采取任何表象上述两组式子满足，从（1）看出若有两个算符在角动量表象中纯虚数（每

?x,??y,而??z为实矩阵，则可设 一元素为虚）如??x ??ai???cibi?? di??y ??a'i????c'ib'i?? d'i??n?? ，a,b…… 都是实数。 q??m? ?z???p代入（1）得

?a'a?b'c?aa'?bc'???c'a?d'c?ca'?dc'a'b?b'd?ab'?bd'??m??2i??c'b?d'd?cb'?dd'???pn?? q???x,??y,??z全部是实数矩阵，则这要求??z是纯虚矩阵，与假设违背，又从（4）看出，如果?这一条法则也违背，故是不可能的。

?x,??y,??z及I（2?2单位矩阵）构成2?2矩阵的完全集合，即任何2?2矩阵都[15]证明??可表成： 能用他们的线性组合来表达，任何2?2矩阵M??1[(TrM?)?(TrM???)???] M2???x??y??z表示 （证明） 2?2矩阵在一般情形有四个不为零的元素，若用四个已知的矩阵I成线性式，恰能附有四个待定系数，构成一义的解，即任意矩阵

?aM????c?z?u????x?iyb??x?y??y?z??z?uI???x?d??x?iy???z?u?? （1）

我们得到关于未知系数的方程式组：

?z?u?aa?da?d??u?,z????z?u?d22 （2） ? 可以解得?b?cc?b?x??x?iy?b,y?22i??x?iy?c????x??y??z彼此独立，即不存在着不为零的系数?,?,?,?足以使 但需要证明I??0 ?x????y????z??I ??????即????i???0

???????i??这要求每一元素为零，即

????0?????0??i??0??i??0

同时满足这四条件的解只能是

????????0 ???x??y??z是线性无关的。 即I???用它和M?的径迹（Trace即对角元素总合）表示。从式 最后我们将任意2?2矩阵M

（2）知道

??? M?ab?b?cc?ba?da?d?????()??()??()??()I （4） xyz?d?2222?c从式子看出：

?a???? M???c?b??k??????d???i?ij??????i?ijak?b(i?i?????????k??ck?d(i?i?j)?j)?a(i?i?c(i?i??j)?bk??? ?j)?dk??

??a?TraM

????????)?ak?b(i?ij)?c(i?ij)?dk Tra(M???? ?(b?c)i?(b?c)ij?(a?d)k

??????Tra(m?)???{(b?c)i?(b?c)ij?(a?d)k}{?xi??yj??zk}

?x?(b?c)i??y?(a?d)??z (6) ?(b?c)?将(5)(6)代入(4)得

????1[(TraM?)I??(TraM???)???] M2命题得证。

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 【16】求证与三个泡利矩阵都对易的2×2矩阵，只能是常数矩阵。

?a?【证】设A???c??b??x??y??z对易： ?能与?d?????0 即 ?满足A?x???xAA?a??bb??0??a??11??0???0??11??a??0??bb??b?c???a??d?aa?d???0 c?b??a?cb?? d????的形式应受限制，成为A这要求b?c，a?d故A?????0即 ?满足A?y???yA又A?a??cb??0??d??i?i??0???0??i?i??a??0??cb??2bi???d??00???0 2bi?????的形式简化成A这又要求b?0因而A???a?00??这是个常数矩阵（元素相等）它可a?

?,??z]?0 以满足第三对易关系[A?z???zA??因为A??a?00??1??c??00??1????1??00??a???1??00??0???c??00?? 0?本题亦可以用矢量矩阵法（见第9题）求解。

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

?????????【17】证明Tr[(??A)(??B)]?2A?B.A，B是与? 相对易的任意两个矢量，与自旋的自由度无关。

【证明】以下的论证中，为使公式形式略为简化起见，忽去算符的符号“?”不写，但矢量符号“?”依旧。

（方法一）直接用矩阵展开式计算，利用自旋分量公式 ??0???11??，?0??0???i?i??，?0??1???00????，将??A等表成矩阵： ?1?xyz??A?Ax?x?Ay????B?Bx????y?Az?zAz????Ax?iByBz????Bx?iByAx?iAy?? (1) ?Ax?Bx?iBy?? (2)

?Bx?x?By?y?Bz?z根据矩阵乘法法则，可以根据每一个矩阵的元素，求得乘积的径迹（对角元素总和）： ???Az?Tr[(??A)(??B)]?Tr??Ax?iAy?Ax?iAy??Bz???Ax??Bx?iByBx?iBy???Bx??AzBz?(Ax?iAy)?(Bx?iBy)?(Ax?iAy)(Bx?iBy)?AzB???2(AxBx?AyBy?AzBz)?2A?B

（方法二）不展开矩阵乘积，但利用自旋分量的性质 ?i?????j?i?k?ijk

???(??A)?(??B)?????iijiAi???jBjji??ijiAi?jBj?2?(??i?iji?jk?j)?AiBjAiBj??ii?AiBi?

??????A?B?i??(A?B)?????A?BI?i(A?B)x?x???i(A?B)y?y???i(A?B)z?z(I是单位矩阵）（3）根据径迹的定义知道：若一个矩阵能分解成若干个同阶矩阵的和，则原矩阵的径迹，应等于诸分矩阵的径迹之和，根据（3）：

???????????????Tr[(??A)?(??B)]?(A?B)TrI?i(A?B)xTr?x?i(A?B)yTr?y?i(A?B)zTr?z

但因为 Tr?i??(i?x,y,z)

而 TrI?Tr??1?10???2。命题得证。 0?（3）式在习题（15）中已论证过。

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

?????????【18】证明Tr[(??A)(??B)(??C），但，，]?2i(A?B)?CC是与?能对易得AB任意矢量。

【证明】仿照前一题方法，并且利用前一题结论。 （方法一）直接展开矩阵积：

?????Az?Tr[(??A)(??B)(??C）]?Tr??Ax?iAy?Ax?iAy???Az?BzBx?iBy??CzCx?iCy??????B?iB?BC?iC?Cxyzxyz??????????Cz?A?B?i(A?B)z(A?B)y?i(A?B)x?????????Tr???C?iCy?(A?B)?i(A?B)A?B?i(A?B)??yxz???x?????????{A?B?i(A?B)z}Cz?{(A?B)y?i(A?B)x}{Cx?iCy}?????????{?(A?B)y?i(A?B)x}{Cx?iCy}?{(A?B)?i(A?B)z}Cz????2i(A?B)?CCx?iCy? (1)

??Cz?(方法二)利用习题17的结论：

????????(??A)?(??B)?(A?B)?i(A?B)?? (2) ?重复使用此公式于本题的三重乘积

???????????? (??A)?(??B)?(??C)?{(A?B)?i(A?B)??}(??C)

???????????(A?B)(??C)?i[(A?B)??](??C)

?????在第二项中应用公式(2),即在(2)式中作替换A?A?B,B?C, 得:

????????????????(??A)(??B)(??C)?(A?B)(??C)?i{(A?B)?C?i[(A?B)?C]??}????????????(A?B)(??C)?i(A?B)?C?i[(A?B)?C]??(3)

??????(A?B){Cx?x?Cy?y?Cz?z}?i(A?B)?CI?{Mx?x?My?y?Mz?z}?最后一式中I式2?2单位矩阵

????M?(A?B)?C

和习题17一样,这个三重积已分解成?x?y?zI四个单位矩阵的线性式，因

TrI?2 Tr?i?0 而

???????????Tr[(??A)(??B)(??C)]?i(A?B)?C?TrI?2i(A?B)?C

?

【19】满足下列条件的n维矩阵,称为SUn矩阵

U?U?UU??1 detU?1

试求SU2的一般表示式。 【解】设:

?aU? ??cb??则Ud???a*??*?c*b? *?d?代入题给的第一个条件

?a??cb??a*???d??c**b??1??*?d??00?? 1??aa*?bb*?1????(1)?**?ac?bd?0????(2)化成等效的条件?* *?ca?db?0????(3)?cc*?dd*?1????(4)?同理，代入第二个条件 ?a* ?*?c*b??a?*??d??cb??1???d??00?? 1??a*a?b*b?1????(1)?**?ab?cd?0????(2) ?* *ba?dc?0????(3)??b*b?d*d?1????(4)?前列出的八个方程式并非完全独立。

容易看出（2）与(3)是复共轭，（6）（7）也是复共轭式，；因此只有六个不相关方程式，因

aa?aa**2?a

等，又（1）（5）相减，（1）（8）相减，得两个关系式：

ba2?c?d222 (9)

(10)

根据（1）：aab22?b2?1，因此在不失普遍性的情况下，可以设定以下形式：

i??cos? a?cos?e22 （11）

2?sin? b?sin?e (12)

i?式中?必是实数，而?，?任意实数得相因子，根据（9）和（10），同样可设：

c?sin?e （13） d?cos?e （14）

i?i?这四个元素满足（1）（4）（5）（8）和（9）（10），但对于（2）或（3），对于（6）或（7）这两个条件的满足，给初相位?，?，?，?一些限制，将a,b,c,d的表达式代入(2)得：

ei(???)?ei(???)?0 （15）

如果使用（3）、(6)、(7)诸式，实际上得不到新的关系，又将（15）遍乘ei(???)得：

ei(???)?ei(???)?0 (16)

其次我们使用题给得第三个独立条件detU?1，有

?a??cb?2i(???)2i(???)?ad?bc?cos?e?sin?e?1 （17） ?d?将（16）的关系代入（17）得：

ei(???){cos??sin?}?1

i(???)22即 e?1

i?因而有 e?ei(???)?i?

i(???)又从（16）得 e??e?i???1，

?ei??ei? （19）

i?由此看来e?aU???ci?，ei?，e，ei?只有两个独立，我们若选用esin?ecos?ei??i?i?和ei?表示各元素，有

b??cos?e????i??sin?ed????? ??――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 【20】设矩阵ABC满足A?B?C222?1，BC?CB?iA

(1) 求证AB?BA?AC?CA?0

(2) 在A表象中，求出B，C得矩阵（设无简并）。 【解】将BC?CB?iA式左乘B，利用B2?1，得 C?BCB?iBA 同式右乘B，利用B2?1，得

BCB?C?iAB

相加得AB?BA?0，同样，将C左乘、右乘前述一式，可得 AC?CA?0

在用A表象时，A的本征矢?是基矢，它满足本征方程式：

????? (1) A?运算于（1）得： 但?是本征值，从复用A?(A??)??A????2? A但A2??1??，所以?2?没有简并态，A?仅有两个本征值，?1 ??1,?1；假定A?自身表象中，其矩阵是对角的，矩阵元是本征值1和-1 在A?1?00?? （2） ?1? A???a设B的矩阵 B???c?1??00??a???1??cb??a???d??cb??，将它代入等式AB?BA?0 d?b??1??d??00???0 ?1?简化为??2a?00?a?0?0，得 ??2d?d?0因此B是反对角矩阵： B???0?cb?? （3） 0??2?1，有： 代入条件B?0??cb??0??0??cb??bc???0??00??1???bc??10?? 0?

得bc?1 即c?1b

得到含有一个待定常数的矩阵

?0B??1??bb?? 0??关于另一矩阵C也有类似的计算，由于C满足C2?1和AC?CA?0，因此C的矩阵（含有一个未定常数的）写作： ?0C??1??e?e??? （5） 0??待定常数b和e之间尚需满足题给的约束条件BC?CB?iA，将它列成矩阵：

?0?1??bb??0??10????e?2e???0???10????e?2e???0??10????bb??i???00???0?? ?i?即

be??e?b?i,或b?be?i?e??0

解出e用b的项表示：

e??(?32?i26?)b?e6b

5?i或 e??be

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 【21】矩阵AB满足A?0，AA??A?A?1，B?A?A

（1） 证明B2?B

（2） 在B表象中求出A的矩阵。

【解】（1）依第二条件AA??A?A?1，将A?A运算于此式，注意一切满足结合律，故：

AA(AA?2???2?AA)?AA

?????AAA?(AA)(AA)?AA

因A?0，AAA?0，前式求为B2?B。

（1）在B表象中，基矢?是B的本征矢【本征函数】，满足

????? B2?2??(B??)??(B??) B?2???2? ?是本征值 B?2的本征函数，本征值是?故?也是B

2，根据（1）结论B2?B，故

?2??B?? ?2???? ?(??1)?0 B所以合理的本征值只有二个??1，??0，算符B在自身表象中是对角矩阵，因本征值有

二个，矩阵阶数是二，其对角矩阵元是本征值1，0。 B???1?00?? 1??a?cb??根据题给的第一条件 d??在B?表象中的矩阵是A?设A??a2?A?0 ??cb??a??d??cb??a2?b?c???d??c?a?d?cb??a*??d??b**c??a*??d??c**c??a??**?d??ba?b?b?d??0 （1） 2?c?b?d?*c??a*??d??cAA??a ?AA?1??c?b??1???d??00?? (2) 1??a*AA?B给出 ?*?b?b??1???d??00?? （3） 1?从最后一式可得 a*a?c*c?1 （4） a*b?c*d?0 （5） ba?dc?0 （6） bb?dd?0 （7） 最后一式（7）是表示两个复平方之和为零，即 b2****?0 d2?0

这只能是b?0，d?0。

将这式子代入（2）：

?a* ?*?c0??a??0??0**c??a*???0??0*c??a??0??c*0??1???0??00?? 1?得诸关系式：2aa?cc?1 （8） ac?0 （9）

ac*?0 （10）cc?1 （11）

i?*从最后一式得 c?e【?任意相位】又从另外三式都推得a?0所求的矩阵是：

?0A??i??e0?? 0?本题中B的不为零元素也可以在矩阵右下角，这时A的不为零元素就在右上角。 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

?【22】自旋为?/2，内禀磁矩为?0的粒子，在一个空间分布均匀但随时间改变的磁场B(t)中运动，证明粒子的波函数可以表示成空间函数与自旋函数的积，写出它们满足的波动方程式。

【解】薛定谔方程式被推广为：

?i???t?{?e?2??(p?A)??e??0??B}? （1） 2?c1?a(t)??(x,y,z,t)??(xyzt)??

?b(t)??代入前式，注意??B仅与自旋有关，代入后：

??i

?a(t)???(xyz)t???t?b(t)???a(t)?1e2?{(??A)?e???0??B}?(xyz)t??2?c?b(t)??a???a??i?????i?????t?b??t?b????{H0

?a???0??B}?????{H?b?0?a???0??B}?????b?

?a???a??i?????i?????t?b??t?b???a????a?0?H??????0??B????b??b? （2）

将最后一式遍除???；得

?b??a???a??i???i???t?t?b???a????b??a????b????a?0?H????0??B???b???t

将与自旋、轨道运动部分分别等同，得

?i?H?，

0?i?a???a??????B0????

?t?b??b?―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

?【23】同上题，设B沿z轴方向，在t?0时，自旋波函数

i??a(0)??ecos??? ????i?b(0)???esin??????a(t)?求??它是自旋沿什么方向的本征态，在这个态下Sx，Sy，Sz是多少。

b(t)??【解】设波函数是

?a(t)??(x,y,z,sz,t)??(xyzt)?? （1）

?b(t)?由于方程式可以分离变量，所以，除?(xyzt)部分因?未知而不能决定外自旋部分满足前题?的（3）式，本题因B沿z轴

Bx?0 By?0 Bz?B

?a(t)???a(t)????(?B??B??B)0xxyyzz????

?t?b(t)??b(t)?0??a(t)???? (2) ?1??b(t)??i?1??a(t)??i?????0B??t?b(t)??0???i此式相当于：???i??a?t?b?t???0Ba???????(3)

??0Bb????????(4)按题意匀磁场B是时间的函数B(t)，因而有解

?0a(t)?a0eb(t)?b0e??i?0B(t)dtit

?0??0B(t)dtt再代入初条件，决定了常数

a0?cos?e?i? a0?sin?e?i?

?0i{??B(t)dt??}??a(t)??cos?e?????? (5) ?0????i{B(t)dt??}?b(t)?????sin?e??按本章习题（2）：凡自旋矢量沿方向n(sin?cos?,sin?sin?,cos?)的态，其波函数表示为

??1?i(???)??cose??2?? ??i???sine?2???22?i(???)??sine??2?? （6）

?i????cose?2??（6）式中?任意取值，若取??，将（5）（6）对比，发现自旋方向

??2? ??2(????0??10B(t)dt)

再求此态之中，?x等的平均值，为此用自旋态的平均值计算式：

???[a*(t),b*(t)]?Sx???Sx2???b(t)?**[a(t),b(t)]??2?a(t)?2?2?2(ab?ba)?2i{**?0??11??a(t)????0??b(t)???

?0???sin?cos?{e?B(t)dt??}?e2i{?0?B(t)dt??}?}sin2??cos?{2?0??t0B(t)dt??}Sy??Sz??2?2sin2??sin{**2?0??2?t0B(t)dt??}

(aa?bb)?cos2?

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 【24】与上题类似，设磁场大小不变，但磁场在xy平面内，以下规律变化： ?t By?Bsin?t Bz?0 Bx?Bcos求粒子自旋波函数。

【解】亦用前题关于自旋的方程式：

?i??a(t)??????0B(?xcos?t???t?b(t)??a(t)?sin?t)?? （t）

?b(t)?y

0???a(t)?即?i?????0B?cos?t?sin?t?t?b(t)???0??a(t)??i???B?i?t0???t?b(t)??eecos?t?isin?t??a(t)???? 0b(t)????i?t0??a(t)???? b(t)???这相当于下述两个方程式

?i??i?t?(t)?b(t)e?a??????(2)???0B ?

?i?i?t??b(t)?a(t)e???????(3)??B0?再将每方程式对时间求导一次，得：

?i??(t)?i?b(t)}e?i?t??????(4)??(t)?{b?a???0B ?

?i??i?t???(t)?i?a(t)}eb(t)?{a???????(5)??B0?有可能从（2）（3）（4）中消去变量b(t)，为此将（3）式中的b(t)和(2)式中的b(t)分别用a(t)的项表示，代入（4），得

??ia(t)?{?Bi??0Ba(t)ei?t????Ba(t)ei?t}e?i?t

即得到齐此方程式：

??(t)?i?a?(t)?a?0B?222a(t)?0 （6）

此式的特征代数方程式是：

?2?i????0B?222?0 （7）

解此方程式得：

?1?2??i?2?i2??24?0B?222 （8）

因而a(t)的解是：

?1t?2t?i?t2i?t?i?t2a(t)?c1e?c2e?e2{c1e222?c2e} （9）

式中 ??关于b(t)的方程式是：

??4?0B?2 （10）

??(t)?i?b(t)? b?0B?222b(t)?0 （11）

类似地可一一求得解是：

i?ti?t b(t)?c3e?3t?c4e?4t?e2{c3e2?c4e?i?t2} （12）

?(0)等（9）和（12）中含有积分常数c1，c2，c3，c4这些由初条件a(0)，b(0)和a?(0)，b四个条件来决定。

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

【25】设自旋为1/2的粒子在磁场B(t)中运动，求证在海森伯表象中自旋时间的变化率是： ge??d? S(t)?S?B

dt2mc式中m粒子质量，e电荷，ge为自旋的g因子（对电子ge??2）设B?Bk是沿z轴方向常磁场，求解s(t)。

【解】根据第五章公式（23）海森伯运动方程式，任何力学算符的海氏表象s(t)要满足：

??dFdt1?????F,H （1） ?????i?????在考虑自旋情形，粒子的哈密尔顿算符：

??1??2?e????H?{P?A}?e???0??B （2） 2mc????????部分与自旋无关，于是有： ?，注意到H?H0??0??B，H令F?s0?1?????]?1[s?????,B?,H??B[s]00?i?i??1????????????}?{s(H0??0??B)?(H0??0??B)s?i

????0???????(???B??B?}?{s)?(?)s?i???0??0???????????[s,??B]??[?,??B]????(3)?i2i最后一式是矢量对易式，应就每一分量进行计算：

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