江苏省南京市第十二中学2024-2025学年高二上学期数学期终考试模

南京市第十二中学高二数学第一学期期终练习B卷

姓名 成绩

一、填空题：

1．命题“?x∈R，x2+ax+1<0” 的否定是 . 2．抛物线y2??4x的准线方程为 .

3．“a?1且b?1”是“ab?1”成立的 条件．（填充分不必要，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要）

24．命题“若x?1，则?1?x?1”的逆否命题是_________________________.

5．直线2x?y???0与圆x2?y2?2x?4y?0相切，则实数?的值为 . 6．已知条件p：|x?1|?2，条件q：x?a，且?p是?q的充分不必要条件，则a的取值范围可以

是 .

x2y2??1的左、右焦点分别为F1,F2，P为C的右支上一点，且7．已知双曲线C:916PF2?F1F2，则?PF1F2的面积等于 .

?x?y?2?0?8．已知实数x, y满足条件?0?x?3，则目标函数z?2x?y的范围 .

?y?0?9．函数f(x)?ln(x?2x)的单调递增区间是 .

2x2y2?2?12F,FCab10．设椭圆：（a?b?0）的左、右焦点分别为12，P是C上的点，

PF2?F1F2，?PF1F2?30?，则椭圆C的离心率为 .

11．在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x?1)?y?4上的任意一点，点Q(2a，

22a?3) (a?R)，则线段PQ长度的最小值为 .

12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?4x的焦点为F，点P在抛物线上，且位于x轴上

2

方．若点P到坐标原点O的距离为42，则过F、O、P三点的圆的方程是 .

2?x?1?????????????x?0?13．已知函数f(x)??在点（1,2）处的切线与f(x)的图像有三个公共

2???x?4x?a???x?0点，则a的取值范围是 .

14．已知函数f(x)的定义域为R, f(2)?3,且f(x)在R上的导函数满足f'(x)?1?0，则不等式f(x2)?x2?1的解集为 .

二、解答题：

15．已知p:(x?2)(x?m)?0,q:x2?(1?m)x?m?0. （1）若m?3，命题“p且q”为真，，求实数x的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

16．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝1，CB＝2，侧棱AA1＝1，

侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M. (1)求证CD⊥平面BDM；

(2)求面B1BD与面CBD所成二面角的余弦值．

x2y21317．已知椭圆E：2?2?1(a?b?0)的离心率e?，并且经过定点P(3，).

2ab2（1）求椭圆E的方程；

（2）设A,B为椭圆E的左右顶点，P为直线l：x?4上的一动点(点P不在x轴上），连AP交椭圆于C点，连PB并延长交椭圆于D点，试问是否存在?，使得S?ACD??S?BCD成立，若存在，求出?的值；若不存在，说明理由.

18．已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2?45x的焦点，离心率是（1）求椭圆E的方程；

（2）过点C（—1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使MA?MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

6 3

19．某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线

f(x)?1?ax2(a?0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设

P(t,f(t))（1）将?OMN（O为坐标原点）的面积S表示成t的函数S(t)；

（2）若在t?

20．已知a?R， 函数f(x)?xln(?x)?(a?1)x.

（1）若f(x)在x??e处取得极值，求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)在区间[?e2,?e?1]上的最大值g(a).

1处，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值. 2

南京市第十二中学高二数学第一学期期终练习B卷

姓名 成绩

一、填空题：

2?x?R,x?ax?1?0 1．命题“?x∈R，x+ax+1<0” 的否定是 ▲ ．【答】

2

2．抛物线y2??4x的准线方程为 .

3．“a?1且b?1”是“ab?1”成立的 条件．（填充分不必要，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要）

24．命题“若x?1，则?1?x?1”的逆否命题是_________________________.

5．直线2x?y???0与圆x?y?2x?4y?0相切，则实数?的值为_____▲______．

226．已知条件p：|x?1|?2，条件q：x?a，且?p是?q的充分不必要条件，则a的取值范围可以

是___?1,???___.

x2y2??1的左、右焦点分别为F1,F2，P为C的右支上一点，且7．已知双曲线C:916PF2?F1F2，则?PF1F2的面积等于____48__．

?x?y?2?0?8．已知实数x, y满足条件?0?x?3，则目标函数z?2x?y的范围 [-2,6]

?y?0?9．函数f(x)?ln(x?2x)的单调递增区间是_____?2,???____.

2x2y210．设椭圆C：2?2?1（a?b?0）的左、右焦点分别为F1,F2，P是C上的点，

abPF2?F1F2，?PF1F2?30?，则椭圆C的离心率为__3_____. 311．在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x?1)?y?4上的任意一点，点Q(2a，

22

a?3) (a?R)，则线段PQ长度的最小值为 ．

12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2?4x的焦点为F，点P在抛物线上，且位于x轴上方．若点P到坐标原点O的距离为42，则过F、O、P三点的圆的方程是

1725(x?)2?(y?)2? ．

2222??x?1?????????????x?013．已知函数f(x)??在点（1,2）处的切线与f(x)的图像有三个公共

2???x?4x?a???x?0点，则a的取值范围是(?4?25,??8] ；

14．已知函数f(x)的定义域为R, f(2)?3,且f(x)在R上的导函数满足f'(x)?1?0，则不等式f(x2)?x2?1的解集为 ??,?2????2,??

?二、解答题：

15．已知p:(x?2)(x?m)?0,q:x?(1?m)x?m?0.

（1）若m?3，命题“p且q”为真，，求实数x的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

2解（1）x???1,2? （2）m??1,2?

16．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝1，CB＝2，侧棱AA1＝1，

侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M. (1)求证CD⊥平面BDM；

(2)求面B1BD与面CBD所成二面角的余弦值．

解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系． (1)证明：B(

2，0,0)，B1(

2，1,0)，A1(0,1,1)，D?

?211?

，，?，222??

1??1

＝?0，，－?，则

2??2

?2?

M?，1，0?，∴?2??211?

＝?，，?，?222?

＝(2，－1，－1)，

＝0，

∴CD⊥A1B，CD⊥DM，因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.

?3211?

(2)设BD中点为G，连结B1G，则G?，，?，

?444?

?211?＝?－，，?，?222?

＝

?231??－，－，?，∴

44??4求二面角的平面角，cos θ＝

＝0.∴BD⊥B1G，又CD⊥BD，∴

的夹角θ等于所

CD?B1GCD?B1G33

＝－，所以所求二面角的余弦值为－.

33

x2y21317．已知椭圆E：2?2?1(a?b?0)的离心率e?，并且经过定点P(3，).

2ab2（1）求椭圆E的方程；

（2）设A,B为椭圆E的左右顶点，P为直线l：x?4上的一动点(点P不在x轴上），连AP交椭圆于C点，连PB并延长交椭圆于D点，试问是否存在?，使得S?ACD??S?BCD成立，若存在，求出?的值；若不存在，说明理由.

x2?y2?1;（2）存在，??3. 【答案】（1）4（2）存在，??3。

设P(4,y0)(y0?0)，又A(?2,0)，则kAP?故直线AP的方程为：y?y0 6y0(x?2)，代入方程（1）并整理得： 6(9?y02)x2?4y02x?4y02?36?0。

4y0218?2y026y0 即， xA?xC??2?xC??x??y?CC9?y029?y029?y022y02?2?2y0同理可解得：xD? ,y?D221?y01?y0?kCD?yC?yD2y0 故直线CD的方程为y?kCD(x?xC)?yC， ?2xC?xD3?y0即(3?y02)y?2y0(?x?1)?0 直线CD恒过定点E(1,0).

?

S?ACDCD?AE?sin?AECAE3????3??. SBCDCD?EB?sin?BECEB118．已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2?45x的焦点，离心率是（1）求椭圆E的方程；

6 3（2）过点C（—1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使MA?MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】（1）x?3y?5；（2）m??2277，存在点M(?,0)满足题意 33

（2）假设存在点M符合题意，设AB：y?k(x?1),代入E:x?3y?5得：

22(3k2?1)x2?6k2x?3k2?5?0

6k23k2?5,x1x2?2 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,0)则x1?x2??23k?13k?1

19．某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线

f(x)?1?ax2(a?0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设

P(t,f(t))（1）将?OMN（O为坐标原点）的面积S表示成t的函数S(t)；

（2）若在t?1处，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值. 217．解：（1）y???2ax，切线的斜率为?2at， ?切线l的方程为y?(1?at2)??2at(x?t)

1?at21?at2?2at21?at21?at2?t??,0),………3分 令y?0,得x? ?M(2at2at2at2at令t?0,得y?1?at2?2at2?1?at2,?N(0,1?at2)…

11?at2(1?at2)22??MON的面积S(t)??(1?at)? …6分

22at4at3a2t4?2at2?1(at2?1)(3at2?1)?(2) S?(t)?

4at24at2?a?0,t?0,由S?(t)?0,得

N Py3at2?1?0,得t?1………8分 3aO M

x当3at?1?0,即t?2112时, S?(t)?0当3at?1?0,即0?t?时, S?(t)?0 3a3a?当t?1时,S(t)有最小值 3a1114?,?a?………12分 处, S(t)取得最小值,故有233a2已知在t?故当a?41,t?时,S(t)min3241(1??)2134?2 ?S()?41234??32

20．已知a?R， 函数f(x)?xln(?x)?(a?1)x.

（1）若f(x)在x??e处取得极值，求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)在区间[?e2,?e?1]上的最大值g(a).

解：（1）f?(x)?ln(?x)?a ， 由题意知x??e时，f?(x)?0， 即：f?(?e)?1?a?0， ∴a??1 ……… 3分

∴ f(x)?xln(?x)?2x， f?(x)?ln(?x)?1 令f?(x)?ln(?x)?1?0，可得x??e 令f?(x)?ln(?x)?1?0，可得x??e 令f?(x)?ln(?x)?1?0，可得?e?x?0 ∴ f(x)在(??,?e)上是增函数，在(?e,0)上是减函数，…… 6分 （2）f?(x)?ln(?x)?a，∵x?[?e2,?e?1]， ∴ ?x?[e?1,e2]， ∴ ln(?x)?[?1,2]， ……………… 7分

① 若a?1，则f?(x)?ln(?x)?a?0恒成立，此时f(x)在[?e2,?e?1]上是增函数，

fmax(x)?f(?e?1)?(2?a)e?1 ……………… 9分

② 若a??2，则f?(x)?ln(?x)?a?0恒成立，此时f(x)在[?e2,?e?1]上是减函数，

fmax(x)?f(?e2)??(a?1)e2 …………… 11分

③ 若?2?a?1，则令f?(x)?ln(?x)?a?0可得x??e?a

?a?a∵f?(x)?ln(?x)?a是减函数，∴当x??e时f?(x)?0，当x??e时f?(x)?02?1∴f(x)在(??,?e) [?e,?e]上左增右减，

∴fmax(x)?f(?e?a)?e?a， ………………………………… 13分

?(2?a)e?1a?1?2综上：g(a)???(a?1)ea??2?e?a?2?a?1?

（1）若f(x)在x??e处取得极值，求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)在区间[?e2,?e?1]上的最大值g(a).

解：（1）f?(x)?ln(?x)?a ， 由题意知x??e时，f?(x)?0， 即：f?(?e)?1?a?0， ∴a??1 ……… 3分

∴ f(x)?xln(?x)?2x， f?(x)?ln(?x)?1 令f?(x)?ln(?x)?1?0，可得x??e 令f?(x)?ln(?x)?1?0，可得x??e 令f?(x)?ln(?x)?1?0，可得?e?x?0 ∴ f(x)在(??,?e)上是增函数，在(?e,0)上是减函数，…… 6分 （2）f?(x)?ln(?x)?a，∵x?[?e2,?e?1]， ∴ ?x?[e?1,e2]， ∴ ln(?x)?[?1,2]， ……………… 7分

① 若a?1，则f?(x)?ln(?x)?a?0恒成立，此时f(x)在[?e2,?e?1]上是增函数，

fmax(x)?f(?e?1)?(2?a)e?1 ……………… 9分

② 若a??2，则f?(x)?ln(?x)?a?0恒成立，此时f(x)在[?e2,?e?1]上是减函数，

fmax(x)?f(?e2)??(a?1)e2 …………… 11分

③ 若?2?a?1，则令f?(x)?ln(?x)?a?0可得x??e?a

?a?a∵f?(x)?ln(?x)?a是减函数，∴当x??e时f?(x)?0，当x??e时f?(x)?02?1∴f(x)在(??,?e) [?e,?e]上左增右减，

∴fmax(x)?f(?e?a)?e?a， ………………………………… 13分

?(2?a)e?1a?1?2综上：g(a)???(a?1)ea??2?e?a?2?a?1?

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